Statistica e Probabilità

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Revisionato il 17/05/2026

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Assiomi della probabilità. Probabilità condizionata. Teorema di Bayes. Indipendenza. Speranza matematica, varianza e momenti. Distribuzioni notevoli di v.a. discrete e continue. …

Esame Complementi di analisi matematica e statistica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Ferrario Benedetta

Università Università degli Studi di Pavia

A.A. 2013-2014

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Probabilità del lancio del dado

Un lancio

1 lancio → 6 possibili esiti

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} insieme possibili esiti

Evento certo = il fatto che esca 1 dei 6 numeri

{1}; {2}; {3}; {4}; {5}; {6} eventi elementari

#Ω = 6 → cardinalità (possibili elementari)

P({2}) = ¹/₆ = P({5}) = ... tutti stessa probabilità

P({2, 4, 6}) = ¹/₂ = numero eventi favorevoli n° eventi possibili = ^{# {2, 4, 6}}/_{# Ω} = ³/₆

Definizione di un evento certo

A algebra una famiglia di sottoinsiemi di Ω tale che se B₁, B₂ ∈ A, allora B₁ ∪ B₂ ∈ A e B₁ ∩ B₂ ∈ A

Se B ∈ A, allora B^c ∈ A

φ, Ω ∈ A

Probabilità del lancio del dado

Un lancio → 6 possibili esiti

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Evento certo = il fatto che esco uno dei 6 numeri {[1], [2], [3], [4], [5], [6] } eventi elementari

# Ω = 6 → cardinalità (possibili elementari)

P({2}) = ¹/₆ = P({5}) = ... tutti stessa probabilità

P({2, 4, 6}) = ¹/₂ = numero eventi favorevoli / n° esiti possibili ^{# {2, 4, 6}}/_{# Ω} = ³/₆

Definizione di evento certo

Algebra una famiglia di sottoinsiemi di Ω tale che se B₁, B₂ ∈ A, allora B₁ ∪ B₂ ∈ A e B₁ ∩ B₂ ∈ A

Se B ∈ A, allora B^c ∈ A φ, Ω ∈ A

La σ-algebra è insieme di sottoinsiemi σ. t.c che se B₁, B₂, ..., B_m ∈ A allora ⋃ B_i ∈ A ; ∼B ∈ A

Esempio

Torniamo il dado 1 volta Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Allora Ã = {∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, ..., {5, 6}, {1, 2, 3, 4, 5, 6 }}

Definizione di probabilità

Def: Ω e indice sua σ-algebra Ã

Definisco probabilità la funzione P: Ã → [0, 1] tale che P(Ω) = 1

Se B₁, B₂ ∈ A con B₁∩B₂ = ∅

Allora P(B₁∪B₂) = P(B₁) + P(B₂)

Se B_i ∈ A disgiunti, allora P(⋃_i=1^∞B_i) = ∑_i=1^∞P(B_i)

Conseguenze e proprietà di P

P(∅) = 0
Ω = X ∪ ∅ = X
P(X ∪ ∅) = P(X) + P(∅)
B ⊂ A ⇒ B ∪ B^c = Ω
B ∩ B^c = ∅
P(B ∪ B^c) = P(Ω) = 1 ⇒ P(B^c) = 1 - P(B)
P(B) = P(A) + P(B ∩ A^c) ⇒ P(B) > P(A)
A, B ∈ L : P(A ∪ B) = 1 - P((A ∪ B)^c) = 1 - P(A^c ∩ B^c)
P(A ∪ B) = P(A) - P(B) - P(A ∩ B)
A ∪ B = A ∪ (B ∩ A^c) ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B ∩ A^c) = P(A) + P(B) - P(B ∩ A)

Esempio di lancio di un dado due volte

Ω = {(m₁; m₂) con m_i ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} per i=1, 2}

E = β(Ω) = insieme delle parti di Ω

P((m₁; m₂)) = ¹⁄_#Ω = ¹⁄₃₆ → evento elementare generico

#Ω = 36

Probabilità uniforme

n lanci → #Ω = 6^m → P() = ¹⁄_6^m

Se B ∈ β(Ω) → P(B) = ^#B⁄_#Ω

Esempi

B: la somma degli esiti vale 5
C: la somma è pari
D: almeno un esito è dispari
E: almeno un esito è 3

B: {(2,3) (1,4) (3,2) (4,1)} P(B) = ⁴⁄₃₆ = ¹⁄₉ = 0,11

C: {(2,4) (4,2) (6,6) (4,4) (2,6) (6,2) (6,4) (4,6)} P_B = ⁹⁄₃₆ = ¹⁄₄ = 0,25

D: } ²⁷⁄₃₆ = 0,75

E: } ¹¹⁄₃₆ → 0,30

P(Ʃ) = P(Ʃ ∪ E) = P(Ʃ) + P(E) - P(Ʃ ∩ E) = ¹/₆ + ¹/₆ - ¹/₃₆ = ¹¹/₃₆

Calcolo combinatorio

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