Statistica: Formule e definizioni sulla parte di inferenza

Variabile casuale e funzione di probabilità

La variabile casuale assegna un numero ad ogni risultato dell’esperimento. Ad essa è sempre associata la funzione di probabilità.

Variabili continue

X= x / X̅ = x⁰. Per le distribuzioni continue la probabilità in un punto è prossima allo 0.

Distribuzione normale

È una distribuzione simmetrica a forma campanulare. In questa distribuzione i tre indici della tendenza centrale di un fenomeno coincidono proprio perché la distribuzione normale è una distribuzione simmetrica e quindi sappiamo che il valore atteso, la mediana e la moda coincidono: M=Me=Mo. La forma e la posizione dipendono dai suoi valori caratteristici μ e σ². Avremo tante distribuzioni normali quante sono le infinite coppie di μ e σ che devono essere noti perché contraddistinguono una distribuzione normale da un’altra.

Distribuzione normale standardizzata

È una trasformazione lineare della distribuzione normale di partenza, che deriva dalla proprietà riproduttiva della distribuzione normale. Infatti, per quest’ultima ogni trasformazione lineare della X è anch’essa una distribuzione normale. La standardizzazione comporta una traslazione delle variabili lungo l’asse delle ascisse.

Valori caratteristici: E(X)= μ Var(X) = σ².

Distribuzione MEDIA CAMPIONARIA. Se il campione casuale è estratto da una popolazione che si distribuisce come una normale con media μ e varianza σ², anche la media campionaria si distribuirà come una normale con valore atteso μ e varianza uguale a σ²/n, perché è somma di variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite come la popolazione dalla quale sono estratte. Questo per la proprietà riproduttiva della distribuzione normale. Grazie al Teorema del Limite Centrale la distribuzione della media campionaria per n > 30 si riconduce a una distribuzione normale, qualunque sia la forma della distribuzione della popolazione dalla quale il campione è estratto.

Oppure per distribuzioni di frequenza/classi x_in_i/n c_in_i²σ. Valori caratteristici: E(X)= μ Var(X) = σ²/n, Deviazione standard = σ/√n.

Distribuzione chi-quadrato

Se consideriamo n variabili casuali standardizzate e indipendenti tra loro, ne facciamo il quadrato, la somma e otterremo una chi-quadrato con n gradi di libertà (g.l. sono il numero di osservazioni meno il numero dei vincoli imposti, che sono i parametri incogniti). Non è altro che la somma dei quadrati di n variabili casuali standardizzate ed indipendenti. È una distribuzione asimmetrica, la sua forma dipende dai g.l.: all’aumentare di questi, per il teorema del limite centrale, tende ad una normale standardizzata. È una distribuzione che ha solo valori positivi, proprio perché facciamo la somma di quadrati di normali standardizzate indipendenti e identicamente distribuite.

Distribuzione T di Student

È generata dal rapporto tra una variabile normale e una variabile chi-quadro sotto radice. Ha una curtosi più alta rispetto alla normale standardizzata perché ha le code più ingrossate, al di sotto delle quali vi è maggior probabilità: la probabilità si considera da -∞ al percentile (quindi ci dà la funzione di cumulata). Valori caratteristici: E(X)= 0, Var(X) = n/n-2.

Variabili discrete

Il campo di definizione è costituito da un numero finiti di elementi.

Distribuzione di Bernoulli

È una distribuzione che si applica quando i risultati di un esperimento possono essere solo due: 0 o 1, successo o insuccesso.

Distribuzione binomiale

Somma di bernoulliane indipendenti. Viene utilizzata quando un esperimento viene ripetuto tante volte nelle stesse condizioni e ogni prova è indipendente da quella precedente. La probabilità di successo è uguale e costante in ogni prova. Parametri caratteristici che caratterizzano una binomiale e la distinguono da un’altra B ~ (n, p). Probabilità di insuccesso: q = 1- p.

Coefficiente binomiale

Esplicazione coefficiente binomiale: Valori caratteristici: E(X) = np, Var(X) = npq.

La convergenza ad una normale dipende dalla situazione di partenza delle variabili casuali di cui ignoriamo la distribuzione.