Strumenti statistici

Stima per intervallo

X = una v.c. carattere su una pop. f. prop. p(x;), secondo una f. (x;)Obiettivo: trovare L1 e L2 tali che [L1, L2] contenga con una probabilità 1 - .L1 e L2 sono st. campionarie, cioè funzioni del campione casuale che noncontiene parametri incogniti. Se li avessero, non potremmo calcolare perciò L1(x1, ..., xn) e L2(x1, ..., xn). = una prob. elevata decisa a priori. (0,05; 0,5; 0,50)L1 e L2 sono ovviamente v.c. In corrispondenza di un certo campione assumerannoun valore numerico.Possiamo definire l'intervallo L1, L2 detto d'introduzione ai livello 1 - per il qui India:Pr [L1(y1, ..., yn) ≤ ≤ L2(y1, ..., yn)] = 1 - livello di confidenza

Se scegliamo liv. conf. di 0,95, l'int. comprende il vero valore del parametro nei 95%

Media campionaria con varianza nota

Supponiamo una normale X~N(,²), ² notaQui siamo interessati a , di cui trovare int. di confidenza.Lo stimatore della media è la media campionaria = stima puntualeLa distribuzione nella normale è una normale ~N(,²/n), Punto dipartenza per costruire l'intervallo.Prima per standardizzarlo: prendo - () e sottraggio la media ()ed arriva per 5/InPr[( - )/(/√n) ~ N(0,1)]

z₀ v. normale tale che a. prop;1.1/2 (z₀) = /2

strumenti statistici per l'analisi economica

stima per intervallo

X è una v.c.: carattere su una pop P con p(x; θ), secondo una f.q (x;θ)

Obiettivo: trovare L₁ e L₂ tali che [L₁;L₂] contenga θ con una probabilità 1 - α.

L₁ e L₂ sono st. campionarie, cioè funzioni del campione casuale che non contengono parametri incogniti. Se li avessero, non potremmo calcolare θ perciò [L₁(X₁,...,X_n);L₂(X₁,X_n)] è (X₁,...,X_n)

α è una prob. elevata scelta a priori. (0,05; 0,95; 0,50)

L₁ e L₂ sono ovviamente v.c. in corrispondenza all'n. certo campione assumeranno un valore numerico.

Possiamo definire l'intervallo L₁ L₂ atto di confidenza al livello 1 - αPerciò quindi: Pr { L₁(X₁,...,X_n) < θ < L₂(X₁,...,X_n) } = 1 - α livello di confidenza.

Se scegliamo liv. conf. di 0,95, l'int. comprende il vero valore del parametro nel 95%.

media campionaria con varianza nota

Supponiamo una normale X~N (μ;σ²), σ² nota

Qui siamo interessati a μ, al cui trovare int di confidenza.

Lo stimatore della media è la media campionaria X̄ _ stima puntuale.

La distribuzione X̄ nella normale è una normale X̄ ~N (μ; σ²/n). Punto di partenza per costruire intervallo.Prima di trovare l'intervallo, prendo v.c. (X̄) ne sottraggo la media (μ)ed è div. x σ/√n:

Pr{ (X̄ -μ)/(σ/√n)} ~N (0;1)

v. l

variabile totale che a probab. α/2 v (z° are(z°))

Prendiamo α/2; 0,025 troviamo z tale che la prob. di osservare valori maggiori sia 0,025.

Noi la indichiamo con d/2, ma nella tabella viene indicata con d/2.

Quindi in questo caso nella tabella consideriamo |z| = 1,96.

Per costruire l'intervallo ci serve sia il valore sulla coda dx che sx, ma a sx è negativo.

√n _Σ(x_i-_m)²/n ~ N(0,1) è compreso tra z_d/2 e z_−d/2 con una prob. di 1-α

Dobbiamo isolare m: p(|z| < z_d/2 σ/√n (x̄−μ < z_d/2 σ/√n) = 1-α

p(|z| < z_d/2 σ/√n (x̄−_m < z_d/2 σ/√n) = 1-α

p(|z| < z_d/2 σ/√n _m < x̄ − z_d/2 σ/√n) = 1-α

p(x̄ − z_d/2 σ/√n < _m < x̄ + z_d/2 σ/√n) = 1-α

z_d/2 σ/√n L₁ + z_d/2 σ/√n L₂

Media campionaria con varianza ignota

x̄~N(μ,σ²/n) n.s. _camp.standar

√n (x̄−μ)/σ~N(0,1) ^(b)√n−1 _i=1 Σ(x̄−xi)²

se prendo (n-1)S²/σ ²~⁽ⁿ⁻¹⁾χ² b _{gradi di libertà}

Inoltre z² è inde dalla N standard di prima. X² ha distr asimmetrica >0;

_{lunga coda dx} (A t di Student X' + Normale)

Ripasso t di Student

Z~N(0,1) e X~χ²(g) indipendenti tra loro

Z_/√X/g si ottiene una distribuzione nota - t

Quindi: √n x̄ - μ

_σ/Normale

√n x̄ - μ σ

[...]=t(_{Student n−1})

(n)