Statistica Appunti 2015/2016

Statistica per il turismo: modelli e applicazioni

Operatori di ritardo e operatori differenza

Operatori di ritardo non periodici

• Operatore di ritardo di ordine 1, viene chiamato con B (iniziale di backward “all’indietro”) ed è tale per cui: Z_t · B = Z_t−1. Cioè, B applicato alla v.c. la fa ritardare di un istante, dando luogo a −1.
• Operatore di ritardo di ordine 2, ed è tale per cui: B² · Z_t = Z_t−2. Cioè, applicato alla v.c. la fa ritardare di due istanti, dando luogo a −2.
• Operatore di ritardo di ordine K, ed è tale per cui: B^k · Z_t = Z_t−k. Cioè, applicato alla v.c. la fa ritardare di k istanti, dando luogo a −k, k = 1,2,…,K.
• Principio di uguaglianza tra operatori: Due operatori sono uguali tra loro se, applicati alla medesima variabile, producono lo stesso risultato.

Operatori differenza

Si suddividono in due categorie:

1. Operatori differenza non stagionali o non periodici.
2. Operatori differenza stagionali o periodici.

NB se non viene specificato altrimenti, per operatore differenza si intende quello non stagionale o non periodico.

Operatori differenza non stagionali o non periodici

∇ operatore differenza di ordine uno, indicato con questo simbolo ed è tale per cui:

∇ · Z_t = Z_t − Z_t−1.

Questa differenza è detta differenza prima e sapendo che B · Z_t = Z_t−1, si può esprimere anche nel seguente modo:

(1 − B)Z_t = Z_t − B · Z_t = Z_t − Z_t−1.

Essendo: ∇ = (1 − B), allora, per il principio di uguaglianza tra operatori risulta che:

∇ = (1 − B).

∇² operatore differenza di ordine due, indicato con questo simbolo ed è tale per cui:

∇² · Z_t = Z_t − 2 · Z_t−1 + Z_t−2.

Ovvero riscritto con l’operatore si ha:

∇² = (1 − B)² = 1 − 2B + B².

Sostituendo B · Z_t = Z_t−1 e B² · Z_t = Z_t−2 nell’uguaglianza di prima:

(1 − B)² · Z_t = (1 − 2B + B²) · Z_t = Z_t − 2B · Z_t + B² · Z_t.

Allora: ∇² · Z_t = Z_t − 2 · Z_t−1 + Z_t−2.

Questa differenza si chiama differenza seconda.

Caso generale: operatore differenza di ordine d, indicato con questo simbolo ed è tale per cui:

∇^d · Z_t = ∇(∇^d−1 · Z_t), per d = 1,2,…

L’operatore differenza di ordine d si ottiene dallo sviluppo del binomio di Newton, dato dalla seguente espressione:

∇^d = (1 − B)^d = 1 − dB + (d sopra 2)B² − (d sopra 3)B³ + ⋯ + (−1)^dB^d.

Per d = 1 si ha che ∇ = 1 − B è l’operatore differenza di ordine 1.

Per d = 2 si ha che ∇² = 1 − 2B + B² è l’operatore differenza di ordine 2.

Effetti degli operatori differenza su serie con trend

Gli operatori differenza hanno effetti su due tipi di serie con trend:

1. Trend lineare.
2. Trend non lineare.

Caso di serie con trend lineare

Applicando un operatore differenza di ordine 1 ad una serie con trend lineare, questo operatore elimina il trend della serie stessa, cioè detrendizza i dati.

Sia il modello di una serie caratterizzata da:

Z_t = (β₀ + β₁t) + ε_t.

• β₀ + β₁t: un trend lineare.
• ε_t ~ WN(0, σ²): un residuo accidentale.

Si può facilmente dimostrare che la serie delle differenze prime è priva di trend, cioè la serie ∇Z_t oscilla intorno a un livello medio costante.

∇Z_t = (1 − B)(β₀ + β₁t + ε_t).

Moltiplicando il binomio per il trinomio ottengo:

∇Z_t = β₀ + β₁t + ε_t − Bβ₀ − Bβ₁t − Bε_t = β₀ + β₁t + ε_t − β₀ − β₁(t−1) − ε_t−1.

∇Z_t = β₀ + β₁t + ε_t − β₀ − β₁t + β₁ − ε_t−1 = β₁ + ε_t − ε_t−1.

Dove β₁ è una costante, mentre ε_t − ε_t−1 sono le oscillazioni casuali attorno al livello costante β₁.

Di conseguenza, le differenze prime di Z_t sono una serie priva di trend, cioè detrendizzata.

Caso A β > 0

Ipotizziamo che ε_t = 0 e allora Z_t = β₀ + β₁t ∀t.

Di conseguenza:

∇Z_t = (1 − B)(β₀ + β₁t) = β₁.

Cioè, le differenze di Z_t sono uguali al coefficiente angolare β₁.

Presenze turistiche annuali dal 2008 al 2013 nella località 1. I dati sono espressi in migliaia.

Commento: La serie storica X_t presenta un trend lineare (andamento rettilineo), con un incremento costante da un anno all’altro. Tale incremento derivato dal calcolo dell’operatore differenza è pari a 200000 presenze all’anno, ovvero il valore del coefficiente angolare β₁.

Commento:

• Le differenze prime sono costanti e quindi danno luogo a una linea retta parallela all’asse delle ascisse (x).
• Poiché il trend è crescente ed ha quindi valore positivo, la retta sta al di sopra dell’asse delle ascisse.
• La retta è posta in corrispondenza di 200 che rappresenta il coefficiente angolare della retta.

Caso B β < 0

Ipotizziamo che ε_t = 0 e allora Z_t = β₀ − β₁t ∀t.

Di conseguenza:

∇Z_t = (1 − B)(β₀ − β₁t) = −β₁.

Cioè, le differenze prime di Z_t sono uguali al coefficiente angolare −β₁.

Presenze turistiche annuali dal 2008 al 2013 nella località 2. I dati sono espressi in migliaia.

Commento:

• Il trend è lineare.
• Con andamento decrescente.
• Ogni anno decresce di 100000 unità (costante).

Commento:

• Le differenze prime sono costanti e quindi danno luogo a una linea retta parallela all’asse delle ascisse (x).
• La retta sta al di sotto dell’asse delle ascisse.
• La retta è posta in corrispondenza del livello -100 che rappresenta il coefficiente angolare della retta.

Caso di serie con trend non lineare

Applicando un operatore differenza di ordine 2 ad una serie con trend non lineare questo operatore elimina il trend dalla serie stessa, cioè detrendizza i dati.

Sia il modello di una serie caratterizzata da:

Z_t = β₀ + β₁t + β₂t² + ε_t.

• β₀ + β₁t + β₂t²: un trend non lineare.
• ε_t ≍ WN(0, σ²): un residuo accidentale.

Si può dimostrare che la serie delle differenze seconde ∇²Z_t è priva di trend, cioè la serie oscilla intorno ad un livello medio costante, quindi è detrendizzata.

Caso A

Esempio numerico di applicazione della differenza seconda a serie con trend non lineare crescente:

∇²X_t = (1 − B)²X_t = X_t − 2X_t−1 + X_t−2.

L’incremento di X_t non è costante nel tempo, il trend non è lineare e ha andamento parabolico con concavità rivolta verso l’alto e quindi crescente; l’incremento +1 è quello che si aggiunge all’incremento costante che si ha in presenza della serie rettilinea (incremento che si cumula sugli incrementi precedenti).

La tabella è stata trasformata in una tabella a doppia entrata.

N.B. nell’esempio proposto l’incremento assoluto di X_t tra un tempo e l’altro non è costante, ma varia di una unità.

Non è costante la variazione assoluta, ma l’incremento che si aggiunge!

Caso B

Esempio numerico di applicazione della differenza seconda a serie con trend non lineare decrescente.

Grafico della serie con trend non lineare decrescente X_t.

Grafico delle differenze seconde di X_t, cioè di ∇²X_t.

N.B. nell’esempio proposto il decremento assoluto di X_t tra un tempo e il successivo non è costante, ma varia di una unità.

I modelli stocastici

Scopi di utilizzo dei modelli stocastici

I modelli stocastici si possono utilizzare per diversi scopi, alcuni dei più importanti sono:

1. Rappresentare la struttura di relazione temporale dei dati.
2. Simulare il processo che ha generato i dati.
3. Scomporre la serie in componenti elementari.
4. Prevedere l’andamento futuro dei valori della serie.

Ammissibilità

Un modello stocastico è ammissibile se soddisfa i seguenti requisiti:

Stazionarietà (in senso debole)

Un modello X_t è stazionario in senso debole (o in covarianza) se valgono le seguenti proprietà:

• E(X_t) = μ, ∀t, cioè la funzione valore medio è costante.
• Var(X_t) = E(X_t − μ)² = σ² < +∞, ∀t, cioè la funzione varianza è costante e finita.
• Cov(X_t, X_t−k) = E(X_t − μ)(X_t−k − μ) = γ(k), cioè la funzione di autocovarianza non dipende dal tempo t, ma solo dal ritardo lag(k).

Esempio di modello stocastico-stazionario

Il più semplice modello stazionario è il modello White Noise (rumore bianco) indicato con a_t, infatti:

• E(a_t) = 0 ∀t ∈ T.
• Var(a_t) = E(a_t²) = σ² < +∞, ∀t ∈ T.
• Cov(a_t, a_t−k) = E(a_t − μ)(a_t−k − μ) = E(a_t − 0)(a_t−k − 0) = E(a_ta_t−k) = γ(k) = 0, ∀k ≠ 0.

In altri termini, il modello stocastico è costituito da una successione di v.c. con media nulla che sono omoschedastiche e incorrelate tra loro. Tale modello viene espresso in forma compatta con a_t ~ WN(0, σ²).

Invertibilità

L’invertibilità consiste nella possibilità di esprimere un modello mediante le v.c. precedenti per k = 1,2,3,…

In senso restrittivo è un modello invertibile se esiste una successione di costanti {c₀, c₁, c₂, …} e un modello WN tale per cui:

X_t = c₀ + c₁X_t−1 + c₂X_t−2 + ⋯ + a_t.

Dove l’uguaglianza va intesa in modalità quadratica.

L’invertibilità è strettamente legata alla prevedibilità dei modelli, in quanto si basa sulla possibilità di rappresentare il modello con una funzione convergente delle v.c. che precedono X_t per k = 1,2,…

I modelli ARMA

Caratteristiche

I processi stocastici stazionari si possono rappresentare analiticamente tramite modelli caratterizzati da opportuni parametri.

Tra i modelli stocastici stazionari utili per l’analisi delle serie storiche assumono un ruolo fondamentale i modelli della classe ARMA (autoregressing moving average) o modelli autoregressivi media mobile.

La classe dei modelli ARMA è composta da due sottoclassi:

• Modelli AR (autoregressivi).
• Modelli MA (media mobile).

Di entrambe le classi studieremo i modelli più semplici, cioè quelli di ordine 1 e 2.

Schema per lo studio dei modelli ARMA

1. Formulazione della forma esplicita del modello.
2. Specificazione del numero e del tipo dei parametri del modello.
3. Espressione delle condizioni di ammissibilità del modello (staz. e invert.).
4. Analisi delle funzioni di autocovarianza/autocorrelazione (globale e parziale) del modello.

Modelli media mobile di ordine 1, MA(1)

Forma esplicita

La forma esplicita di tale modello è definita da:

Z_t = a_t − θ · a_t−1.

Essendo a_t−1 = B · a_t, dove B è l’operatore di ritardo uno, allora:

Z_t = a_t − θB · a_t = (1 − θB)a_t.

Dove a_t è il processo WN con media nulla e varianza pari a σ².

Parametri

Se a_t ~ WN(0, σ²) è gaussiano, allora il processo MA(1) è completamente determinato da due parametri θ e σ².

Ammissibilità

Il processo MA(1) è stazionario, in quanto combinazione di WN, ed è ammissibile se è invertibile.

Se vale l’equazione caratteristica (1 − θB) = 0 con le soluzioni |B| > 1 che garantiscono l’invertibilità.

Se risolvo in funzione di B:

1 − θB = 0 → 1 = θB → B = 1/θ.

Ciò equivale alla condizione |θ| < 1, in quanto |B| > 1, essendo B = 1/θ.

Funzioni di autocovarianza dei modelli MA(1)

Cov(a_t, a_t−k) = E(a_ta_t−k) = γ(k) = 0 ∀k ≠ 0.

La funzione di autocovarianza del modello media mobile di ordine 1, cioè di Z_t = a_t − θa_t−1, è la seguente:

Per k = 0:

γ(0) = E(Z_t²) = E(a_t − θa_t−1)² = E(a_t² + θ²a_t−1² − 2θa_ta_t−1) = σ² + θ²σ² − 0 = (1 + θ²)σ².

Per k = 1:

γ(1) = E(Z_tZ_t−1) = E[(a_t − θa_t−1)(a_t−1 − θa_t−2)] = E(a_ta_t−1 − θa_ta_t−2 − θa_t−1a_t−1 + θ²a_t−1a_t−2) = −θσ².

Per k = 2:

γ(2) = E(Z_tZ_t−2) = E[(a_t − θa_t−1)(a_t−2 − θa_t−3)] = E(a_ta_t−2 − θa_ta_t−3 − θa_t−1a_t−2 + θ²a_t−1a_t−3) = 0.

In generale, quindi, per k ≥ 2, si ha γ(k) = 0.

Funzioni di autocorrelazione globale dei modelli MA(1)

Per ottenere la funzione di autocorrelazione globale di un modello MA(1) basta calcolare il rapporto tra la funzione di autocovarianza e la varianza.

ρ(k) = γ(k) / γ(0).

Nello specifico:

• Per k = 0, si ha ρ(0) = γ(0) / γ(0) = 1.
• Per k = 1, si ha ρ(1) = γ(1) / γ(0) = −θσ² / (1 + θ²)σ² = −θ / (1 + θ²).
• Per k ≥ 2, si ha ρ(k) = γ(k) / γ(0) = 0 / (1 + θ²)σ² = 0.

Quindi, nel caso di un modello MA(1):

• L’unico valore non banale di ρ(k) è quello di ρ(1).
• ρ(1) è funzione del parametro θ del modello e viceversa.
• ρ(1) assume segno opposto a θ e viceversa.