Statitica e calcolo delle probabilità - Test di ipotesi

Test di ipotesi per la media

Ipotesi nulla e alternativa

H₀: μ = μ₀
H_A: μ ≠ μ₀

Regione di rifiuto

X̄ < x₁
X̄ > x₂

Ipotesi nulla e alternativa per direzione unilaterale

H₀: μ = μ₀
H_A: μ > μ₀
X̄ > X̅₂

H₀: μ = μ₀
H_A: μ < μ₀
X̄ < X̅₁

Test di ipotesi per la media (varianza nota)

Ipotesi nulla (H₀): μ = μ₀

Ipotesi alternativa (H_A): μ ≠ μ₀

Regione di rifiuto:

Test di ipotesi per la media (varianza incognita)

Test-T

Ipotesi nulla H₀: μ = μ₀
Media campionaria standardizzata: T = (X̄ - μ₀) / (s/√n)

Distribuita come la t-Student con m-1 g.d.l.

Ipotesi alternativa

• H_A: μ ≠ μ₀ - Regione di rifiuto: T < -t_α/2, T > t_α/2
• H_A: μ > μ₀ - Regione di rifiuto: T ≥ t_α
• H_A: μ < μ₀ - Regione di rifiuto: T ≤ t_α

Test col P-Value

Supponiamo di avere un campione numeroso (n > 30) estratto da una popolazione di media µ e varianza σ².

Ipotesi nulle

• H₀: µ ≤ µ₀
• H₀: µ ≥ µ₀
• H₀: µ = µ₀

1. Calcolare Z = 1/2 * (x̄ - µ₀) / σ√n
2. Se σ è l'incognito lo si stima con la varianza campionaria S²
3. Calcolare il P-Value

• H₁: µ > µ₀
• H₁: µ < µ₀
• H₁: µ ≠ µ₀

La somma delle aree è il P-Value.

Test per la proporzione

X ~ Bin(m, p). θ = (1/m) X è la frequenza campionaria.

Ipotesi nulle

• H₀: p ≤ p₀
• H₀: p ≥ p₀
• H₀: p = p₀

1. Calcolare il valore che la variabile aleatoria standardizzata Z̄ assume in corrispondenza al campione
2. Calcolare il P-Value

• H₁: p > p₀
• H₁: p < p₀
• H₁: p ≠ p₀

mp₀ > 10, m(1-p₀) > 10

Test per la differenza di due medie col p-value

Campione (X₁, X₂,..., X_Mx), M_x grande (M_x > 30)
Campione (Y₁, Y₂,..., Y_My), M_y grande (M_y > 30)

E(X) = μ_x, E(Y) = μ_y
√Var(X) = σ_x, √Var(Y) = σ_y

1. H₀: μ_x - μ_y ≤ Δ₀, H₁: μ_x - μ_y > Δ₀, p = P(Z > z̅)
2. H₀: μ_x - μ_y ≥ Δ₀, H₁: μ_x - μ_y < Δ₀, p = P(Z < z̅)
3. H₀: μ_x - μ_y = Δ₀, H₁: μ_x - μ_y ≠ Δ₀, p = P(|Z| > z̅)

Z_α = (X̅ - Y̅ - Δ₀) / √(σ_x²/n_x + σ_y²/n_y)
Φ(z) = P(Z < z)

Se σ_x², σ_y² non sono note, si devono utilizzare i valori campionari ŝ_x², ŝ_y².

Test Chi-Quadro

Abbiamo un dado e vogliamo sapere se è equo, cioè se le probabilità P₁, P₂, P₃, P₄, P₅, P₆ delle 6 facce sono uguali.

Ipotesi

H₀: P₁ = P₂ = P₃ = P₄ = P₅ = P₆ = 1/6

Lanciamo il dado 600 volte:
O_i = numero di uscite del numero i
E_i = numero atteso di uscite di i nell'ipotesi che il dado sia equo (H₀)

χ² = ∑_i=1⁶ (O_i - E_i)² / E_i

χ² = 6.42

Statistica χ² chi-quadro con 5 g.d.l.

P-value = P(χ₅² > 6.12) > P(χ₅² > 9.236) = 10%

Il P-value è grande. Non c'è prova evidente che il dado sia truccato.

In generale:

• Se gli esiti possibili di una prova sono R e E
• O_i: numero di volte che si è avuto l'esito i in m prove
• E_i: numero atteso di realizzazioni dell'esito i in m prove sulla base di H₀

χ² = ∑_i=1^k (O_i - E_i)² / E_i ∼ χ_k-R-1² (se E_i ≥ 5)

Se χ² è il valore assunto da χ² sul campione e il P-value di χ² è piccolo

P(χ_k-1² > χ²) < 5%

Allora respingo l'ipotesi nulla.

Tabella di contingenza

Troppo Fine, Giusto, Troppo Spesso

Le macchine producono perni dei tre tipi (Troppo Fine, Giusto, Troppo Spesso) nella stessa proporzione?

Ipotesi

H₀: La proporzione dei tre tipi di perni è indipendente dalla macchina che li produce.

χ² = ∑_i=1⁴ ∑_j=1³ (θ_ij - E_ij)²

0.025 > P(χ²₆ > 15.5844) > 0.01

Rifiuto H₀ (probabilità) H₀: La proporzione è costante lungo la colonna.

Produzione di perni cilindrici

I perni cilindrici devono rispettare le specifiche di lunghezza e diametro. Ci sono tre possibilità per ogni specifica:

• Spessore: Troppo fine, Giusto, Troppo spesso
• Lunghezza: Troppo corto, Giusto, Troppo lungo

Estraiamo a caso dalla produzione 1021 e li classifichiamo in base a spessore e lunghezza.

Ipotesi

H₀: Le proporzioni di perni troppo fini, giusti, troppo spessi non dipendono dalla classificazione rispetto alla lunghezza.

Tabella di contingenza

Costruisco la tabella con i valori attesi calcolati sulla base della H₀.