Supporto all’esame di Statistica

Utilizzo della tavola della curva normale standardizzata

Utilizzando la tavola della curva normale standardizzata (riportata nel retro) risolvere le seguenti espressioni relative alla probabilità compresa in prefissati intervalli:

1. Pr( z < 1,23 )
2. Pr( 0,75 < z < 2,92)
3. Pr( z < z* ) = 0,97907

Calcolare la probabilità che estraendo una carta da un mazzo di carte napoletane questa sia un asso o una figura. Risposta: p =

Data una popolazione di N = 7 unità statistiche, quanti sono tutti i possibili campioni con ripetizione (bernoulliano) avendo fissato la numerosità del campione n uguale a 3 (formula e calcoli sul retro)?

Nella formula di Bayes la probabilità p(E/H) è la probabilità:

1. finale dell'evento E subordinatamente ad H
2. a priori o iniziale dell'evento E
3. probativa con cui l'evento E genera H

Scrivere la formula della curva normale o di Gauss, standardizzata e non, ed indicarne l'intervallo.

definizione: ΩLo spazio campionario relativo al lancio di due monete è rappresentato da (Ω = ……)67 σ 2= = =Dati si calcoli l’intervallo di confidenza, avendo fissato = 0,05;x 173 ; 125 ; n 360 αnella risposta indicare sia la formula che il risultato8 Per la variabile casuale campionaria media , v.c.c. , è valida l’uguaglianza:X Xµ nµ µ= = =a) ; b) ; c)E ( X ) E X E X( ) ( )−n n 1Determinare la numerosità campionaria nel caso di estrazione bernuolliana se si vuole9 considerare il sinistro medio campionario rappresentativo di quello dell’intera popolazioneσconsiderando che lo scarto ( ) è risultato 120, l’errore ammesso (ð) è 4 ed il livello diαprobabilità (1- ) è 90%La distribuzione della curva normale o di Gauss dipende dai parametri10 µ σ α αa) ; ; b) g = n-1; ; c) g = k – v – 1;Università degli Studi

di Roma 'La Sapienza'-Facoltà di Sociologia - Cattedra di Statistica - Prof.ssa Mary Frairebruno delle donne – appunti Corso Intensivo di Statistica - a.a.2004-05 26Test 3-4

COGNOME..........

NOME.............

N.Matr..........

N.O.V.O . solo 40

Corso di laurea: Sociologia Specialistica 40+20

STESS MODULO PROGREDITO (solo 20) solo 20

GORUPer una tabella a doppia entrata con 6 righe e 3 colonne, mediante l'impiego delle tavole del1 χ α2χ² (v. retro del foglio), dire qual'è il valore teorico del α avendo prefissato α = 0,01g ,Calcolare la probabilità che lanciando due dadi si presenti il numero sette.

2 ) Risposta: p =

Calcolare la probabilità che estraendo una pallina da un urna, contenente 12 palline3 bianche, 13 palline verdi, 18 palline rosse e 7 palline nere,

questa sia rossa.

a) Risposta: p =Il teorema delle probabilità totali per due eventi compatibili E ed E è rappresentato4 1 2dall’espressione:a) ( ) = ( )+ ( )- ( ) ; b) ( ) = ( )+ ( ) ; c) ( ) = ( )* ( )p E o E p E p E p E e E p E o E p E p E p E o E p E p E1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

La curva normale o di Gauss, già standardizzata, è data dall’espressione seguente, con5 accanto la rispettiva area: ( )− 2x M1 1−− −2 2x x1 1 1σ= = =2a) ; b) ; c)2 2y e : 0 ,5 y e : 0 ,5 y e : 1π σ π π2 2 2

L’universo dei campioni è:6 a) la popolazione P ;b) tutti i possibili campioni estratti dalla popolazione ;c) tutte le possibili popolazioni estratte da un campioneµ= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =2

Dati si provi l’ipotesi nulla H : = 13,5 contro l’ipotesi alternativax s n12 ; 30 ; 187 0µ ≠ α(bidirezionale) H : 13,5 al livello di significatività prefissato = 0,02.

a.a.2004-05 27Test 5-6COGNOME…………….……… NOME……………..………….. N.Matr……………… N.O.V.O . solo 40Corso di laurea: Sociologia Specialistica 40+20STESS MODULO PROGREDITO (solo 20) solo 20GORU1 Disponendo del numero dei promossi e respinti da tre esaminatori desunta dalla tabellaseguente: B: esaminatori totaleA: risultato A B Cpromossi 40 40 30 110respinti 40 50 50 140totale 80 90 80 250si provi che gli esaminatori sono ugualmente esigenti, mediante l’impiego delle tavole delχ α² , avendo fissato = 0,025Nella stima di un parametro mediante un intervallo di confidenza P indica:2 a) l’errore di II tipo ; b) il livello di rischio ; c) il livello di confidenzaPSe si considerano tutti i possibili campioni di dimensione n estratti da di dimensione N,3 al diminuire di n l’errore standard delle mediea) aumenta ; b)

diminuisce ; c) rimane lo stesso

Data una popolazione di N = 16 unità statistiche, quanti sono tutti i possibili campioni4 Psenza ripetizione (un blocco) avendo fissato la numerosità del campione n uguale a 15(formula e calcoli sul retro)?χ 2

La distribuzione del dipende dai parametri5 µ σ α αa) ; ; b) g = n-1; ; c) g = k – v – 1;

Il teorema delle probabilità composte per due eventi dipendenti E ed E è rappresentato6 1 2dall’espressione:a) ( ) = ( )+ ( )- ( ) ; b) ( ) = ( )* ( / ) ; c) ( ) = ( )* ( )p E o E p E p E p E e E p E o E p E p E1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2

Calcolare la probabilità che estraendo due palline in successione da un urna, contenente 127 palline bianche, 13 palline verdi, 18 palline rosse e 7 palline nere, queste siano rossa laprima e bianca la seconda.) Risposta: p =

Quando si dice che un campione ragionato o per quota è un campione rappresentativo che8 significa?

E’ un campione rappresentativo rispetto a che?⋅9 p ( E ) p ( H / E )

Nella formula di Bayes la probabilità p(H/E) è la probabilità:=p ( E / H ) p ( H )

a) finale dell’evento E subordinatamente ad H ; b) a priori o iniziale dell’evento E;c) probativa con cui l’evento E genera H.

Nella verifica delle ipotesi l’ipotesi base viene rifiutata se il valore della statistica test10 rispetto a quello teorico desunto dalla tavole è:

a) minore ; b) uguale ; c) maggiore

Università degli Studi di Roma ‘La Sapienza’-Facoltà di Sociologia - Cattedra di Statistica - Prof.ssa Mary Frairebruno delle donne – appunti Corso Intensivo di Statistica - a.a.2004-05 28

Test 7-8

COGNOME…………….……… NOME……………..………….. N.Matr……………… N.O.V.O . solo 40

Corso di laurea:

Sociologia Specialistica 40+20STESS MODULO PROGREDITO (solo 20) solo 20GORUχ2

Nel test del l’ipotesi nulla H indica che i due caratteri considerati sono:

1. dipendenti
2. indipendenti
3. uguali a zero

Il teorema delle probabilità composte per due eventi indipendenti E ed E è rappresentato dall’espressione:

1. ( ) = ( )+ ( )- ( )
2. ( ) = ( )* ( / )
3. ( ) = ( )* ( )

p E o E p E p E p E e E p E o E p E p E1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2P

Se si considerano tutti i possibili campioni di dimensione n estratti da di dimensione N, al diminuire di N l’errore standard delle medie:

1. aumenta
2. diminuisce
3. rimane lo stesso

Calcolare la probabilità che estraendo una carta da un mazzo di carte napoletane questa sia un sette o un bastoni. Risposta: p = χ2

Di una tabella a doppia entrata, con 7 righe e 5 colonne, è stato calcolato il ottenendo un valore pari a 51,75; si provi l’ipotesi di indipendenza della

Nella formula di Bayes la probabilità p(E) è la probabilità:

a) finale dell'evento E subordinatamente ad H

b) a priori o iniziale dell'evento E

c) probativa con cui l'evento E genera H

μ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Dati si provi l'ipotesi nulla H : μ = 18,5 contro l'ipotesi alternativa μ > 18,5 al livello di significatività prefissato = 0,15. Nella risposta indicare sia la formula della 'statistica test' impiegata, con il risultato, sia se si accetta o meno l'ipotesi nulla.

μ μ

a) Accetto H : μ = 18,5

b) Rifiuto H : μ = 18,5

Calcolare la probabilità che estraendo due carte in successione da un mazzo di carte napoletane queste siano un quattro la prima e un fante la seconda.) Risposta: p = 9

Utilizzando la tavola della curva normale standardizzata (riportata nel retro) risolvere le seguenti espressioni relative alla probabilità compresa in prefissati intervalli.