Taccuino di fondamenti ed applicazioni di geometria descrittiva

19 ottobre

Geometria Differenziale

Nasce perché si studia le forme annullandone le loro proprietà.

Tangente

Disegno delle corde

• La tangente è quella retta che approssima meglio la curva.

Tre punti determinano una circonferenza. Se P e Q si avvicinano a R, la circonferenza descrive al meglio la curva in ogni suo punto.

Cerchio Osculatore

• Quando si hanno curve che tendono a rette, il cerchio cresce, si impicciolisce se ci sono curve strette, cambia la parte di appartenenza se si ha un punto di flesso.

Piano Osculatore

Piano di appartenenza dei cerchi osculatori.

Il raggio del cerchio osculatore è perpendicolare alla tangente.

Curvatura

K si misura con l’inverso del raggio del cerchio osculatore.

k = 1/r

Più la curva è pronunciata, più il raggio si riduce e la curvatura aumenta.

Nei punti di flesso, il raggio diventa infinito e la curvatura è pari a 0 come nelle rette.

Curvatura

Maggiore una linea è discosta dall'andamento curvilineo.

Grafico di curvatura

È un altro modo di dire maggiore è la curvatura, il punto in cui interseca la curva è il punto di flesso.

Il grafico di curvatura è un cerchio, è un cerchio esterno a quello iniziale a raggio costante poiché il valore di curvatura è lo stesso per ogni punto della curva.

Elica cilindrica

Deriva dalla rototraslazione di un punto.

La pendenza β è costante, ossia le tangenti sono parallele, le curve che hanno tutte le tangenti parallele si dicono LOSODROMIE cioè una curva che taglia le meridiane di un cilindro dello stesso angolo.

Piano normale

Individuato dalle normale e dalle binormale.

Piano rettificante

Individuato dalla tangente e dalla binormale.

Piano osculatore

Individuato dalla tangente e dalla normale, contiene la circonferenza osculatrice.

Normale, binormale e tangente si dicono terna di Frenet.

Torsione

Indica quanto la curva devia dal piano osculatore.

Nelle linee piane non c'è.

Curvatura e torsione definiscono la qualità della curva.

Continuità

Garantisce la transizione tra due linee.

*discontinuità*

*continuità di posizione* G₀

*continuità di tangenza* G₁

*continuità di curvatura* G₂

Le due curve hanno lo stesso cerchio osculatore

Poliedri Convessi

In [omitted], facce F, vertici V e spigoli E, seguono la seguente proprietà:

F - E + V = 2

Perché i poliedri regolari sono solo 5?

Dimostrazione:

La somma degli angoli piani delle facce che intersecano in un vertice è minore di 360°:

n · β₁ < 360°

• n = numero di facce (che ruotano intorno al vertice)
• β = angoli interni delle facce

1. Triangolo n=3
   • Tetraedro
   • Ottaedro
   • Icosaedro
2. Quadrato n=3
   • Esaedro
3. Pentagono n=3
   • Dodecaedro

Euclide

Successivo a Platone, studio delle costruzioni sui poliedri.

Poliedri di Archimede

Si tratta di poliedri convessi composti da poligoni regolari ma di diverso tipo.

Questi poliedri possono essere solo 13. Possono essere inscritti in una sfera ma non possono essere circoscriverla.

Gli angoli diedri assumono sempre lo stesso valore.

Questi poliedri sono detti anche semiregolari e possono essere generati a partire dai solidi platonici.

Tetraedro troncato

Composto da esagoni e triangoli equilateri.

Cubo ottaedro

Composto da quadrati e triangoli equilateri.

L’ungheresa degli spigoli dei singoli poligoni è eguale.

Come Costruirsi i Poliedri di Archimede

1. Sezione sferica del solido platonico simmetrico rispetto ai vertici e:
   • a) passante per i punti medi dello spigolo
   • b) passante per le terze parti degli spigoli
   • c) in modo tale che la parte centrale dello spigolo unisca due facce del solido aventi un numero di lati doppio della faccia del solido platonico
   • d) in modo da generare per ogni faccia del solido platonico un poligono concentrico e omotetico al solido di Archimede

Superfici di rivoluzione

Il cilindro è anche una superficie di rivoluzione, una retta rispetto ad un’asse centrale.

Superfici di rototraslazione

Un esempio di questa modalità è riscontrabile nell’eliode.

• Elica cilindrica (direttrice)

Superfici di proiettiva

Un infinito punto della circonferenza sono proiettati “dentro” un punto creando così una superficie curva.

Questa superficie è chiamata cono quadricico definito da un’equazione di 2° grado non è un cono rotondo e non può essere generato da una rivoluzione. Se il punto di proiezione tende all’infinito, il cono si trasforma in un cilindro.

Analisi delle sezioni piane

Sezionando una superficie di rivoluzione con dei piani perpendicolari all’asse, ottengo cerchi. Sezionando con un piano passante per l’asse, ottengo la curva generatrice.

Villardouin

Se prendiamo il piano bitangente alla superficie di esempio un toro, la loro intersezione genera due cerchi che si intersecano. Questi cerchi si chiamano sezioni di Villardouin. Dimostrazione del fatto che le sezioni sono dei cerchi.

1)

Disegno due coppie di corde parallele.

2)

Unisco i punti medi.

3)

L’intersezione è il centro della conica.

4)

Disegno un cerchio e misuro lo scarto.

I punti dell’iperbole, passando da prossimi ad infiniti, tendono all’infinito e trasformandosi in una direzione, quella dell’asintoto.

Teorema Dandelin Quetelet

Per la costruzione di una parabola:

1. Prendo la direttrice del cono assonite per un punto P (cerchio passante per F e parallelo al cerchio di contatto).
2. Traccio la retta ortogonale alla direttrice e trovo D (si trova sul piano secante).
3. Traccio un segmento di retta parallela a PQ passante per R e S.

PF̅ = PQ̅ = RS̅ = PD̅ → PF̅ = PD̅

Parabola è il luogo geometrico dei punti del piano tali che le distanze da un punto fisso detto fuoco e da una retta detta direttrice sono sempre uguali ma non costanti!

4 dicembre

Superficie Rigata

superficie generata dal movimento di una retta nello spazio. per ogni punto della superficie passa almeno una retta che si regge per la sua infinita estensione all'infinita estensione della superficie.

Teorema di Monge

1. Dato 3 curve qualsiasi nello spazio, che si comportano da direttrici, esiste sempre in un determinato dominio, la possibilità di generare una superficie rigata che appoggerà contemporaneamente alle tre direttrici:
2. Prendo una direttrice 1
3. Prendo un punto appartenente ad una delle 3
4. Proietto da questo punto una delle altre direttrici
5. Una generatrice che creo, interseca l'ultima direttrice, trovando il punto A
6. Al punto iniziale e al punto A trovo una delle 3 generatrici
7. Faccio la stessa cosa invertendo le direttrici
8. Prendo la 3 retta creo la superficie che si appoggia alle tre direttrici
9. Per ogni punto della superficie, passa almeno una generatrice retta

Esempi di Superficie Rigate

1. Volta a sbieco: le due direttrici sono semicerchio una e una retta
2. Ellicode: le direttrici sono, un elica, una retta verticale e una direzione
3. Cono quadrico: le direttici sono una conica e due rette che si intersecano nel vertice
4. Il cilindro quadrico: le direttrici sono una conica una praccatura che definiscono una direzione
5. Conoide: le direttrici sono una linea generato, una retta e una direzione
6. Il paraboloide iperbolico: le direttrici sono due rette giembre ad un piano direttror
7. Il perboloide ellittico: le generatrici sono 3 rette