Statistica I - appunti

Appunti di statistica

Capitolo 1: Introduzione

Definizione di statistica: La disciplina che studia i metodi per l'analisi dei fenomeni della natura e trovare il modo ottimale per raccogliere dati per una certa finalità.

I metodi per l'esame dei fenomeni della natura sono diffusi nelle ricerche delle scienze, che si possono dividere in scienze deduttive e scienze empiriche.

• Scienze deduttive: Metodo di indagine per ricavare le proprie "leggi" solo tramite deduzione.
• Scienze empiriche: Metodo di indagine che include sia deduzione che introduzione.

Analisi: Su chi lo devo studiare? Che fenomeno devo studiare?

Capitolo 2: Partizioni della statistica

Definizione di popolazione: Insieme di unità generiche/entità ("unità statistiche") che intendiamo esaminare.

Statistica:

• Inferenziale/induttive: Predispone metodi che permettono di estendere le sintesi campionarie a tutta la popolazione (previsione/probabilità).
• Descrittiva: Ha come scopo quello di descrivere, con opportuna sintesi, i dati relativi alle unità statistiche della popolazione (si riferiscono a dati parziali - su un campione).

Capitolo 3: Statistica descrittiva

La descrizione, che è l'obiettivo della statistica descrittiva, passa attraverso varie fasi:

1. Formazione dei dati statistici: Raccoglimento dati di fatto (reali) riguardanti i fenomeni da esaminare.
2. Analisi statistico-matematica dei dati: I dati vengono sintetizzati in grandezze che colgono gli aspetti più importanti dei fenomeni.

Fase 1: Formazione dei dati statistici

Bisogna innanzitutto individuare la popolazione, da queste unità statistiche poi ricaveremo i dati statistici.

a) Formazione dei casi statistici:

• Individuazione della popolazione di riferimento.
• Individuazione dei fenomeni ("carattere") da rilevare.
• Per ognuno dei fenomeni considerati, specifico i possibili modi con cui gli stessi possono esprimersi ("modalità di carattere").

Nell'individuare la lista delle modalità di un carattere bisogna fare in modo che:

• Le modalità siano fra loro incompatibili (ovvero che una modalità deve escludere l'altra in modo che sia possibile assegnare inequivocabilmente una sola modalità ad ogni unità statistica della popolazione).
• La lista sia esaustiva (ad ogni unità del gruppo di rilevazione si deve poter attribuire una modalità).

Classificazione dei caratteri:

• Quantitativi discreti: Modalità assumono numero finito di valori.
• Quantitativi continui: Modalità assumibili sono ipoteticamente tutti i risultati di un conteggio o di una misurazione compresi nell'intervallo (a, b) con b>a.
• Qualitativi: Modalità di carattere indicano categorie, attributi, ecc. e sono espresse da vocaboli/espressioni verbali.

Scala di misurazione del carattere: Lista modalità di un carattere e criteri di appartenenza delle stesse (n.b.: per uno stesso carattere si possono rilevare più scale).

Quantitativi su:

• Scala di rapporti: Adotta 0 assoluto come assenza fenomeno (=; ≠; >; <; +; -; x ; ÷).
• Scala di intervalli: Adotta 0 convenzionale che non significa assenza fenomeno (>; < ; =; ≠; - ; +).
• Scala nominale: Quando non è possibile fare nessun ordinamento tra m. (=; ≠).

Qualitativi su:

• Scala ordinale: M. hanno ordine naturale (>; < ; = ; ≠).

b) Rilevazione dei casi statistici:

Rilevare/annotare, per ogni unità statistica, la modalità presente per ogni carattere considerato.

Modalità di rilevazione: esistono diversi modelli: auto rilevazione (questionario); intervista; rilevazione tramite sensori; rilevazione di "specialisti".

Rilevazione totale, se rilevate tutte le unità della popolazione di interesse; parziale (o campionaria), se rilevata solo una parte di tutta la popolazione di interesse.

c) Spoglio dei casi rilevati:

Riunire i casi simili attraverso lo spoglio dei casi rilevati.

d) Preparazione dei dati e delle tabelle statistiche:

1. Fase di pulizia dei dati (o "data cleaning").
2. Preparazione della matrice dei dati.
3. Preparazione delle tabelle statistiche.

Tabelle statistiche

Distribuzione di unità:

• Simboli: # X - ID unità statistica (indico con carattere univoco es_ CF, MATR...)
• x - Carattere (lettera maiuscola)
• Modo con cui si esprime il carattere (lettera minuscola)
• Numero di unità statistiche nella popolazione Ni
• "iesima" unità statistica – generica unità statistica
• N - Differenti caratteristiche con cui si esprime
• Sommatoria: (x → (x + x ) = i 1 2 i N ∑ "la somma per i che va da 1 a N"

Distribuzione di frequenze: per ogni modalità carattere vedo le corrispettive freq. riscontrate in una pop.

• Carattere qualitativo "mutabile statistica"
• Carattere quantitativo "variabile statistica"

N.B.: Se carattere quantitativo continuo con molti dati, vengono raggruppati in classi → formazione lista delle classi che diventano quindi le modalità del carattere (es. altezza popolazione, caso 3).

Per capire quale degli estremi è compreso o meno si usano: , │

Ampiezza di classe (aj)

• Caratteri quantitativi discreti con modalità in classi, essa coincide con il numero di modalità differenti rappresentate dalla classe stessa → aj
• Caratteri quantitativi continui: ampiezza è la lunghezza della classe in un intervallo unitario → aj

Esempio

1 - Carattere qualitativo su scala nominale – colore degli occhi

2 - Carattere quantitativo discreto – numero scarpe

3 - Carattere quantitativo continuo – altezza

Proprietà sommatoria

∑ = ∑ = =1 =1a , k sono costanti

∑(a + b) = ∑ a + ∑ b = =1 =1 =1 =1

Rimanda alla proprietà: (a+b) + rimanda a proprietà: (a*x1 +(c+d) = (a+c) + (b+d) a*x2 + ... + a*xn) ∑bj è una costante = a (x1 +x2 + ... + xn) = =1

Altri tipi di distribuzioni

Distribuzioni di quantità

Ripartizione tra le modalità di un carattere di una "quantità totale".

ES: Popolazione 100 imprese; per ognuna si rilevano: consumo energia, settore appartenenza.

In questa tabella non ho frequenze ma ho l'insieme di tutte le energie per tutte le unità statistiche.

# Azienda Settore Consumi di energia (migliaia di kwh)

Sommo quindi tutte le aziende di quel settore e le inserisco nella tabella per distribuzione di quantità.

Serie storiche e serie territoriali:

• Serie storica: Serie numeri che arrivano da un carattere in istanti successivi di tempo (es. azioni in borsa, abitanti nazione nel tempo) – vedo l'evoluzione nel tempo di un carattere. "Dati di stock": dati delle serie temporali che fanno riferimento a un istante.
• ES: X = prezzo di chiusura dell'azione xxx quotata in borsa y = popolazione residente in Italia

Data x Data Y censimento (x1.000)

...

• Serie territoriale: Successione di fenomeno quantitativo in corrispondenza di locazioni geografiche

ES: Popolazione residente in Italia nel 1981 suddivisa per regione.

Fase 2: Trattamento statistico-matematico dei dati

Statistica univariata: Metodi che descrivono gli aspetti più importanti di un solo carattere.

Statistica multivariata: Metodi che analizzano contemporaneamente più caratteri, permettendo di evidenziare eventuali relazioni esistenti fra gli stessi.

Capitolo 4: I rapporti statistici

II° strumento di analisi matematico-statistica dei dati: Rapporti statistici: è il quoziente tra 2 dati di cui almeno uno è di natura statistica.

Interpretazione:

• Quanta parte di Q₁ (numeratore) spetta ad 1 unità di Q₂ (denominatore) → il rapporto ci dice quale tra numeratore e denominatore è il più grande [1= sono uguali; 2= è il doppio; <1= ; >1=]
• Quanta parte di Q₂ è rappresentata da Q₁ (1/2= metà di)

Classificazione dei rapporti:

1. Rapporto di composizione (o di parte al tutto): Si rapporta un'intensità/frequenza parziale all'intensità/frequenza totale (n° compreso tra 0 e 1).

ES: Colore occhi

2. Rapporto di densità: Si rapporta una "circostanza quantitativa" relativa a un fenomeno con la dimensione del campo di osservazione (indicano quanta pt num fa riferimento a un'unità).

Si usa per eliminare l'influenza esercitata dal denominatore sulla grandezza a numeratore, rendendo confrontabili i dati, che altrimenti sarebbero eterogenei.

ES: Densità di popolazione = 5 stabilimenti → N=5 X = valore della produzione in un mese (x1.000€) Y = n° di dipendenti nello stabilimento.

3. Rapporto di derivazione: Rapportano l'intensità/frequenza di un fenomeno all'intensità/frequenza di un altro fenomeno che ne è il presupposto (causa).

ES: Ammontare delle vendite annuali di 2 aziende (x1.000€)

4. Rapporto di coesistenza: Rapportano intensità/frequenze di 2 fenomeni antitetici (ossia che coesistono).

ES: (2004) nati vivi in Italia classificati per sesso.

Per ogni 100 femmine nate ci sono 105,52 maschi.

5. Rapporti indici (o numeri indici): Rapportano 2 intensità/frequenze relative a 2 differenti istanti temporali (facilitano la comprensione delle variazioni nel tempo e nello spazio di dati statistici).

Variazione assoluta di dal ... si intende la differenza: (X_t - X_s ) ...

Variazione relativa di dal ... si intende il rapporto: ...

Notazione:

• Tempo t: effetto di fenomeno
• x: primo istante temporale in cui effettuo le rilevazioni
• t₀, t₁, t₂, ... t_j
• x₀, x₁, x₂, ... x_j

Numeri indici:

• Base fissa: Prendono un istante temporale come punto di riferimento
• I_i = j,i, tipicamente i=0, j=1, 2, 3, ...
• I_j,0 = I_j,0 I_j-1,0...

ES: I_3,0 = I_3,2 * I_2,1 * I_1,0

Capitolo 5: Statistica descrittiva univariata

Elementari delle frequenze

• Frequenze assolute: Considerata una modalità di un carattere X, la frequenza assoluta coincide con il numero di unità statistiche che presentano quella modalità all'interno della popolazione. "n_j".
• Frequenze relative: "f_j" = rapporto di composizione (calcolabile per ogni tipo di carattere che abbia una disposizione di frequenza).

Proprietà: è sempre NON negativa → 0 ≤ f_j ≤ 1

∑ f_j = 1

ES: Colore di capelli

Diagramma a barre e areogramma a torta

ES: Autovalutazione delle proprie abilità logico-matematiche (scala nominale)

• Frequenze cumulate: Sono quelle che si accumulano dall'alto verso il basso → C_j
• Fornisce n° unità statistiche con modalità ≤ a
• Frequenze cumulate relative: F_j

∑ = FREQUENZE CUMULATE RELATIVE: F = j =1=

• Frequenze retrocumulate: R_j → Fornisce n° unità statistiche con modalità ≥ a
• ∑ = FREQUENZE RETROCUMULATE RELATIVE: =

ES: Numero di scarpa

Individui su 34 hanno un numero di scarpa dati effettivi numero di scarpe al massimo pari a 40 → 14 individui su 34 hanno un numero di scarpa almeno pari a 41 R = 143

ES: Distribuzione di frequenze "effettivamente osservata" del carattere = numero di scarpa

• Frequenze specifiche: Si determinano in presenza dati raggruppati in classi h_j
• La frequenza specifica è un rapporto di densità indicante la frequenza che spetta:
• - ad una modalità della classe (caso dei caratteri discreti)
• - ad un intervallo unitario della classe (caso caratteri continui)
• Essa misura l'addensamento delle frequenze + è utile per valutare come varia l'addensamento al variare delle classi.
• Non possibile confrontare addensamento classi con frequenze assolute, perché valore dipende da ampiezza classi (che è differente); ma uso frequenze specifiche perché fanno riferimento alla modalità/intervallo unitario.
• Frequenze specifiche relative: d_j

ES: Altezza (cm) → Carattere quantitativo continuo

Scegliere di rappresentare la classe in questo modo: 180 |─ 195 area rettangolo = rappresent