Tecnica delle Costruzioni - lezione 12

Politecnico di Torino

Appunti di tecnica delle costruzioni

Anno Accademico 2013/2014

Eleonora Magnotta

Professore Giuseppe Mancini

Corso di tecnica delle costruzioni

Lezione 12: Plastica (I parte)

Gli argomenti che tratteremo in questa lezione riguardano:

1. Definizioni e nozioni di base;
2. Cerniere plastiche;

Definizioni e nozioni di base

Possiamo introdurre la teoria della plastica dicendo che: "la teoria dell'elasticità si riferisce a comportamenti elasto-fragili dei materiali". Quindi dei materiali che abbiano un legame σ-ε lineare: σ = perché che indica le tensioni e le deformazioni ultime. Questo è chiaramente un comportamento molto particolare che generalmente non si riscontra nei materiali da costruzione. Per le costruzioni generalmente si preferisce utilizzare dei materiali che abbiano un legame tensionale σ-ε che assume una forma sensibilmente differente da quello assunto dai materiali elasto-fragili (quali ad es. il vetro).

Vediamo il grafico:

• Curva reale
• Curva ideale
• Modello del calcolo

Dal punto di vista del progetto, utilizziamo delle schematizzazioni al calcolo di queste curve, quindi dalla curva reale passiamo ad una curva di progetto che si schematizza nel modo più semplice: con un tratto elastico lineare fino ad una deformazione Em a cui corrisponde la fm, poi con una foglia plastica, cioè una foglia nella quale le tensioni restano praticamente costanti mentre crescono le deformazioni fino ad una deformazione ultima che è quella di fattura Er.

È presente una zona del diagramma in cui le tensioni sono sensibilmente costanti all'aumento delle deformazioni. Tale comportamento si definisce elasto-plastico. La presenza del comportamento elasto-plastico determina una chiara insufficienza della teoria lineare nella valutazione della sicurezza ultima in particolare in presenza di:

• Azioni oltretta;
• Autorizzionali;
• Concentrazioni di tensione.

Occorre quindi tener conto del comportamento reale dei materiali eventualmente tramite una opportuna schematizzazione di calcolo; quindi, bisogna tener conto del comportamento reale dei materiali, e quindi passo dopo passo il rapporto σ-є. Nel secondo caso siamo costretti ad effettuare un'analisi non lineare che generalmente è tipo incrementale (cioè passo passo replicando la risposta della struttura); nel primo caso invece possiamo operare in una forma più sintetica quale è stato descritta dalla teoria della plasticità.

Se abbiamo come input, così come abbiamo visto nelle lezioni precedenti, la definizione del comportamento ultimo della struttura, cioè la rottura ultima, non possiamo fare a meno di valutare il comportamento della struttura fino al collasso. Siamo dunque costretti a tenere conto che nella nostra struttura si ha la non linearità della risposta alle azioni applicate. Le non linearità delle strutture sono generalmente classificate in 2 tipi:

1. Tipo meccanico;
2. Tipo geometrico.

Le non linearità di tipo meccanico sono dovute alla risposta del materiale (cioè sono quelle di cui ci stiamo occupando in questo momento). Le non linearità di tipo geometrico, che per ora non ci occupiamo, sono invece dovute ad una risposta geometricamente non lineare della struttura, cioè a deformazioni grandi della struttura sono tali da non risultare più trascurabili nei confronti delle dimensioni trasversali della struttura stessa, quindi includono un ricalettamento delle forze interne strutturale in ogni passo di carico.

Cerniere plastiche

Si può dire che al di là di certe sollecitazioni quando le armature sono snervature, con un buon effetto di contenimento, praticamente raggiungiamo la formazione di una cerniera. Ossia per gli ulteriori carichi al di là di quelli iniziali la nostra struttura che stiamo analiticamente si comporta come una cerniera.

Si può, ad esempio, analizzare il comportamento a rottura di una struttura composta da materiale elasto-fragile ed elasto-plastico. Noi vogliamo vedere quali sono le differenze nei due casi:

Partiamo con una struttura semplice: Immaginiamo che questa struttura sia stata realizzata con un materiale elasto-fragile (ad es. il vetro): Con questo comportamento cosa succede? Succede che quando arriviamo nel punto A, cioè in un punto della sezione più sollecitato, in una fibra appartenente questo σ, abbiamo il collasso. I due momenti significativi di questa struttura assumono i seguenti valori:

M_i = ^Ql2/₁₂ ; M_m = ^Ql2/₂₄

È chiaro che se tutta la struttura è realizzata con lo stesso materiale la crisi verrà nella sezione di incastro. Il diagramma tensionale locale nelle sezioni di incastro sarà tale che prevede, dato che la struttura è simmetrica, il raggiungimento delle σ_u sia nelle fibre superiori che nelle fibre inferiori. Quindi noi entriamo in crisi, cioè rompiamo la struttura quando raggiungiamo questo diagramma tensionale.

La verifica per il carico di collasso allora corrisponde alla verifica della struttura, nelle condizioni in cui: σ_max = 0,5σ_u, sia in trazione che in compressione. Vediamo ora quanto vale il carico corrispondente:

σ_u = M ------ ql² ------ G ------ ql²W -----12·b·h² --- 2·b·h²

Se in questa formula metto il valore di σ_u posso ricavare la q_u:

q_u = 2·b·h² σ_u (carico di collasso)l²

Adesso andiamo a vedere il materiale elasto-plastico: al raggiungimento delle σ_u raggiungiamo la ε_u; tale punto corrisponde al punto A del diagramma precedente; però poi nel procedere con l'applicazione del carico vediamo che σ non cresce più ma la ε continua a crescere fino a raggiungere l'ε di rottura del materiale.

Questo è il diagramma che abbiamo visto in precedenza, quello triangolare, cioè ad un certo punto noi raggiungiamo la σ_u, dopodiché possiamo aumentare il carico, e la σ non può aumentare, quindi dal valore della σ_u in poi rimane costante. Se continuo ad aumentare il carico la rotazione delle sezioni aumenta. Se continuiamo otteniamo un diagramma rettangolo, che è un diagramma ideale, perché con sezioni sull'asse delle rotazioni grandissime.

Le cerniere plastiche sono dovute alla plasticazione delle strutture esistenti, attente però perché questa cerniera non per tutte le storie strutturale e di carico delle strutture alla sua formazione, e cioè solo per carichi ulteriori che noi andiamo ad applicare la zona gialla si comporta come una cerniera, per i carichi precedenti era un incastro mutuo, una zona di continuità: quindi tutto il momento che abbiamo applicato e anche tutti i carichi che hanno generato quel momento continuano a restare nello schema statico in cui quella struttura non aveva la cerniera, solo più ulteriori carichi vanno a finire in una struttura modificata come schema statico in questa zona in cui si realizza una cerniera.

Il diagramma tensionale in definitiva si modifica quando si entra nelle zone non lineare del diagramma ε-σ. La sezione finale completamente plasticizzata ha comportamento di cerniera con attrito. La sezione finale è la seguente: La situazione finale può essere descritta da un risultante della reazione rispetto alle aree positive di trazione, risultante che viene posizionato nel baricentro della sezione, e un risultante che fa riferimento ad una zona tutta compressa, anche in questo caso il risultante è piazzato nel baricentro delle reazione.

Una cerniera di questo tipo viene chiamata anche cerniera con attrito, perché il suo comportamento è simile a quello di una cerniera con attrito. Immaginiamo di unire due elementi di acciaio con una cerniera (bulloni), bene ne effettuiamo un MF. Succede che la cerniera (parola dell'attrito che abbiamo generato con il serraggio dei bulloni è in grado di trasmettere MF. Quindi ammettiamo nei due elementi solo delle deformazioni elastiche. Quando incolliamo la coppia di serraggio ovvero la coppia di attrito generata sempre dal serraggio dei bulloni ecco che questa cerniera ruota senza perdere il serraggio. Sono solo gli ulteriori aumenti dell'attrito applicato che fanno ruotare la cerniera, ma all’interno della cerniera ci resta per sempre la coppia di attrito generata.

Se fosse una completa plasticizzazione (Ea->∞) il diagramma tensionale finale diverrebbe rettangolare, con braccio di leva delle coppie interne pari a 0,75h.

Andiamo adesso a vedere cosa capita e collassa in una struttura come quella precedente realizzata questa volta con un materiale elasto-plastico. Si genereranno i seguenti momenti: Man mano che io applico i carichi, solo un certo punto comincia a plasticizzare le fibre delle sezioni rosa, formo la cerniera plastica, a questo punto gli ulteriori incrementi di carico non fanno più crescere il Momento M_i, quindi per gli ulteriori incrementi di carico tutto avviene come se io avessi nei punti A e B una cerniera, quindi come se la trave fosse semplicemente appoggiata. Gli ulteriori incrementi di carico al di là della formazione delle cerniere plastiche sugli incastri si trasferiscono in un sistema isostatico sulle cerniere e fanno crescere il momento in mezzeria. Arriverò al collasso quando si plastificherà completamente anche la sezione di mezzeria, quindi avrò nei punti A, B e M delle cerniere, quindi la struttura diventa labile, non sarò dunque più in grado di sopportare degli ulteriori incrementi di carico, ho raggiunto quello che viene definito come il max carico che la struttura può sopportare. Lo raggiungo quando M_i = numericamente = α M_m, avrò vxna:

M_L = M_M = ^qL2/₈ - ¹/₂ = ^qL2/₁₆

In questa situazione emerge una redistribuzione rispetto ai momenti elastici. Parliamo di quel rapporto dei momenti 1 a 2 che avevamo nella risposta elastica, non c'è più la linearità allora. Andiamo adesso a vedere quanto vale il momento ultima:

Mu = σ_tu ⋅ ^{b ⋅ h}/₂ ⋅ ^h/₂ = ^{σ_tu ⋅ b ⋅ h2}/₄ = ^Ql2/₁₆

Ql = ^{σ_tu ⋅ b ⋅ h2}/₄ = ¹⁶/_l²

Semplificando otteniamo:

Ql = ^{4 ⋅ b ⋅ h2}/_l² ⋅ σ_tu

Questo risulta essere il carico di collasso della struttura. Il materiale elasto-plastico è doppio di quello delle strutture elasto-fragile. Questo è un risultato molto importante. In termini di deformazione, il comportamento tra materiale elasto-plastico ed elastico-fragile è molto differente. Vediamo ora cosa succede in termini di deformazioni nei due casi:

Regime elasto-fragile

^Ql4/_{384 ⋅ ET} - ^Ql2/_{12 ⋅ 32 ⋅ EI} - ^Ml2/_{32 ⋅ EI}

Lo schema statico rimane sempre quello di trave doppiamente incastrato. σ: SPOSTAMENTO IN MEZZERIA.

Regime elasto-plastico

In questo caso, noi cambiamo lo schema statico nelle diverse fasi di carico; abbiamo visto che partiamo con il doppio incastro poi ad un certo punto formiamo due cerniere plastiche negli incastri, quindi negli incastri ci sono due momenti costanti che non crescono più, che sono i momenti plastici, quindi posso calcolare la freccia per sovrapposizione di frecce in due schemi statici differenti. Tutto avviene come se la freccia totale fosse la somma algebrica delle frecce indotte dal carico q sullo schema statico del semplice appoggio, quindi questa volta non \( \frac{5}{384} \, \frac{q l^4}{EI} \), e questa è la freccia che noi avremmo se la trave fosse semplicemente appoggiata, meno però il contributo dei due momenti di incastro (ovvero momenti plastici Mp) che danno una freccia \( \frac{Mp l^2}{6EI} \).

Vediamo la formula:

\(\frac{5}{384} \, \frac{q l^4}{EI} - \frac{Mp l^2}{6EI}\)

Freccia e collasso nel comportamento elasto-plastico

Vediamo ora lo schematto che abbiamo usato, tutto avviene come se la trave fosse appoggiata però come se fosse dotata di due Mp: In conclusione possiamo dire che in regime elasto-plastico alla formazione della cerniere di metallo le strutture si trasformano in un cinematicismo e collasso. Rappresentiamo tale situazione in un diagramma q-δ: Il tratto OA sarebbe il diagramma per il comportamento elasto-fragile. Il diagramma composto da OABC... è riferito al comportamento elasto-plastico.