Successioni divergenti

Successioni divergenti

Il concetto di limite di una successione è simile a quello di limite di una funzione. Tuttavia, nel caso delle successioni osserviamo che il dominio è l’insieme dei numeri naturali e non un intervallo. In particolare, questo comporta che la variabile indipendente n non può tendere a un valore finito, ma solo a +∞.

Esempio di successione divergente positivamente

lim_n→+∞ a_n = +∞

Consideriamo la successione a_n = 3ⁿ, ossia: 1, 3, 9, 27, 81, ... Al crescere di n, i termini diventano sempre più grandi. Diciamo allora che al tendere di n a +∞ la successione tende a +∞ e che, scelto un numero M grande a piacere, da un certo n in poi i termini della successione lo superano.

Definizione

lim_n→+∞ a_n = +∞

Data la successione di termine generale a_n, si dice che per n tendente a +∞ la successione ha per limite +∞ quando, fissato ad arbitrio un numero M positivo, è possibile determinare un corrispondente numero p_M positivo tale che risulti: a_n > M per ogni n > p_M. In questo caso la successione si dice divergente positivamente.

Per esempio, se M = 10 si ha 3ⁿ > M da n = 3 in poi; se M = 100 da n = 5 in poi, ... Dire che M è un numero positivo fissato ad arbitrio equivale a dire che quanto enunciato vale per ogni M > 0. Questo vuol dire che, fissato ad arbitrio M > 0, da un certo indice in poi tutti i termini che seguono sono maggiori di M.

Esempio di verifica

Verifichiamo che la successione dei numeri naturali multipli di 3 è divergente positivamente, ossia che lim_n→+∞ 3n = +∞.

Fissato un numero positivo M, dobbiamo trovare un corrispondente numero positivo p_M per cui risulti: 3n > M ∀n > p_M. Dividendo entrambi i membri per 3 otteniamo la disequazione equivalente: n > ^M/₃. Se poniamo p_M = ^M/₃, abbiamo trovato che ∀n > p_M → 3n > M, ossia tutti i termini con indice n > ^M/₃ sono maggiori di M.

Successioni divergenti negativamente

In modo analogo diamo la definizione di successione che tende a −∞.