Riassunto esame Applicazioni di geometria descrittiva, prof. Migliari, libro consigliato Geometria dei modelli

Domanda n° 1

La geometria descrittiva comprende alcuni metodi di rappresentazione grafica (studiati nel corso del primo anno) e due metodi di rappresentazione digitale. Illustrare le differenze tra gli uni e gli altri e, in particolare, le caratteristiche di impostazione teorica e di impiego tecnico del metodo di rappresentazione matematico e del metodo di rappresentazione numerico.

Metodi di rappresentazione

Il metodo matematico ha come finalità il controllo metrico delle forme, riesce ad esercitare sulle forme anche più complesse un controllo grazie alle equazioni nemps. È più conveniente rappresentare le forme di oggetti attraverso il metodo numerico o poligonale, e non con sistemi di equazioni, quando abbiamo a che fare con forme difficili da descrivere attraverso le leggi della geometria: prima fra queste, la superficie topografica.

Da sempre si sono studiati dei metodi che aiutassero a rappresentare queste forme che sfuggono alla geometria. Uno di questi metodi sono le proiezioni quotate. Si immagini di tagliare l’oggetto da rappresentare con un fascio di piani paralleli ed equidistanti e poi si disegnino le linee di intersezione di questi piani con la superficie topografica, ottenendo una rappresentazione “per curve di livello”.

Seguendo i modelli elaborati in classe ci si rende conto che il problema è la contestualizzazione. Per modellare questo tipo di oggetto, integrante nel tipo di architettura, è sicuramente utile la rappresentazione numerica.

Come si può arrivare a questo risultato?

Nella modellazione numerica bisogna aver presente che il metodo di lavoro è partire da una forma in genere matematica, e poi trasformarla in un poliedro aperto o chiuso. Si arriva all’oggetto da definire spostando i vertici di questo poliedro fino ad ottenere l’oggetto desiderato. Ciò si può ottenere con varie tecniche. Si parte con un piano e dopo aver fatto una primissima approssimazione il lavoro sta nel trasformare questo oggetto matematico in poliedro, con il comando “funzioni”→rendi modificabile.

La rappresentazione numerica è caratterizzata da una lista di coordinate, X, Y, Z. Un click su questa lista permette di visualizzare il punto cliccato. Esiste poi una seconda lista che identifica i poligoni che descrivono l’oggetto. Ci si può approssimare alla forma della collinetta selezionando con una selezione “a pennello” (tenere premuto il pulsante sinistro e scorrendo sull’oggetto), così facendo si selezionano i vari poligoni dell’oggetto. Una volta selezionati basta trascinare la Z verso l’alto e si creerà un dislivello.

Così facendo, se partiamo da una documentazione tecnica come quella delle curve di livello, o si fa fatica o si ottiene un risultato molto approssimativo. Occorre trovare un modo che sia più efficiente per raggiungere presto e bene il risultato. Trattandosi di superfici topografiche le tecniche sono tantissime. La tecnica più rapida da apprendere ma anche più efficiente per i futuri progetti è basata su una rappresentazione chiaroscurale del terreno che si chiama “batigrafia”.

Il primo passaggio consiste nel modellare, e si può fare anche in think design, le curve di livello all’interno di un perimetro. Questo perimetro deve corrispondere quanto a rapporti alla patch, alla superficie piana dalla quale partiremo per elaborare il nostro modello. Bisogna ottenere un’immagine della superficie voluta, si apre photoshop e si carica l’immagine al suo interno. Si uniscono tutti i livelli, si seleziona il secchiello e si riempiono le varie zone con un gradiente di grigio che va via via scurendosi. Per raccordare i vari livelli di colore si usa o sfoca o sfuma.

Il modo più semplice per utilizzare una batigrafia è il comando “oggetti”→primitive→rilievo. Questo oggetto, una volta caricato, dovrebbe far comparire una semplice superficie piana, ma visto che si serve della batigrafia, e visto che ancora non l’abbiamo definita, non dà nulla. Tra le proprietà dell’oggetto c’è la possibilità di dare una texture, e in questa texture ci sarà la nostra curva di livello. Facciamo click sull’immagine per caricare quella batigrafia. Se riduco il numero di segmenti in larghezza e in profondità, il risultato ottenuto sarà un andamento più morbido. È sconsigliabile esagerare per evitare di aumentare il numero di poligoni perché può interferire nelle prestazioni della macchina.

La tecnica del displacement

Per creare materiali selezioniamo la superficie di riferimento, apriamo l’editor materiale, clicchiamo su displacement. Facendo click su texture, andiamo su disturbo e nei punti in cui la mappa è più chiara l’intonico verrà tirato avanti, mentre dove è più scura il contrario. Di conseguenza avremo un certo movimento. Lo si vedrà solo in modalità di rendering.

L’ultimo esempio di displacement è il più raffinato. L’ha realizzata un dottorando di Firenze. La si ottiene dal rilievo fotografico di un bassorilievo. Il modello, cambiando la luce, si comporta come se fosse realmente in rilievo.

Altre tecniche di modellazione numerica

• Consiste nel pilotare il movimento dei vertici del poligono per ottenere l’oggetto desiderato attraverso una mappa che guida questo movimento.
• A “tela di ragno”: consiste nel costruire i poligoni uno ad uno facendosi guidare da due proiezioni ortogonali dell’oggetto per arrivare a tessere la superficie. Viene utilizzato soprattutto per le forme sfuggenti e difficili, come il volto umano o le forme organiche.
• Esiste un modo per suddividere le facce di un poliedro (es. cubo) in altre facce. Serve a rendere molto morbido un oggetto molto sbozzato. Per ottenere l’applicazione di questa tecnica in cinema4D si utilizza il comando “oggetti”→nurbs→hiper nurbs. Sta anche ad indicare più algoritmi che rientrano nella categoria delle superfici di suddivisione.
• Splin cage: ci si serve del supporto della matematica, cioè si utilizzano quelle poche funzioni di rappresentazione matematica e si crea un loft.

Domanda n° 2

La rappresentazione matematica comprende varie tecniche di modellazione: wire-frame, per superfici, solida. Illustrare le caratteristiche di ognuna di tali tecniche.

I tipi di modellazione

I tipi di modellazione 3D supportati dal nostro software sono tre: wireframe, di superficie e solida. Ogni tipo di modellazione prevede tecniche di creazione e modifica specifiche.

Un modello wireframe è una descrizione di base di uno o più oggetti 3D. Questo modello non contiene alcuna superficie ed è costituito solo da punti, linee e curve che descrivono gli spigoli degli oggetti. È consentito creare dei modelli wireframe posizionando oggetti (piani) 2D in qualsiasi punto dello spazio 3D. Poiché i singoli oggetti che costituiscono un modello wireframe devono essere disegnati e posizionati in modo indipendente, questo tipo di modellazione può richiedere molto tempo.

La modellazione di superfici è più sofisticata rispetto alla modellazione wireframe poiché oltre agli spigoli, prevede anche la definizione delle superfici di un oggetto 3D. Il modellatore di superfici consente di definire le superfici sfaccettate mediante una mesh poligonale. Poiché le facce della mesh sono piane, la mesh può fornire solo una rappresentazione approssimativa delle superfici curve.

La modellazione solida è il tipo di modellazione 3D più facile da utilizzare. Con il modellatore di solidi è possibile creare oggetti 3D utilizzando alcune forme 3D di base, quali il parallelepipedo, il cono, il cilindro, la sfera, il cuneo e il toro (anello). È possibile unire queste forme per creare solidi più complessi, aggiungendole o sottraendole oppure trovandone il volume di intersezione (sovrapposizione). È inoltre possibile creare dei solidi trascinando un oggetto 2D lungo un percorso o facendolo ruotare attorno ad un asse.

Domanda n° 3

La costruzione di un modello di architettura comporta la soluzione di vari problemi, ad esempio: la modularità delle misure, la scomposizione in parti omogenee, l’uso dei livelli, le lavorazioni sui solidi. Descrivere sistematicamente tale problematica.

Problematiche nella costruzione di un modello di architettura

Le problematiche che comporta la costruzione di un modello di architettura sono legate all'organizzazione del lavoro. Bisognerebbe aver chiaro il processo di costruzione: da dove partire, come gestire i solidi e gli elementi del modello in base ai layer, conoscere i materiali.

Un modello di architettura va costruito con le sue misure reali; non va scalato, ma va comunque scelta l'unità di misura (di solito per l'architettura viene usato il cm). Dopo aver individuato le parti costitutive dell'edificio (mura esterne, tramezzi, infissi, ecc...) è bene distinguerle secondo layer diversi e nominati a seconda di quello che contengono. Mettere tutti gli elementi del modello in un unico layer creerebbe solo grande confusione.

Dopo aver creato i solidi che rappresentano i vari elementi tramite estrusioni lineari, è possibile lavorarli creando bucature per gli infissi, scavandoli per creare rampe di scale, tagliarli a seconda della struttura che vogliamo creare; tutto questo è possibile attraverso il comando Inserisci - Solidi - Estrusione - Tasca Lineare. Per usare questo comando è necessario spostare il piano di lavoro sulla faccia del solido che vogliamo modellare.

Domanda n° 4

Il progetto di un tetto a padiglione, a pendenza e gronda costanti, su un impianto planimetrico qualsiasi. Illustrazione dei due metodi: per bisettrici e per curve di livello.

Costruzione di un tetto a padiglione

La forma di un tetto dipende principalmente dal perimetro dell’edificio cui il tetto deve essere sovrapposto e dalle eventuali differenze di altezza dei muri perimetrali. Il tetto è composto da più falde, piane e opportunamente inclinate. L’inclinazione delle falde dipende dagli aspetti climatici e dalle caratteristiche costruttive del tetto. La pendenza si esprime con un valore percentuale che indica il rapporto tra il dislivello compreso tra le due linee orizzontali che delimitano le falde e la loro distanza in proiezione orizzontale (generalmente questa è compresa tra il 30 e il 65%).

Ogni falda è delimitata inferiormente dalla linea di gronda attraverso la quale le acque piovane defluiscono nella grondaia. L’intersezione tra due falde piane è sempre una retta ed è detta linea di displuvio o compluvio, a seconda che il diedro formato dalle due falde volga la sua convessità all’esterno o all’interno dell’edificio. L’intersezione di almeno tre linee di displuvio determina un vertice. Le linee di displuvio delimitate dai vertici di maggior quota della copertura sono denominate linee di colmo. Si definisce tetto a padiglione il tetto in cui le falde di pendenza uniforme si appoggiano sull’intero poligono di imposta e le linee di gronda risultano continue.

Metodi per la costruzione di un tetto a padiglione

I° metodo: Per curve di livello. Si parte dalla linea di gronda inserendo la superficie lineare (Ins/Superficie/Lineare), inclino quest’ultima secondo l’angolo di pendio prestabilito quindi circa 30° con Modifica/Sposta/Copia, dopodiché interseco le due superfici (Ins/Curve/Interseca) e taglio via le parti in eccedenza non appartenenti al profilo della falda. Costruisco le bisettrici dei poligoni e inserisco le altezze. Infine costruisco le superfici piane del tetto.

II° metodo: Per bisettrici. Anche con questo metodo parto dal profilo della linea di gronda e costruisco le bisettrici (Inserisci/Disegno/Linea/Bisettrice) costruisco le altezze dei vertici e collego le linee delineando i bordi delle falde, infine inserisco le superfici piane con Ins/Superfici/Piane.

Domanda n° 5

La rappresentazione NURBS delle linee curve. Significato dell’espressione: Np = (Deg – Con) Na + Con +1

Rappresentazione NURBS

L'espressione Np = (Deg - Con) Na + Con + 1 è l'espressione che lega i parametri che modellano una NURBS.

• Np: numero dei poli o punti di controllo e il loro peso
• Na: numero degli archi (o Spans) che compongono la curva
• Con: la continuità tra gli archi nei punti di saldatura (knots)
• Deg: grado della curva

Caratteristica della NURBS è la capacità di descrivere le coniche esattamente e non per approssimazione, come le altre spline.

Domanda n° 6

I gradi di continuità tra curve NURBS (0, 1, 2, 3) e loro significato

Gradi di continuità delle curve NURBS

I gradi di continuità delle curve NURBS possono essere spiegati più chiaramente nel caso in cui abbiamo, per esempio, 2 curve attaccate tra loro delle quali dobbiamo caratterizzare la continuità della transizione. Definiamo:

• Continuità di ordine zero o Continuità Posizionale, la situazione in cui gli estremi delle due curve coincidono;
• Continuità di ordine 1 o Continuità in Tangenza, la situazione in cui le tangenti nel punto comune sono allineate;
• Continuità di ordine 2 o Continuità in Curvatura, la situazione in cui i cerchi osculatori nel punto comune coincidono, ovvero avremo lo stesso raggio di curvatura ma anche stessa giacitura e stessa direzione.