Statistica

Selezione di un campione a grappoli

Per la selezione di un campione a grappoli la popolazione deve essere suddivisa in un gran numero di grappoli, come ad esempio gli isolati di una città (o comunque, in modo tale da avere i grappoli vicini in senso fisico). Si seleziona poi un campione casuale di questi grappoli e si impiegano nello studio tutti i soggetti contenuti nel grappolo. Ad esempio, in uno studio viene deciso di selezionare un campione di famiglie di numerosità pari all'1% del totale delle famiglie di una certa città; e quindi:

1. Si sceglie di impiegare diversi isolati in cui è divisa la città come grappoli;
2. I diversi isolati vengono individuati attraverso una mappa e in seguito;
3. Un campione pari all'1% del loro totale viene selezionato casualmente e ogni famiglia residente negli isolati viene intervistata.

La differenza tra campione stratificato e a grappoli consiste nel fatto che il primo prende in considerazione per l'analisi ciascuno strato; il secondo soltanto.

una parte dei grappoli e non la loro totalità. Campione a stadi è un tipo di campionamento che rappresenta una combinazione tra tutti gli altri tipi di campionamento. Se ad esempio dobbiamo fare un'indagine pre-elettorale mediante questo campionamento:

1. Consideriamo le sezioni elettorali come grappoli e selezioniamo un campione di una certa numerosità degli stessi grappoli
2. Per ciascuna sezione elettorale selezionata, consideriamo gli isolati residenziali come grappoli e selezioniamo a caso un campione degli stessi
3. Per ciascun isolato selezionato, selezioniamo casualmente in maniera sistematica un appartamento ogni dieci
4. In ciascun appartamento selezionato, selezioniamo a caso un adulto e lo includiamo nel campione.

I campioni a stadi sono molto utilizzati nella ricerca sociale. Sono più facili da realizzare del campione casuale semplice e allo stesso tempo permettono di ottenere un campionamento della popolazione più esteso di quanto possa essere.

ottenuto impiegando solo il campionamento a grappoli. Per fare inferenza statistica con i campioni stratificati, i campioni a grappoli e quelli a stadi, è necessario l'impiego di un insieme strumenti matematici. Il campione a grappoli, inoltre necessita di ampiezze campionarie maggiori per raggiungere il livello di precisione delle stime di cui si perviene con il campione causale semplice. Le osservazioni all'interno dei grappoli tendono a essere simili; infatti vi è una tendenza all'aggregazione tra soggetti che hanno condizioni socio-economiche analoghe e quindi opinioni simili. Per questo motivo, per rappresentare adeguatamente la variabilità di una popolazione è necessario disporre di un elevato numero di osservazioni. Di contro, i risultati inferenziali che si ottengono attraverso campioni stratificati possono essere ben più precisi di quelli che fanno riferimento al campionamento casuale semplice.

CAPITOLO 3

Statistiche

descrittive L'obiettivo delle statistiche descrittive è quello di sintetizzare i dati per rendere fruibili le informazioni in essi contenute. Queste statistiche a tal proposito utilizzano grafici e tabelle, ma per le variabili quantitative saranno impiegate anche altre misure di sintesi che sono numeri, che ci forniscono informazioni su: 1) Il centro dei dati, cioè un valore tipico degli stessi; 2) La variabilità dei dati, cioè la dispersione dei valori intorno al centro. Descrivere i dati con tabelle e grafici Frequenze relative: dati categoriali Per i dati categoriali, la rappresentazione delle tabelle prevede un elenco delle categorie della variabile con accanto a ciascuna di esse la frequenza (cioè il numero di osservazioni che hanno presentato quel valore/categoria della variabile nel collettivo); questo valore prende il nome di frequenza assoluta. Per rendere più facile il controllo tra categorie possiamo riportare in tabella anche le rispettive frequenze relative.proporzioni(frequenze relative) e percentuali (frequenze percentuali). Possiamo anche calcolare le frequenze cumulate, andando via via a sommare le frequenze assolute delle variabili. La proporzione è pari al numero di osservazioni di una categoria diviso il numero totale di osservazioni. È un numero compreso tra 0 e 1 ed esprime la quota dell'osservazione sul totale delle osservazioni. La percentuale è la proporzione moltiplicata per 100. La somma di tutte le proporzioni è pari a 1, mentre la somma delle percentuali è uguale a 100 (anche se talvolta può assumere valori come 99,9 o 110,1 a causa degli arrotondamenti). In una tabella è necessario riportare solo le percentuali o solo le proporzioni e il numero delle osservazioni prese in esame: la frequenza di ogni categoria sarà ottenibile come prodotto della corrispondente proporzione con il totale. Distribuzioni di frequenze e grafici a barre: dati categoriali Una distribuzione difrequenza sono rappresentati sull'asse x del grafico a barre, mentre le frequenze relative sono rappresentate sull'asse y. Ogni barra corrisponde a una categoria e la sua altezza indica la frequenza relativa di quella categoria. Il grafico a torta, invece, utilizza un cerchio suddiviso in spicchi per rappresentare le categorie. Ogni spicchio corrisponde a una categoria e la sua dimensione indica la frequenza relativa di quella categoria. È importante notare che il grafico a barre è più efficace del grafico a torta nel confronto visivo tra categorie con distribuzioni di frequenze relative simili. In conclusione, la rappresentazione grafica delle frequenze relative è utile per ottenere una percezione più completa delle informazioni quantitative di una distribuzione.facciamo riferimento nella scelta dell'ampiezza degli intervalli è quello di trovare un equilibrio tra la quantità di informazioni che vogliamo rappresentare e la leggibilità dell'istogramma. Per creare un istogramma, seguiamo questi passaggi: 1. Definiamo gli intervalli: gli intervalli devono essere mutuamente esclusivi e coprire tutti i possibili valori della variabile. Ad esempio, se stiamo rappresentando l'età di una popolazione, potremmo definire gli intervalli come 0-10, 10-20, 20-30, e così via. 2. Calcoliamo le frequenze: per ogni intervallo, contiamo quante osservazioni rientrano in quell'intervallo. Ad esempio, se abbiamo 50 persone con un'età compresa tra 0 e 10 anni, la frequenza per l'intervallo 0-10 sarà 50. 3. Rappresentiamo gli intervalli con le barre: per ogni intervallo, creiamo una barra sull'asse delle y, la cui altezza rappresenta la frequenza dell'intervallo. Ad esempio, se la frequenza per l'intervallo 0-10 è 50, la barra corrispondente sarà alta 50. 4. Etichettiamo gli assi: sull'asse delle x, mettiamo le etichette degli intervalli. Ad esempio, se gli intervalli sono 0-10, 10-20, ecc., mettiamo queste etichette sull'asse delle x. Sull'asse delle y, mettiamo le etichette delle frequenze. 5. Aggiungiamo un titolo: aggiungiamo un titolo all'istogramma per descrivere la variabile rappresentata e il periodo di riferimento. Ad esempio, "Istogramma dell'età della popolazione nel 2020". Ricorda che l'ampiezza degli intervalli e la scelta delle etichette dipendono dai dati specifici che stai rappresentando.

Uniformarsi per la determinazione dell'ampiezza degli intervalli è basato sulla considerazione che due osservazioni incluse in uno stesso intervallo devono essere pressoché uguali dal punto di vista pratico.

I software statistici sono in grado di costruire automaticamente gli intervalli per costruire le distribuzioni di frequenze e gli istogrammi.

Per distribuzioni discrete che assumono un numero limitato di valori, l'istogramma riporta una barra per ciascun valore della distribuzione.

Per distribuzioni continue o discrete con un elevato numero di valori, è necessario dividere i possibili valori in intervalli.

Diagrammi ramo e foglie

Nel grafico chiamato diagramma ramo e foglie, ogni valore registrato nei dati è rappresentato da una o più cifre principali (ad esempio le decine o centinaia) e una cifra finale. Le cifre principali formano il ramo, le cifre finali le foglie. Ogni ramo è quindi una delle cifre riportate a sinistra della linea.

verticale mentre le foglie sono le cifre riportate a destra della stessa. Questo diagramma fornisce informazioni simili a quelle date dall'istogramma, in quanto se rovesciato da un lato, assomiglia molto a quest'ultimo. I diagrammi ramo e foglie sono particolarmente utili perché forniscono un'immediata schematizzazione dei dati. All'aumento della numerosità delle osservazioni, il conseguente aumento del numero di foglie da rappresentare può essere gestito dividendo i rami. Quando un numero ha numerose cifre, è più semplice rappresentarlo graficamente senza considerare l'ultima o penultima cifra che lo formano. Confronto tra gruppi Molti studi sono basati su confronti tra gruppi rispetto ai valori posseduti da una certa variabile. Le distribuzioni di frequenze relative, gli istogrammi, i diagrammi ramo e foglie sono tutti strumenti utili per fare i confronti. I diagrammi ramo e foglie possono essere utili per confrontare visivamente i

Valori assunti da una variabile quantitative in due collettivi di non elevata dimensione. Per rendere più facile il confronto, i due diagrammi vengono rappresentati "schiena contro schiena". Ciascun diagramma usa gli stessi rami e le foglie sono sistemate sia a destra sia a sinistra.

Distribuzioni di popolazioni e distribuzioni di dati campionari

La costruzione di distribuzioni di frequenze o di istogrammi può essere fatta sia per i dati della popolazione sia per quelli campionari. Nel primo caso facciamo riferimento a distribuzioni di dati di popolazione, nel secondo a distribuzioni di dati campionari. A mano a mano che l'ampiezza campionaria aumenta, le proporzioni campionarie di ciascun intervallo si approssimano sempre di più alle vere proporzioni della popolazione: la distribuzione dei dati campionari diventa sempre più simile alla distribuzione di popolazione. Se consideriamo una variabile continua, se l'ampiezza campionaria aumenta in maniera

indefinita eaumentino contemporaneamente gli intervalli con cui abbiamo divisola sua distribuzione di valori, divenendo più stretti, la formadell’istogramma con cui rappresentiamo la distribuzione diventeràsempre simile a una curva liscia.
Anche se una variabile è discreta, la sua distribuzione a livello dipopolazione può essere adeguatamente approssimata da una curvaspeciale quando il numero dei possibili valori della variabile è elevato.
La forma della distribuzione
Un modo molto più efficace per sintetizzare le informazioni di unadistribuzione per un campione o una popolazione è quello didescriverne la forma. Ad esempio una distribuzione campanularepossiede caratteristiche molto differenti da quelle di una distribuzionecon forma a U. in quest’ultima, i punti più elevati sono riferiti ai valoripiù