Riassunto esame Applicazioni di geometria descrittiva, prof. Migliari, libro consigliato Geometria dei modelli

Domanda n°14

La ricerca delle sezioni circolari del cono quadrico.

Si chiamano CONICHE le curve generate dall'intersezione di un piano con una superficie conica. Di esse fanno

parte l'ellisse, la parabola e l'iperbole. Costruisco un piano che taglia il cono, passante per il vertice:

Quando il piano secante è parallelo alla base del solido, si ha il CERCHIO.

Quando il piano secante non è parallelo ad alcuna generatrice, si ha l'ELLISSE.

Quando il piano secante è parallelo ad una generatrice, si ha una PARABOLA.

Quando il piano secante è parallelo all'asse, si ha l‘IPERBOLE.

Le coniche possono essere viste come la prospettiva di un cerchio.

Domanda n°15

La ricerca delle tre infinità di sezioni circolari del toro.

Con la parola rivoluzione si intende il movimento di un oggetto che ruota intorno a un altro. Se la generatrice è un

cerchio che si rivolge intorno a un asse che non passa per il centro, allora la superficie di rivoluzione si chiama

TORO. Quando l’asse è esterno al cerchio, la superficie ha forma anulare, cioè la forma di una ciambella. La

superficie dà luogo a sezioni circolari quando è tagliata con piani passanti per l’asse o con piani perpendicolari

all’asse rispettivamente meridiani e paralleli. Il toro ammette tuttavia una serie infinita di sezioni circolari

(Villarceau) e sono quelle che si ottengono secandolo con i piani che ne attraversano la cavità centrale e sono

tangenti alla superficie in due punti distinti (piani bitangenti). Se sezioniamo il toro con un piano verticale

abbiamo 2 circonferenze distinte, se il piano è orizzontale otteniamo 2 circonferenze concentriche e infine, la

sezione con un piano bitangente dà luogo a una coppia di circonferenze (Teor. Villarceau).

Domanda n°16

Il paraboloide iperbolico e la ricerca dei suoi assi e delle sue parabole direttrici.

La sezione principale di un paraboloide iperbolico è una parabola. Secondo il teorema di Morge: date 3 curve nello

spazio esiste una sola superficie rigata che si appoggia a queste 3 curve. Consideriamo due rette sghembe a e b. Si

uniscono gli estremi di queste due rette con altre due formando così il quadrilatero sghembo. Si costruiscono i

piani direttori e si genera un fascio di piani paralleli al primo e con questo si tagliano le rette a’ e b’ individuando

altre coppie di punti. Il paraboloide iperbolico possiede tre assi triortogonali. La direzione dell’asse x che

chiameremo asse del paraboloide iperbolico è facilmente individuabile costruendo due piani incidenti che si

incontrano in una retta che è la direzione dell’asse.Si seziona poi la superficie con un qualsiasi piano alfa

perpendicolare alla direzione dell’asse, questo piano incontro due punti all’infinito della curva sezione che sarà

un’iperbole. Si determina il centro C dell’iperbole costruendo due corde parallele a secare ciascuno dei due rami e i

loro punti medi identificano il punto C. Si traccia poi un cerchio in C che individua un rettangolo nei punti PQRS,

i cui lati forniscono le direzioni degli assi (rette passanti per i punti medi) Le due rette che chiameremo y e z

individuano con x i piani di simmetria ortogonale della superficie. Ciascuno dei piani taglia la superficie secondo

una conica che possiede un punto all’infinito. Queste due curve sono le parabole principali del paraboloide

iperbolico.

Paraboloide iperbolico equilatero: Consideriamo un rettangolo qualsiasi ABCD e sui vertici opposti ad esempio A

e C innalziamo due segmenti AE e CF costruiamo i segmenti BE e DF. Questi segmenti individuano due

quadrilateri sghembi equilateri ciascuno dei quali genera una rigata quadrica che chiameremo paraboloide

iperbolico equilatero.Tracciate le mediane del rettangolo su cui è costruita la superficie, innalziamo due piani

perpendicolari, i quali si intersecano in una retta che è l’asse x del paraboloide e sono piani di simmetria ortogonale

alla superficie. I piani individuati tagliano la superficie nelle parabole principali.

Domanda n°17

La costruzione di un iperboloide rigato ellittico per dilatazione dell’iperboloide rigato rotondo.

Date tre generatrici a b e c che individuano l’iperboloide se ne costruiscono altre due: d ed e. Si costruiscono poi

gli assi x,y, e z e il centro I. Per fare questo si costruiscono per il centro I cinque rette parallele alle generatrici.

Queste rette individuano il cono quadrico detto cono asintotico perché lo tocca all’infinito. Il terzo passo è quello

di costruire l’ellisse di gola tagliando con un piano xy le cinque generatrici determinando così la conica. Nel quarto

passo si costruisce quindi l’iperboloide di rivoluzione: si sceglie quindi il piano yz che passa per l’asse minore

dell’ellisse e si determinano i cinque punti intersezione con le generatrici. I punti costruiti individuano l’iperbole

che fornisce per moto di rivoluzione, la superficie dell’iperboloide rotondo. Applicando una dilatazione del cerchio

di gola trasformandolo in una ellisse si ottiene l’iperboloide ellittico.

Domanda n°18

Superfici sviluppabili e elicoidi (superfici elicoidali)

Una superficie sviluppabile può avere diverse definizioni che però non rendono il concetto facile. Perciò si può

prendere un foglio di carta, immaginare di curvarlo nello spazio fino a formare una superficie, qualsiasi superficie

si può creare in questo modo è una superficie sviluppabile.

Ha funzione importante per chi costruisce in generale. In particolare per le navi. Le superfici che si possono fare in

questo modo, ovvero curvando una superficie, è il CILINDRO, il CONO, l’ELICOIDE. Nonostante queste siano

superfici rigate, ovvero generate dal movimento di una retta nello spazio, le famiglie di rette generatrici che

formano la superficie stessa sono costituite da rette che non si incontrano mai ma incontrano le generatrici di altre

famiglie come l’iperboloide.

In questo caso le generatrici si incontrano progressivamente, o in un punto come nel caso del cilindro, oppure

sono tutte tangenti come una stessa linea curva o sghemba la quale viene poi chiamata SPIGOLO di REGRESSO.

Il modo comune per generare una superficie sviluppabile consiste nel far scorrere su una curva sghemba una linea

generata dal movimento combinato intorno ad un asse mentre la linea trasla lungo l’asse e si crea una curva a elica.

Questa curva ha un ruolo molto importante nella costruzione di varie superfici.

Comando: inserisci-->curva-->elica-->Asse:linea (si crea una linea verticale), Origine, si dà l’altezza e il passo. Il

passo è l’altezza di quella parte della curva che compie un giro completo su se stessa. Se voglio una curva che

mentre la circonferenza sale di 50cm compia un arco su se stessa darò la stessa misura per il passo. Mentre se

invece voglio che ne faccia due, darò 250 cm.

Se voglio una superficie sviluppabile va trovato il modo di costruire la tangente in un punto di questa curva, ad

esempio quello iniziale, farlo scorrere lungo la curva, portandomi dietro sempre la tangente. Costruire la tangente:

analisi della curva: strumenti-->info-->analisi-->locali, si dà il parametro del punto e poi si chiede di inserire i dati

geometrici . Trovata la tangente ci sono due modi per procedere:

1)inserisci-->superfici-->estrusione globale, si decide per direttrice la tangente e la curva guida la generatrice,

apparirà poi l’elica. Per rendere la superficie più estesa si può chiedere al sistema di disporre il piano di lavoro in

modo che abbia l’asse z parallelo alla tangente e gli altri assi ortogonali alla curva in un punto. Si va sul piano di

lavoro, oppure modifica piano di lavoro su entità, si seleziona la curva, si sceglie il punto nel quale si vuole che

venga disposto il piano di lavoro e si dà il via. L’asse Z avrà l’andamento della tangente. Ma non si può costruire

una retta parallela all’asse Z, quindi dobbiamo ruotare di 90° intorno all’asse X così che l’asse Y prenda il posto

dell’asse Z e poi si può disegnare una tangente lunga quanto è necessaria e tornare a generare la superficie.

Questo comando riesce utile (le superfici sviluppabili) quando dobbiamo creare una superficie tipo una cornice di

un edificio perché si dà il profilo del muro da creare, la traccia da seguire e con questo comando si creerà la

superficie che vogliamo realizzare.

2) Inserisci-->superficie-->elica; generatrice è la retta tangente alla curva, l’asse con la sua origine, altezza e passo.

Altezza 500 e passo 500.

Superfici elicoidali non sviluppabili

Superfici comunemente usate in architettura e meccanica

1_Vite a filetto triangolare e la generatrice non è tangente all’elica;

2_Elicoide vite di (Saint Gilles) Come si genera? Si fa scorrere sull’elica una circonferenza che giace in un piano

che passa per l’asse dell’elica stessa. Se l’asse è verticale la circ è in un piano verticale e scorre lungo l’elica, se

invece la circonferenza generatrice giace in un piano orizzontale 3_ compie sempre lo stesso movimento lungo

l’elica la forma che ne deriva si può costruire in un modo che si renda più utile.

4_la circonferenza giace in un piano parallelo alla retta generatrice, serpentino.

Quando si parla di un elica che cammina sull’andamento di un cono, si distingue tra l’elica conica e la spirale

conica, che sono due cose diverse. L’elica conica sale sulla superficie del cono aumentando sempre la propria

pendenza, incrocia le direttrici del cono con un angolo che tende ad aumentare verso il vertice del cono

Domanda n°19

La costruzione dell’ellissoide per dilatazione della sfera.

L’ellissoide è una quadrica le cui sezioni sono ellissi. La sfera può essere descritta come un caso particolare di

ellissoide nel quale tutte le sezioni sono circonferenze. Per costruire l’ellissoide si parte costruendo una sfera su

una terna triortogonale. Fatto ciò effettuando alcune variazioni di scala tramite Modifica/Scala è possibile costruire

l’ellissoide. Si costruisce un’altra sfera intersecandola con la prima Inserisci/Curve/Interseca; abbiamo così le

tangenti. Infine con Inserisci/Curve/Sezione vediamo appunto come le sezioni dell’ellissoide sono delle ellissi.

Domanda n°20

La costruzione del paraboloide ellittico per dilatazione del paraboloide rotondo.

Le sezioni del paraboloide sono ellissi e parabole.La superficie possiede un vertice ma non ha un centro, di

conseguenza possiede un solo asse reale essendo gli altri “all’infinito”,essendo le due giaciture perpendicolari.

Basta tagliare il paraboloide con qualsiasi piano perpendicolare all’asse, questa sezione genera un’ellisse e gli assi di

questa ellisse individuano