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Statistica 28

Probabilità Lezione 1

Esercizio 11 28-09-2016

Urna con 15 dadi 5 regolari, 10 con solo facce pari (2,4,4,6,6) Estraendo un dado a caso e lanciandolo:

1. P che esca il 6
2. P che esca il 6 che il dado sia regolare
3. Dato che è uscito un 6 quale è la prob. che il dado sia regolare
4. Abbiamo estratto un dado regolare, quale è la P che estraendo un altro dado esca il 6

1. Individuo eventi
   • S = {" esce il numero 6"}
   • R = {"il dado è regolare"}
2. Relazione tra eventi Influenze In questo caso il fatto che esce 6 è influenzato dal dado che pesco R → influenza → S
3. Albero probabilità 5/15 R 10/15 R̅ ↓ ↓ 1/6 S 5/6 S̅ 2/6 S 4/6 S̅ ↓ ↓ ↓ ↓ R∩S 5/90 R∩S̅ 25/90 R̅∩S 20/90 R̅∩S̅ 40/90
4. Tabella Risultati R R̅ P(R∩S) S 5/90 20/90 25/90 P(S) S̅ 25/90 40/90 65/90 P(S̅) P(R) p(R̅) 1

2) L'EVENTO ESCE IL 6 E' L'UNIONE DI 2 INTERSEZIONI DI EVENTI

S = (_R∩_S) ∪ (_R̅∩_S)

P(_S) = P(_R∩_S) + P(_R̅∩_S)

P(_S) = P(_S|_R) · P(_R) + P(_S|_R̅) · P(_R̅)

= 4_/6 · 1_/3 + 2_/6 · 10_/15 = 25_/90 = 0.2778

b) P(_S|_R̅) = P(_S|_R̅R̅) · P(_R̅) = 1_/6 = 5_/90 = 0.0556

→ P(_R̅|_S) → TEOREMA DI BAYES → P(_R̅∩_S)_/P(S)

= 5_/90 = 1_/5 = 0.2

d) SE TOLGO UN DADO REGOLARE QUALE LA PROB. CHE ESCA IL 6?

UNIONE DI 2 INTERSEZIONI

P(_S) = P(_R∩_S) + P(_R̅∩_S)

= 4_/84 + 20_/84 = 24_/84 = 0.2857

ESERCIZIO 2 10/07/2015

LAUREATI IN ECONOMIA CON VOTO ≥ 100/110 E' 10%

TRA QUESTI DIRIGENTI D'AZIENDA E' DEL 20%

TRA I LAUREATI CON VOTO < 100/110 I DIRIGENTI SONO IL 3%

a) SAPENDO CHE UNO E' DIRIGENTE QUALE E' LA PROB. CHE IL VOTO SIA < 100/110?

b) P CHE INDIVIDUO A CASO SIA DIRIGENTE E VOTO < 100/110?

EVENTI:

• L = LAUREATO CON VOTO ≥ 100/110
• D = LAUREATO E DIRIGENTE D'AZIENDA

L INFLUENZA D

P(_L) = 0.1 P(_L̅) = 0.9 P(_D|L) = 0.2 P(_D|L̅) = 0.03

Esercizio

Un lampadario è costituito da 8 lampadine, di cui 3 difettose. Selezioniamo a caso 3 lampadine.

1. P che le 3 selezionate siano tutte difettose
2. P che la 2^a sia difettosa
3. P che la 3^a sia difettosa dato che la prima lo era
4. P che una sola sia difettosa

Eventi:

• D = Estraigo una lampadina difettosa
• ̅D = Estraigo una lampadina non difettosa

3 Estrazioni

• P(D₁, D₂, D₃) = P(D₁) ⋅ P(D₂) ⋅ P(D₃) = ³/₈ ⋅ ²/₇ ⋅ ¹/₆ = ⁶/₃₃₆ = 0.0179
• P(D₂, D₂) ∪ P(D₂, ̅D₂) = ³/₈ ⋅ ⁵/₇ = ¹⁵/₅₆ = 0.375
• P(D₁, D₂) ∪ P(D₁, D₂, D₃) ∪ P(D₁, ̅D₂, D₃) = ⁶⁰/₃₃₆ + ⁶⁰/₃₃₆ + ⁶⁰/₃₃₆ = 0.5357
• P(D₃ | D₁) = ³/₈ ⋅ ²/₇ + ³/₈ + ⁵/₇ ⋅ ²/₆ = 0.285

ESERCIZIO 2

18/01/2012

DATA LA SEGUENTE VARIABILE ALEATORIA BIVARIATA

x | y             1             2             3               4

  1    0,062                    0,062                              0,104

  2    0,066                   0,256                         0,322

  3    0,097                  0,266                 0,363

  4                            0,211            

      0,128    0,135     0,522        1

1. X e Y sono stocasticamente indipendenti?
2. calcolare Var(Z) con Z = X - 3Y
3. calcolare F_X|Y=2(X) e E(X|Y=2)
4. calcolare P(X/Y > 1)

P(X) P(Y) = P(X)P(Y) => 0,128 · 0,104 ≠ 0,062 NON SONO STOC. INDIP.

3)

TROVO LA DISTRIBUZIONE CONDIZIONATA

P(X|Y=2) =                            X                            1                 2                       3                            4

P(Y)                           P_X|Y=2            0,12      0              0,28             0,6

F_X|Y=2(X) =

• 0         x < 1
• 0,12     1 ≤ x < 2
• 0,12     2 ≤ x < 3
• 0,39     3 ≤ x < 4
• 1           x = 4

VALORE ATTESO

E(X|Y=2) = ∑_s=1⁴ P(x|y)(s|2) = 1 · 0,12 + 0,2 + 3 · 0,28 + 4 · 0,6 = 3,36

d) P(X/Y > 1) = 0,066 + 0,097 + 0,211 = 0,374

LA NORMALE

X ∼ N(μ, σ²)

1. STANDARDIZZARE LA NORMALE

Z = Normale standardizzata

Z ∼ N(0,1)   dove   _{z =} (x-μ)/σ

2. TAVOLE

Esempio:   X ∼ N(100, 20)   Domanda → P(X < 110)

P(X < 110) = P( _{z <} (110-100)/√20 ) = P(z < 2,23) = 0,9871

PROCEDIMENTO INVERSO

P(z < z) = P(x < x-μ/σ)

Esempio

Quantile di ordine 0,025 di una N(170, 64)

P(z < z) = P(x < x-μ/σ) → z = -1,96 → x-μ/σ = -1,96

Cerco 0.025 dentro la tavola e vedo a cosa corrisponde

= _x-170/₈ = 1,96

= x = 154,32