Strumenti statistici

Stima per intervallo

X è una v.c. : carattere su una pop. ∧ prob. P( ) se continua f(x) d)Obiettivo: trovare L₁ L₂ tali che [L₁, L₂] contenga Θ con una probabilità 1-αL₁ e L₂ sono stimatori pivotali: cioè funzioni del campione casuale che noncontiene parametri incogniti se L₁ è verso 0 possiamo calcolareL₁ = L₁(X₁, X_n) e L₂ = L₂(X₁, X_n)e sia una prob. elevata decisa a priori. (0.95, 0.99, 0.90)Se L₁ e L₂ sono ovviamente M e C in corrispondenza al incerto campione assumere andando un valore numerico:

• Intervallo di conf.

Possiamo definire l’intervallo L₁ L₂ detto di confidenza al livello 1-αPer il quinidi: P[ L₁(y₁, x_n) |u| L₂(x₁... x_n) ] = 1-α livello di confidenzaSe scegliamo il livello di 0.95, l’int. comprende il vero valore del parametro nel 95%

Media campionaria con varianza nota

Supponiamo una normale X∼N (J, σ²), σ² notoQui siamo interessati a J, di cui trovare int. di confidenza.Lo stimatore della media è la media campionaria X - stimò puntualeLa distribuzione di nella normale è una normale X=N(J, σ²/n). Punto di partenza per costruire intervallo.Prima pero standardizziamo prendo v.c. (X) e nei saggio (l2) media (J)

evtivalea per |σ/√n| P ( )Vr: (X:J, σ²/n) σ=(0,1)

z ( 0,05 0,0251,645 | 1.96

Prendiamo 2/2 = 0.025, trovando z tale che la prob. di osservare valori maggiori sia 0.025.

Non la arachiamo con 0.025, ma nella tabella viene indicata con α/2.Quindi in questo caso nella tabella consideriamo t_α; = 1.96.

Per costruire l'intervallo si serve sia il valore sulla coda dx che sx, ma α sx è negativo.

P ( -z_α/2 σ/√n < \(\bar{x}\) - μ < z_α/2 σ/√n ) = 1- α

P ( z < \(\bar{x}\) - μ / σ/√n ) < z_α/2) = 1- α

P ( -z_α/2 < \(\bar{x}\) - μ / σ/√n ) < z_α/2) = 1- α

P ( \(\bar{x}\) - z_α/2 σ/√n < μ < \(\bar{x}\) + z_α/2 σ/√n ) = 1- α

Media campionaria con varianza ignota

\(\bar{x}\) ∼ N (μ, δ³/n) N.S.I

√n \(\bar{x}\) - μ ∼ N_(0,1) ^opp.student

se prendo (n-1) S²/^σ²  ∼ χ²^(n-1) gradi di libertà

Inoltre chi² è inde dalla N standard di prima.χ² ha distr. asimmetrica > 0, lunga coda dx. (t di Student χ² + Normale)

Ripasso t di Student

z ∼ N _(0,1), cioè χ - χ²(g) indipendenti fra loro

z/√(χ²/g) si ottiene una distribuzione nota - t

quindi: √n \(\bar{x}\) - μ / g Normale

Vh. \(\bar{x}\) - μ / σ / S ∼ t di Student (n-1)

S³ χ² S / (n) S³/S ^equivocone S/√S

σ³ ^salto _radice g

χ² ^sotto _liberta 3

Intervallo per la proporzione

[x̄ - z_α/2 √((x̄ (1-x̄ ))/n); x̄ + z_α/2 √((x̄ (1-x̄ ))/n)]

Ampiezza: 2 z_α/2 √((x̄ (1-x̄ ))/n)

quindi:

n = (z_α/2 c₀ / A)²; c₀ = √(x̄ (1-x̄ ))

2 z_α/2 √((0,5(0,5))/n)

z √((0,25)/n) (ε metà intervallo)

Intervallo di confidenza per la pop. Normale (con media e varianza ignota)

Intervallo per σ² in una pop. Normale, distribuzione della v.c. considerata

X ~ N(μ,1/5²) ➔ ... (n-1)

quantità senza ... incognita che è nota, dist. ...

valori che si trovano sulle ... della X̄, con g.d.l sulle righe, sulle colonne "1", difficile, sono l'area a dx di un certo valore. In realtà l'area è solo "addome". Intersezione righe/colonne danno il crit.

L'obiettivo del test è quello di illustrare o meno l'ipotesi nulla, il test si basa sul valore assunto da una statistica test, per esempio media, il test si forma sul campione casuale che non deve contenere dati incogniti.

Se il test cade nella zona della regione di accettazione accettiamo l'ipotesi nulla, se nella regione di rifiuto accetto

In base a dove ricade, si ipotesi nulla si accetta o si

Notion: criteria

è delimitato‐(?) la zona di accettazione dalla zona di rifiuto

Bisogna conoscere la distribuzione della statistica test, supponiamo di avere una distribuzione normale:

• X∼N(μx, σx²)
• Ho: μx = 160
• H1: μx≠160

prendiamo X̄ _{(come media campionaria)} come test che ha distr. N (μx, σx/n)

Poiché non conosciamo σx, supponiamo siè vera H₀: μx = 160, poniamo X̄ ~ (160,5/√n)

Supponiamo che sto xia noto ^{ad es.} 400, e n=100

H₀: μx=160

• X̄∼N(160,400/100): (160,4) _{Sotto Ho Δ}

H1: μx≠160

in idea è: se porremo la media ≠ 160, fissiamo la probabilità di osservare variabilità rilevante in futuro è indirettamente data di un numero piccolo prefissato (α): è probabilità di rifiutare Ho avendo Ho è vera.

• α _{livello di significatività del test}

Quindi dobbiamo trovare il due valori critici tali che la pora sia α₂ divise in due parti uguali α₁/2=α₂=

Inizialmente li verifichiamo con C₁eC₂. Quindi: _P(z