Seconda esercitazione di Statitica

ESERCITAZIONE 20-05-14

Esercizio 7.17

Il tempo che gli studenti dedicano allo studio, nella settimana prima degli esami, segue una distribuzione normale con deviazione standard di 8 ore.Si estrae un campione casuale di 4 studenti per stimare il numero medio di ore di studio della popolazione degli studenti.

X~N(μ,8²)      n = 4

1. Qual è la probabilità che la media campionaria superi la media della popolazione per più di 2 ore?

   P(X > μ+2) = P(Z > (μ+2) - μ / 8/√4) = P(Z > 2) =

   P(Z > 8/4) = P(Z > 0.5)

   F(0.5) = 0.69146      1 - 0.69146 = 0.30854

2. Qual è la probabilità che la media campionaria sia inferiore alla media della popolazione per più di 3 ore?

   P(X < μ-3) = P(Z < (μ-3) - μ / 8/√4) = P(Z < -3/2) =

   P(Z < -0.75)

   F(-0.75) = 0.22663

3. Qual è la probabilità che la media campionaria differisca dalla media della popolazione per più di 4 ore?

   P(X > μ+4) + P(X < μ-4) = 2 P(X < μ-4) = 2 P(Z < (μ-4) - μ / 8/√4) =

   -2 P(Z < -1)

   F(μ) = 0.84134

   1 - 0.84134 = 0.15866

   0.15866 x 2 = 0.31732

4. Supponete di estrarre un secondo campione di 10 studenti indipendente dal precedente. Senza svolgere calcoli, stabilite se, nel secondo campione, la probabilità di punti (a), (b), e (c) sarebbero maggiori, minori o uguali.

   Le probabilità sarebbero più basse.

ESERCITAZIONE 20-05-14

Esercizio 7.17

Il tempo che gli studenti dedicano allo studio, nelle settimane prima degli esami di tale, segue una distribuzione normale, con deviazione standard di 8 ore.

Si esegue un campione casuale di 4 studenti per stimare il numero medio di ore di studio della popolazione degli studenti.

X ~ N(μ, 8²)

n = 4

1. Qual è la probabilità che la media campionaria superi la media della popolazione per più di 2 ore?

• P(X > μ+2) = P(Z > (X - μ) / (σ/√n)) = P(Z > 2 / (8 / √4)) = P(Z > 1)

F(0.5) = 0.69146

1 - 0.69146 = 0.30854

2. Qual è la probabilità che la media campionaria sia inferiore alla media della popolazione per più di 3 ore?

• P(X < μ-3) = P(Z < (X - μ) / (σ/√n)) = P(Z < -0.75)

F(-0.75) = 0.77337

1 - 0.77337 = 0.22663

3. Qual è la probabilità che la media campionaria differisca dalla media della popolazione per più di 4 ore?

• P(X > μ+4) + P(X < μ-4) = 2 * P(X < μ-4) = 2 * P(Z < (X - μ) / (σ/√n))

F(μ) = 0.84134

1 - 0.84134 = 0.15866

0.15866 * 2 = 0.31732

d) Supponete di estrarre un secondo campione di 10 studenti indipendente dal precedente senza svolgere calcoli, stabilite se, nel secondo, campione, le

probabilità di punti (a), (b) e (c) sarebbero maggiori, minori o uguali.

Le probabilità sarebbero più basse.

Esercizio 1

In un campione casuale di 200 spettatori, 105 si sono detti soddisfatti del film.

1. Ricavare un intervallo di confidenza per la proporzione della popolazione con un livello di confidenza del 90%.

IC = [0.46, 0.58]

2. Utilizzando le stesse informazioni, uno statistico ha calcolato il seguente intervallo di confidenza 0.625 e 0.625. Qual è il livello di confidenza associato a questo intervallo?

IC = [0.625, 0.625]

1 - α = 99.58%

3. L'intervallo del punto b non è adeguato per inferire se la maggior parte degli spettatori erano soddisfatti del film. Perché?

È stato usato un livello di confidenza troppo alto, riducendo l'intervallo si riduce la probabilità che l'intervallo contenga il parametro che è stato stimato.

Esercizio 5

Intervallo di confidenza di livello 0.90 [120 ; 140] per la media μ delle somme evase.

1. Ricavare dall'intervallo una stima puntuale dell'evasione media giornaliera.

1-α = 0.90   I.C. = [120, 140]

_X0 = ^{120 + 140}/₂ = 130

2. Quanto è grande il campione da cui è stato ottenuto l'intervallo si assume che l'evasione si distribuisca normalmente con δ = 10.

Z_α/2 = 1.645   δ = 10   _X0 = 130

120 = _X¯ − Z_α/2 ^δ/_√n   120 = 130 - 1.645 ¹⁰/_√n

1.645 ¹⁰/_√n = 130 − 120   1.645 ¹⁰/_√n = 10   16.55 = ¹⁰/_√n

√n = ^16.55/₁₀   √n = 1.645   √n = ^16.55/₁₀   √n = 16.5   n = 2.7 ≈ 3

Esercizio 8.27

Una clinica propone un programma di dimagrimento. Analizzando i dati di un campione casuale di 10 suoi pazienti, si sono registrate dopo un anno di trattamento, le seguenti diminuzioni (in Kg):

18 25 6 11 15 20 16 19 12 17

1. Trovare un intervallo di confidenza a livello 99% per la media della popolazione

δ: non nota   n < 30 → Si utilizza la T di student

_X0 = ¹⁵⁹/₁₀ = 15.9

S²: ²⁵²/₉ = 28.1   S = 5.30

1 − α = 0.99

α = 0.01

α/2 = 0.005