Successioni convergenti

Successioni convergenti

Successioni convergenti

lim a_n = l Consideriamo la successione a_n = ¹/_n², con n ≠ 0, ossia: 1, ¹/₄, ¹/₉, ¹/₁₆ ...

Al crescere di n i suoi termini si avvicinano sempre più a 0. Diciamo allora che al tendere di n a +∞ la successione tende a 0. Comunque scegliamo un numero ε piccolo quanto vogliamo, da un certo n in poi i termini della successione si avvicinano a 0 a meno di ε, cioè: |¹/_n² - 0| < ε.

Definizione

lim a_n = l Data la successione di termine generale a_n, si dice che per n tendente a +∞ la successione ha per limite il numero l quando, fissato ad arbitrio un numero ε positivo, è possibile determinare un corrispondente numero p_ε positivo tale che risulti: |a_n - l| < ε per ogni n > p_ε. Una successione di questo tipo si dice convergente.

Per esempio, se ε = 0,1, la condizione |¹/_n² - 0| < ε è vera da n = 4 in poi; se ε = 0,01, da n = 11 in poi, ...

Esempio

Verifichiamo che _{limn → +∞} ¹/_2n = 0. Fissato un numero positivo ε, dobbiamo trovare in corrispondenza un numero positivo p_ε per cui risulti: |¹/_2n - 0| < ε → |¹/_2n| < ε, ∀n > p_ε.

Poiché n > 0, possiamo togliere il valore assoluto: ¹/_2n < ε. Passiamo alla disuguaglianza tra i reciproci dei due membri, cambiando anche il verso della disuguaglianza, e dividiamo poi per 2: 2n > ¹/_ε → n > ¹/_2ε. Se poniamo p_ε = ¹/_2ε, abbiamo trovato che ∀n > p_ε risulta: |¹/_2n - 0| < ε.