Statistica I - appunti

A

M

B

i due valori e sono simmetrici rispetto ad M?

• →

se A = B simmetrici rispetto a M

• ≠B→

se A non simmetrici rispetto a M

= − = −

• →

( )

− = − → () = − + − )

(

se simmetria

• − ≠ − →

se non simmetrico

− − + = 0 |→ simmetria

− 2 + = 0 | quantità informativa circa l’asimmetria dei due valori, di seguito verrà chiamata

ASIMMETRIA PUNTUALE

- CASO “reale” N VALORI

ES:

-3,5 -2,5 0,5 1

o x o x M o o x x

-3 -2 2 3

→

, , … , , … , , … , , …

li ordino

1 2 (1) (2) () ()

confronto tra ASIMMETRIE PUNTUALI

coppie ()

, = + − 2

( ) (1)

(1) () 1 ()

()

= + − 2

,

( ) (2)

2 (−1)

(2) (−1) ()

, = + − 2

( ) (3)

(3) (−2) 3 (−2)

… … ()

, = + −

( ) ()

() (−+1) (−+)

… … ()

, = + − 2

( ) ()

() (1) (1)

DEF. N valori si dicono simmetrici rispetto ad M se tutte le asimmetrie puntuali sono nulle:

()

= + − = 0 ∀ = 1 …

()

(−+) →

()

≠ 0

se anche solo per un valore di i non c’è simmetria

- ()

se le sono prevalmente positive avrò una “coda” allungata a dx di M (istogramma)

- ()

se le sono prevalmente negative avrò una “coda” allungata a sx di M (istogramma

())

(

SINTESI DELLE ASIMMETRIE PUNTUALI: media aritmetica semplice delle asimmetrie puntuali =

∑

()) ()

=

(

=

1

∑

= + − 2

(−+1) ()

=1

1

∑ ∑

= (∑ + − 2 )

(−+1) ()

=1 =1 =1

1 1 1

∑ ∑

= + − 2 ∗

(−+1) ()

=1 =1

= + − 2 = ( − )

1 1

come scegliere ragionevolmente M?

…

PROPOSIZIONE: se N valori , sono simmetrici rispetto a M allora, necessariamente:

(1) ()

= = ()

= ∀ = 1 …

DIMOSTRAZIONE: se gli N valori sono simmetrici

=

• →

caso N pari N/2 è un intero

()

= + − 2 = 0

(− +1) ( )

2 2 2

= + = 2

( +1) ( )

2 2

1

= ( + ) → =

( +1) ( )

2 2 2

+1

• caso N dispari: è un intero

2

()

= + − 2 = 0

+1 +1 +1

(− +1) ( )

2 2 2

= + = 2

+1 +1

( ) ( )

2 2

= → =

+1

( )

2

= 1

∑

() ()

= 0 = 0

se ogni è uguale a 0 allora

=1

1

∑ + − 2 = 0

(−+1) ()

=1

2( − ) = 0 → =

1 1

())

= ( − )

(

INDICE DEL VERSO DI ASIMMETRIA:

ATTENZIONE:

• → 2( − ) = 0

se c’è simmetria 1

• 2( − ) = 0

se non è detto che c’è simmetria (asimmetrie pos non prevalgono su quelle neg,

1

vicev.) ())

(

> 0 = 0 < 0

•

ASIMMETRIA POSITIVA ASIMMETRIA NEGATIVA

la distribuzione può essere

• •

coda istogramma allungata simmetrica coda istogramma allungata a sx

• •

a dx potrebbe darsi che la distribuzione le asimmetrie negative

• le asimmetrie positive sia asimmetrica e che le asimmetrie prevalgono su quelle positive

prevalgono su quelle > 0 compensino perfettamente

negative quelle < 0

∑

(| ()|) ()|

= |

INDICE DI INTENSITA’ DI ASIMMETRIA: sempre ≥ 0

=

= 0 , se e solo se c’è simmetria

> 0 , se c’è asimmetria

()) (| ()|)

= 0 > 0

(

Nei casi “ambigui” in cui , ma si può trarre informazione sul verso di

1 1

∑ (

− ) = − )

(( )

asimmetria utilizzando l’INDICE ALTERNATIVO DEL VERSO dato da:

=

(questi sopraindicati per le distribuzioni di unità)

→

mentre per le distribuzioni di frequenza INDICE DI INTENSITA’: NO

( − )

INDICE DEL VERSO:

fino ad ora analizzato il comportamento di un solo carattere.

CAPITOLO 6

STATISTICA DESCRITTIVA BIVARIATA

(si analizza ora comportamento/legame di interdipendenza di 2 caratteri)

▪ (, )

2 caratteri: nella medesima popolazione

▪ popolazione con N unità statistiche

→ ( ) ( )

, … , … ( , ) distribuzione di “unità doppia”

1 1

INTERPOLAZIONE

→

(, ) coppia di caratteri tra i quali può sussistere un nesso “causale” (uno influenza l’altro)

→ " "

= ()→ identifico funzione che descrive il legame tra y con x

( ) ( )

, … , … ( , ) = () [() = {; ; … }]

Date N coppie di valori ed una funzione

1 1 0 1

; …

si vogliono determinare i valori dei parametri in modo da poter replicare o approssimare i valori

0 1

:

̂ = ( ; ; … )

osservati con i valori forniti dalla funzione

0 1

INTERPOLAZIONE PER PUNTI NOTI: → partendo dai dati cerco la retta affinché passi per i punti

che voglio io

( (

̂ ℎ) ) →

ℎ

INTERPOLAZIONE TRA PUNTI NOTI: → posso trovare funzione che passi per tutti quei punti?

̂

approssimo con le le : trovare retta che passa tra quei punti e

che replichi fedelmente …

INTERPOLAZIONE PER PUNTI NOTI

= + = =

retta interpolante:

→ mettere a sistema sostituendo i valori di y e x alla funzione per trovare intercetta e coefficiente angolare

ES 1: y = “n° di nati vivi in un paese montano della Lombardia” (rilevato nell’anno 2000 e 2005)

x = “n° di anni trascorsi dall’anno 2000”

i anno

1 2000 29 0

2 2005 25 5

→ = + =? =?

scelgo la retta interpolante

29 = + ∗ 0 = 29 = 29

25∗29

25 = + ∗ 5 = = −0,8

5

= + +

parabola interpolante:

ES 2: supponiamo che pervenga anche il dato delle nascite nell’anno 2010

i anno

1 2000 29 0

2 2005 25 5

3 2010 32 10 2

→ = + +

scelgo la parabola 0 1 2

2

29 = + ∗ 0 + 0 = 29

0 1 2 0 19

2

25 = + ∗ 5 + 5 = −

0 1 2 1 10

11

2

32 = + ∗ 10 + 10 =

0 1 2 2 50

→

con 4 punti interpolazione per punti noti per polinomi

INTERPOLAZIONE TRA PUNTI NOTI min →

∑ | −

̂ | ( ; ; … )

INDICE SCOSTAMENTO (misura quanto sbaglio): 0 1

=1

;

0 1 → ;

no derivabile ovunque no trovo sempre min 0 1

min 2 →

∑ ( −

̂) scegliamo questo criterio di

=1

;

0 1

accostamento e lo applichiamo solo nel caso della retta

determiniamo i parametri della retta a minimi quadrati:

= +

dim: 0 1

2

→ ∑ ∑

( ) ( )

̂

; − = − −

scelti in modo tale da rendere minima la quantità

0 1 0 1

= =1

da interpretare come funzione di 0 1

min 2

∑ ( )

− − → = 0 → :

̂ = ̅ −

̂̅

0 1

=1 0 1

;

0 1

∑ ̅)

( −̅ )( − (,)

=1

̂ = =

̅ = () 1 2

( )

∑ −̅ ()

1

=1

codevianza tra x e y

̅ = ()

1 (,) = (, ) = covarianza tra x e y

2

2 2

∑ ∑

( )

() = − ̅ = − ̅

=1 =1

∑

(, ) = − ̅

̅

procedimento indiretto per il calcolo