Striscia e disco

Striscia e disco

Descrizione del sistema

Un sistema è composto da una striscia omogenea rettangolare di lunghezza L = 24 cm e massa M = 2 kg unita ad un disco omogeneo di raggio r = 8 cm e massa m = 0.8 kg, in modo tale che il centro della striscia, il centro del disco e il punto di giunzione siano allineati. La striscia e il disco sono inoltre paralleli al terreno e tutto il sistema, libero di ruotare, è appoggiato su un perno posto sotto al punto di giunzione.

Calcolo della forza F

Si calcoli il modulo F e il verso della forza costante che deve essere applicata sull’estremo libero della striscia in direzione ortogonale ad essa affinché il sistema sia all’equilibrio. Si calcoli successivamente il modulo della resistenza del perno, detto F_R.

Il sistema, composto dalla striscia e dal disco, non ruota attorno al perno, dunque possiamo calcolare il momento totale delle forze esterne rispetto al punto di contatto tra il sistema e il perno. Le forze esterne sono tutte verticali (ortogonali alla striscia e al disco) e sono: la forza peso della striscia di modulo F₁ = M g, la forza peso del disco di modulo F₂ = mg, la resistenza del perno di modulo F_R e la forza F applicata sull’estremo libero della striscia.

Orientando l’asse verticale verso l’alto, detto asse y, e con origine il punto di contatto tra il sistema e il perno, possiamo riassumere queste quattro forze esterne come:

• F₁ = –F₁ŷ = – Mĝŷ
• F₂ = –F₂ŷ = – mĝŷ
• F_R = F_Rŷ
• F = Fŷ

Dove F può essere sia negativo (in questo caso F sarebbe rivolta verso il basso) che positivo (in questo caso F sarebbe rivolta verso l'alto) ed è la quantità che bisogna trovare. Inoltre ci aspettiamo che F_R > 0.

Calcolo del momento totale delle forze

Il momento totale di queste quattro forze esterne, detto M_F, calcolato rispetto al punto di contatto tra il sistema e il perno, si scrive come:

M_F = r₁ × F₁ + r₂ × F₂ + r₃ × F₃ + r₄ × F₄

Dove r₁, r₂, r₃, r₄ sono i vettori che indicano il punto di applicazione rispettivamente delle forze F₁, F₂, F_R e F rispetto alla posizione del perno.

Vettori posizione

Fissando l’asse orizzontale x, passante per il punto di contatto tra il sistema e il perno e longitudinale alla striscia, con origine il punto di contatto tra il sistema e il perno, versore x e semiasse positivo verso il disco, i quattro vettori posizione r₁, r₂, r₃, r₄ hanno la seguente forma:

• r₁ = -L/2 x̂
• r₂ = r x̂
• r₃ = 0
• r₄ = -L x̂

Dove L è la lunghezza della striscia e r il raggio del disco. Infatti le due forze peso agiscono ciascuna sul baricentro (centro di massa) dei rispettivi oggetti che hanno una distribuzione di massa omogenea e la forza F, individuata da r₄, è applicata sull’estremo libero della striscia per ipotesi.

Equilibrio del sistema

Il momento totale delle forze esterne M_F, che compare nelle equazioni precedenti, è orientato lungo l’asse z, ortogonale agli assi x e y introdotti precedentemente e avente lo stesso punto di origine. Possiamo scrivere il momento totale delle forze, introducendo il versore z con verso positivo in modo tale che la terna x, y, z sia destrorsa, come:

M_F = L/2 F₁ẑ - rF₂ẑ - LFẑ

Dove ricordiamo F₁, F₂ > 0 e F può essere sia positivo sia negativo. All’equilibrio possiamo porre M_F = 0 e dunque:

L/2 F₁ - rF₂ - LF = 0

Da cui, sostituendo i valori F₁ = Mg e F₂ = mg, si ha:

LF = (L/2)Mg - rmg

Che risolta fornisce per F

F = (LM - 2rm)/(2L) · g

Calcolo numerico

Sostituendo i valori numerici forniti, cioè L = 24 cm = 0.24 m, M = 2 kg, r = 8 cm = 0.08 m e m = 0.8 kg e sapendo che g vale circa 9.81 m/s², si ottiene:

F = (0.24 · 2 - 2 · 0.08 · 0.8)/(2 · 0.24) · 9.81 ≈ 7.194 N

Essendo F>0 la forza è orientata verso l’alto, cioè vale:

F = (7.194 N) · ŷ

Equilibrio delle forze

Per l’equilibrio inoltre la risultante delle forze sul sistema deve essere nulla. Scriviamo pertanto:

F₁ + F₂ + F_R + F = 0