Statistica - Cebicev

Dimostrazione Cebicev

Varianza (σ²)

Considerando che A(ε) è l’insieme delle unità i tali che |x_i - x̄| > ε e che B(ε) è l’insieme delle unità i tali che |x_i - x̄| ≤ ε, allora F_A(ε), ossia la frequenza relativa delle unità che si trovano nell’insieme A(ε), non può superare il seguente limite superiore:

F_A(ε) = |\{i : |x_i - x̄| > ε\}| ≤ σ² / nε²

1. σ² = ∑(x_i - x̄)² / N ≡ = ∑_{i ∈ A(ε)}(x_i - x̄)² / N + ∑_{i ∈ B(ε)}(x_i - x̄)² / N
2. ≥ ε²F_A(ε) + ∑_{i ∈ B(ε)}(x_i - x̄)²
3. ≥ ε²F_A(ε)

Quindi σ² = ε²F_A(ε)

e^-1F_B(ε) = 1 - F_A(ε) > 1 - σ² / ε²

Relazioni delle frequenze

Inoltre:

• f_A + f_B = 1 quindi f_A = 1 - f_B
• F_A(ε) < σ² / ε²
• F_B(ε) > 1 - σ² / ε²

{F_A: frequenza relativa delle unità esterne}

{F_B: frequenza relativa delle unità interne}