Statistica Descrittiva

COMPONENTI BASE DELLA STATISTICA DESCRITTIVA

• CARATTERE: INFORMAZIONE DI INTERESSE
• UNITÀ STATISTICA: ENTITÀ ELEMENTARE A CUI SI RIFERISCONO LE INFORMAZIONI DI INTERESSE
• MODALITÀ DEL CARATTERE: MODO IN CUI IL CARATTERE SI MANIFESTA IN UNA PARTICOLARE UNITÀ STATISTICA
• COLLETTIVO STATISTICO: L'INSIEME DELLE UNITÀ STATISTICHE OMOGENEE RISPETTO A QUALCHE CIRCOSTANZA DI INTERESSE

ESEMPIO:

CLASSIFICA DEI MARCATORI DI SERIE A

• CARATTERE: NUMERO DI GOL SEGNATI
• POPOLAZIONE: TUTTI I GIOCATORI DELLE SQUADRE DI SERIE A
• UNITÀ STATISTICA: OGNI SINGOLO GIOCATORE
• MODALITÀ: NUMERO INTERO > 0

CARATTERI

QUALITATIVI    QUANTITATIVI

CONNESSI ORDINE: LICENZA MEDIA, DIPLOMA SUP., LAUREA, ECC.

ORDINATI DISTRIBUTORI DI FREQUENZA

DISCRETI (MODALITÀ F): NUMERO ARRIVI A TIVOLI

CONTINUI (MODALITÀ R): ALTEZZA, PESO, ECC.

SIMBOLOGIA

• FREQUENZA ASSOLUTA: n_i
• FREQUENZA RELATIVA: f_i = n_i / N
• FREQUENZA PERCENTUALE: p_i = f_i . 100
• AMPIEZZA DELLA CLASSE: α_i = (C_i+1 - C_i)
• DENSITÀ ASSOLUTA: H_i = n_i / α_i
• DENSITÀ RELATIVA: h_i = f_i / α_i
• DENSITÀ PERCENTUALE: h_i% = p_i / α_i
• FREQUENZE CUMULATE ASSOLUTE: N_k = n₁ + n₂ + ... + n_k
• FREQUENZE CUMULATE RELATIVE: F_k = f₁ + f₂ + ... + f_k = N_k / N

N.B. LE FREQUENZE CUMULATE RELATIVE POSSONO ESSERE RAPPRESENTATE GRAFICAMENTE DANDO LUOGO ALLA FUNZIONE DI RIPARTIZIONE

SERIE STORICA: PARTICOLARE DISTRIBUZIONE SEMPLICE IN CUI I DATI SONO DISTRIBUITI IN BASE AL TEMPO (ES. ANNO)

SERIE SPAZIALE: CASO PARTICOLARE DI DISTRIBUZIONE SEMPLICE IN CUI I DATI SONO DISTRIBUITI IN BASE ALLO SPAZIO (ES. REGIONI ITALIANE)

Funzione di Ripartizione

Caratteri Quantitativi Discreti con Modalità Non Raggruppate

• x: 0 | n_i: 7 | f_i: 0,35
• x: 1 | n_i: 4 | f_i: 0,2
• x: 2 | n_i: 1 | f_i: 0,05
• x: 3 | n_i: 5 | f_i: 0,25
• x: 4 | n_i: 2 | f_i: 0,1
• x: 5 | n_i: 1 | f_i: 0,05

Carattere Quantitativo con Modalità Raggruppate in Classi

TOT: 20 | 1

Possiamo dire quale è la percentuale degli individui d'età compresa tra 30 e 70 anni?

F_A = 0,85 − 0,30 = 0,55

5% / 2

Possiamo calcolare:

F(10) = 0

F(30) = 6/20 = 0,30

F(90) = (6 + 7 + 4 + 3) / 20 = 1

Ma se voglio trovare un dato che si trova all'interno di una classe e non ai suoi estremi utilizzo la seguente formula:

F(x) = F_i−1 + h_i(x − c_i−1)

Formula

Esempio:

F(20) = F(10) + 0,015( x − 10 ) = 0 + 0,015 x (15)

= 0,015 x 20 − 0,05 x 3 = 0,015 x 19 = 0,3

Es. Qual è la percentuale di età compresa tra 38 e 55 anni?

F(38) = F(30) + 0,0175 (38 − 30) =

= 0,3 + 0,07 x 5 = 0,44

F(55) = F(50) + 0,015 (55 − 50) =

= 0,65 + 0,05 = 0,7

Risposta:

F(55) − F(38) = 0,26

26%

Proprietà (condizioni di coerenza)

1. Un valore medio M è consistente se data una distribuzione x₁, x₂, x₃, ... x_n →

2. Monotono se, date 2 distribuzioni unitarie x &y=. Si ha che x₁x →

→ M(x) < M(y) (y è statisticamente più grande) →

← Debolmente monotono se M(x) ≈ M(y)

3. Internalità. M è intesa se risulta x_min ≤ M ≤ x_max.

Proprietà fondamentali di un indice di variabilità

a) Quando tutte le unità hanno la stessa modalità l'indice deve essere nullo.

b) Il valore dell'indice di variabilità deve crescere al crescere della dispersione del carattere.

Variabilità intorno ad una media

Preso la media come riferimento si vuole calcolare di quanto le modalità dei caratteri del collettivo si discostano da essa.

La varianza è data dalla media del quadrato degli scarti dalla media aritmetica e si indica con σ².

Distribuzione unitaria

σ² = ₁/^NΣ_i=1^N(x_i - μ)² = ₁/^NΣ_i=1^N(x_i - 2x_iμ + μ²) = …

Distribuzioni di frequenze

σ² = ₁/^NΣ_i=1^N(x_i - μ²)n_i = …

Distribuzioni in classi di modalità (x_i = _{Cini + Ci}/²)

Proprietà della varianza

1. La varianza è una quantità non negativa in quanto è una media di quadrati.
2. G = 0 se e solo se tutte le unità hanno la stessa modalità (x₁ = x₂ = x₃ = … = x_n = x = …)

Scostamento (scarto) quadratico medio = Deviazione standard

Distribuzione unitaria

Distribuzione di frequenze

Distribuzioni in classi di modalità

Proprietà dello scostamento quadratico medio

• Lo scarto quadratico medio non varia al cambiamento di unità di misura e non risente traslazioni (si riflette anche sulla varianza)

Valori di sintesi delle distribuzioni doppie

Se X e Y sono qualitativi: ordinati → si calcola il punto mediano

Se X e Y sono entrambi quantitativi → si calcola il baricentro o punto medio

N.B.: Valgono le stesse regole del calcolo delle medie nelle distribuzioni semplici, anche distribuzioni in cui prendi il valore centrato.

Se X è qualitativo ordinato e Y quantitativo il valore di sintesi è un punto di coordinate (Me(x), My)

Se sono entrambi quantitativi si può calcolare un indice di variabilità che è un punto avente coordinate (σ_mx², σ_my²) cioè le rispettive varianze delle distribuzioni marginali.

Media di una distribuzione doppia

1. X | Y = y_j (X dato Y = y_j)
2. Y | X = x_i

μ_xi0yi1 = ¹/_h ∑_i=1^s x_i n_ij

μ_y|x=xi = ¹/_ni. ∑_j=1^t y_j n_ij

Varianza condizionata

1. X | Y = y_j (X dato Y = y_j)
2. Y | X = x_i (Y dato X = x_i)

σ_x|y=yj² = ¹/_n.j ∑_i=1^s (x_i - μ_x|y=yj)² n_ij = ¹/_n.j ∑_i=1^s x_i² n_ij - μ_x|y=yj²

σ_y|x=xi² = ¹/_ni. ∑_j=1^t (y_j - μ_y|x=xi)² n_ij = ¹/_ni. ∑_j=1^t y_j² n_ij - μ_y|x=xi²

Per lo studio della dipendenza - indipendenza vedere schemi allegato.

Covarianza (formula nello schema) punta di misura (unità di misura x) * x (unità di x)

Trasformazione lineare X e Y

U = a*X + b*Y → trasforma → σ_uv = b*d*σ_xy