Statistica Appunti 2015/2016

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STATISTICA PER IL TURISMO: MODELLI E APPLICAZIONI

OPERATORI DI RITARDO E OPERATORI DIFFERENZA

OPERATORI DI RITARDO NON PERIODICI

 Operatore di ritardo di ordine 1, viene chiamato con B (iniziale di backward

“all’indietro”) ed è tale per cui:

Z Z

B ∙ =

t t−1

Cioè, B applicato alla v.c. la fa ritardare di un istante, dando luogo a

−1

2

 Operatore di ritardo di ordine 2, ed è tale per cui:

2

B Z Z

∙ =

t t−2

2

Cioè, applicato alla v.c. la fa ritardare di due istanti, dando luogo a

−2

 Operatore di ritardo di ordine K, ed è tale per cui:

k

B Z Z

∙ =

t t−k

Cioè, applicato alla v.c. la fa ritardare di k istanti, dando luogo a , k = 1,2,…,K

−

 Principio di uguaglianza tra operatori:

Due operatori sono uguali tra loro se, applicati alla medesima variabile, producono lo

stesso risultato.

OPERATORI DIFFERENZA

SI suddividono in due categorie:

1. Operatori differenza non stagionali o non periodici

2. Operatori differenza stagionali o periodici

NB se non viene specificato altrimenti, per operatore differenza si intende quello non

stagionale o non periodico.

1. OPERATORI DIFFERENZA NON STAGIONALI O NON PERIODICI 1

∇

 operatore differenza di ordine uno, indicato con questo simbolo ed è tale per cui:

∇ ∙ Z = Z − Z

t t t−1 = ∙

questa differenza è detta differenza prima e sapendo che , si può

−1

esprimere anche nel seguente modo: (1 B)

Z − Z = Z − B ∙ Z = − ∙ Z

t t−1 t t t

essendo: (1

∇ ∙ = − − ) ∙ = −

e , allora, per il principio di

−1 −1

∇= (1 − B)

uguaglianza tra operatori risulta che: 2

2

∇

 operatore differenza di ordine due, indicato con questo simbolo ed è tale per cui:

2

∇ ∙ Z = Z − 2 ∙ Z + Z

t t t−1 t−2

∇= (1 − B)

ovvero riscritto con l’operatore si ha:

2 2 2

∇ = (1 − ) − 1 +

=1 2

B ∙ Z = Z B ∙ Z = Z

sostituendo e nell’uguaglianza di prima:

t t−1 t t−2

2 2 2

(1 )

∇ ∙ Z = − 2B + B ∙ Z = Z − 2B ∙ Z + B ∙ Z

t t t t t

2

∇ ∙ Z = Z − 2 ∙ Z + Z

allora: t t t−1 t−2

Questa differenza si chiama differenza seconda.

∇

 Caso generale: operatore differenza di ordine d, indicato con questo simbolo ed è

tale per cui:

d d−1

∇ ∙ Z = ∇ (∇ ∙ Z ) , per d =1,2,…

t t

L’operatore differenza di ordine d si ottiene dallo sviluppo del binomio di Newton, dato

dalla seguente espressione: d d

d d 2 3 d d

∇ = (1 − B) = 1 − dB + ( ) B − ( ) B + ⋯ + (−1) B

2 3

1 1 1

∇ = 1 … + (−1) B = (1 − B)

Per d=1 si ha che è l’operatore differenza di ordine 1.

2 2 2

22

∇ = 1 − 2B + = 1 − 2B + B

( )

Per d=2 si ha che è l’operatore differenza di

ordine 2.

EFFETTI DEGLI OPERATORI DIFFERENZA SU SERIE CON TREND

Gli operatori differenza hanno effetti sue due tipi di serie con trend:

1. Trend lineare

2. Trend non lineare 3

1.CASO DI SERIE CON TREND LINEARE

Applicando un operatore differenza di ordine 1 ad una serie con trend lineare, questo

operatore elimina il trend della serie stessa, cioè detrendizza i dati

Z = (β + β t) + ε

Sia il modello di una serie caratterizzata da:

t 0 1 t

β + β t

 un trend lineare 0 1 2

ε ~WN(0, σ )

 un residuo accidentale t

si può facilmente dimostrare che la serie delle differenze prime è priva di trend, cioè la serie

∇ Z oscilla intorno a un livello medio costante.

t ∇Z = (1 − B)(β + β t + ε )

t 0 1 t

Moltiplicando il binomio per il trinomio ottengo:

(β ) (Bβ ) (β ) (β

∇Z = + β t + ε + Bβ t + Bε = + β t + ε +

− −

t 0 1 t 0 1 t 0 1 t 0

(t 1) ) (β ) (β )

β − + ε = + β t + ε + β t − β + ε = β + β t +

−

1 t−1 0 1 t 0 1 1 t−1 0 1

(ε )

ε − β − β t + β − ε = β + − ε

t 0 1 1 t−1 1 t t−1

(ε )

∇Z = β + − ε

t 1 t t−1

β ε − ε

Dove è una costante, mentre sono le oscillazioni casuali attorno al livello

1 t t−1

costante β .

1 Z

Di conseguenza, le differenze prime di sono una serie priva di trend, cioè detrendizzata.

t 4

1.1 CASO A β > 0 ε = 0 Z = β + β t

∀t,

Ipotizziamo che e allora

1 t t 0 1

Di conseguenza

(1 B)(β t)

∇Z = − + β +β

=

t 0 1 1

Z +β

Cioè, le differenze di sono uguali al coefficiente angolare

t 1

Presenze turistiche annuali dal 2008 al 2013 nella località 1. I dati sono espressi in

migliaia ∇

Anno t X B X = X X = X – X

t t t-1 t t t-1

2008 1 10000 --- ---

2009 2 10200 10000 200

2010 3 10400 10200 200

2011 4 10600 10400 200

2012 5 10800 10600 200

2013 6 11000 10800 200

Commento: La serie storica X presenta un

t

trend lineare (andamento rettilineo), con

un incremento costante da un anno

all’altro. Tale incremento derivato dal

calcolo dell’operatore differenza è pari a

200000 presenze all’anno, ovvero il valore

del coefficiente angolare β .

1

Commento:

 Le differenze prime sono costanti e quindi danno luogo a una linea retta parallela all’asse delle ascisse (x).

 Poiché il trend è crescente ed ha quindi valore positivo, la retta sta al di sopra dell’asse delle ascisse.

 La retta è posta in corrispondenza di 200 che rappresenta il coefficiente angolare della retta. 5

1.2 CASO B β < 0 ε = 0 Z = β − β t

∀t,

Ipotizziamo che e allora

1 t t 0 1

Di conseguenza

(1 B)(β t)

∇Z = − − β −β

=

t 0 1 1

Z −β

Cioè, le differenze prime di sono uguali al coefficiente angolare

t 1

Presenze turistiche annuali dal 2008 al 2013 nella località 2. I dati sono espressi in

migliaia. ∇

Anno t X B X = X X = X – X

t t t-1 t t t-1

2008 1 19000 --- ---

2009 2 18900 19000 -100

2010 3 18800 18900 -100

2011 4 18700 18800 -100

2012 5 18600 18700 -100

2013 6 18500 18600 -100

Commento:

 Il trend è lineare

 Con andamento

decrescente

 Ogni anno decresce di

100000 unità

(costante)

Commento:

 Le differenze prime sono

costanti e quindi danno luogo a

una linea retta parallela all’asse

delle ascisse (x).

 La retta sta al di sotto dell’asse

delle ascisse.

 La retta è posta in

corrispondenza del livello -100

che rappresenta il coefficiente

angolare della retta. 6

2.CASO DI SERIE CON TREND NON LINEARE

Applicando un operatore differenza di ordine 2 ad una serie con trend non lineare questo

operatore elimina il trend dalla serie stessa, cioè detrendizza i dati

2

(β )

Z = + β t + β t + ε

Sia il modello di una serie caratterizzata da:

t 0 1 2 t 2

β + β t + β t

 un trend non lineare 0 1 2 2

ε ≈ WN(0, σ )

 un residuo accidentale t 2

∇ Z

Si può dimostrare che la serie delle differenze seconde è priva di trend, cioè la serie t

oscilla intorno ad un livello medio costante, quindi è detrendizzata.

2.1 CASO A 2

∇

Esempio numerico di applicazione della differenza seconda a serie con trend non lineare

crescente:

2 2 2

∇ = (1 − B) ∇ X = X − 2X + X

dove è tale per cui t t t−1 t−2

− −

t − − − −

− −

1 2 -- -- -- -----

2 3 2 -4 -- -----

3 5 3 -6 2 5-6+2=+1

4 8 5 -10 3 8-10+3=+1

5 12 8 -16 5 12-16+5=+1

6 17 12 -24 8 17-24+8=+1

7 23 17 -34 12 23-34+12=+1

8 30 23 -46 17 30-46+17=+1 X

L’incremento di non è costante nel

t

tempo, il trend non è lineare e ha

andamento parabolico con concavità

rivolta verso l’alto e quindi crescente;

l’incremento +1 è quello che si aggiunge

all’incremento costante che si ha in

presenza della serie rettilinea

(incremento che si cumula sugli

incrementi precedenti). 7

La tabella è stata trasformata in una tabella a doppia entrata.

X

N.B. nell’esempio proposto l’incremento assoluto di tra un tempo e l’altro non è

t

costante, ma varia di una unità

X X X X X X X X

1 2 3 4 5 6 7 8

t 1 2(+1)

2 3(+2)

3 5(+3)

4 8(+4)

5 12(+5)

6 17(+6)

7 23(+7)

8 30

Non è costante la variazione assoluta, ma l’incremento che si aggiunge!

2.2 CASO B 2

∇

Esempio numerico di applicazione della differenza seconda a serie con trend non lineare

decrescente

− −

t − − − −

− −

1 30 -- -- -- -----

2 23 30 -60 -- -----

3 17 23 -46 30 17-46+30=+1

4 12 17 -34 23 12-34+23=+1

5 8 12 -24 17 8-24+17=+1

6 5 8 -16 12 5-16+12=+1

7 3 5 -10 8 3-10+8=+1

8 2 3 -6 5 2-6+5=+1 8

X

Grafico della serie con trend non lineare decrescente

t 2

X ∇ X

Grafico delle differenze seconde di , cioè di

t t X

N.B. nell’esempio proposto il decremento assoluto di tra un tempo e il successivo non è

t

costante, ma varia di una unità.

X X X X X X X X X

t 1 2 3 4 5 6 7 8

t 1 30(-7)

2 23(-6)

3 17(-5)

4 12(-4)

5 8(-3)

6 5(-3)

7 2(-1)

8 1 9

I MODELLI STOCASTICI

SCOPI DI UTILIZZO DEI MODELLI STOCASTICI

I modelli stocastici si possono utilizzare per diversi scopi, alcuni dei più importanti sono:

1. Rappresentare la struttura di relazione temporale dei dati

2. Simulare il processo che ha generato i dati

3. Scomporre la serie in componenti elementari

4. Prevedere l’andamento futuro dei valori della serie

AMMISSIBILITÀ

Un modello stocastico è ammissibile se soddisfa i seguenti requisiti:

1. STAZIONARIETÀ (IN SENSO DEBOLE)

Un modello X è stazionario in senso debole (o in covarianza) se valgono le seguenti

t

proprietà:

( )

= ∀.

▪ cioè la funzione valore medio è costante,

2 2

( )

− = < +∞ ∀.

▪ cioè la funzione varianza è costante e finita,

( )(

− − ) = ()

▪ cioè la funzione di autocovarianza non dipende

−

dal tempo t, ma solo dal ritardo lag(k).

ESEMPIO DI MODELLO STOCASTICO-STAZIONARIO

Il più semplice il modello stazionario è il modello White Noise (rumore bianco) indicato

con , infatti:

E(a ) = 0 ∀tϵT

▪ t 2 2

Var(a ) E(a )

= = σ < +∞, ∀ ∈

▪ t t

Cov(a ) E(a μ)(a μ) E(a 0)(a 0)

, a = − − = − − =

▪ t t−k t t−k t t−k

E(a ) γ(k)

, a = = 0, ∀k ≠ 0

t t−k

In altri termini, il modello stocastico è costituito da una successione di v.c. con media

nulla che sono omoschedastiche e incorrelate tra loro. Tale modello viene espresso in

2

~(0, )

forma compatta con . 10

2. INVERTIBILITÀ

L’invertibilità consiste nella possibilità di esprimere un modello mediante le v.c.

precedenti per k=1,2,3,…

−

In senso restrittivo è un modello invertibile se esiste una successione di costanti

, , ..}

{ e un modello WN tale per cui:

0 1 2

X = c + c X + c X + ⋯ + a

t 0 1 t−1 2 t−2 t

dove l’uguaglianza va intesa in modalità quadratica.

L’invertibilità è strettamente legata alla prevedibilità dei modelli, in quanto si basa sulla

possibilità di rappresentare il modello con una funzione convergente delle v.c. −

(che precedono ) per k=1,2,..

11

I MODELLI ARMA

CARATTERISTICHE

I processi stocastici stazionari si possono rappresentare analiticamente tramite modelli

caratterizzati da opportuni parametri.

Tra i modelli stocastici stazionari utili per l’analisi delle serie storiche assumono un ruolo

fondamentale i modelli della classe ARMA (autoregressing moving average) o modelli

autoregressivi media mobile.

La classe dei modelli ARMA è composta da due sottoclassi:

 modelli AR (autoregressivi)

 modelli MA (media mobile)

Di entrambe le classi studieremo i modelli più semplici, cioè quelli di ordine 1 e 2.

SCHEMA PER LO STUDIO DEI MODELLI ARMA

1) Formulazione della forma esplicita del modello

2) Specificazione del numero e del tipo dei parametri del modello

3) Espressione delle condizioni di ammissibilità del modello (staz. e invert.)

4) Analisi delle funzioni di autocovarianza/autocorrelazione (globale e parziale) del

modello 12

MODELLI MEDIA MOBILE DI ORDINE 1, MA(1)

1) FORMA ESPLICITA

La forma esplicita di tale modello è definito da:

Z = a − θ · a

t t t t−1

= ·

Essendo , dove B è l’operatore di ritardo uno, allora

−1 Z = a − θB · a = (1 − θB)a

t t t t

2

Dove è il processo WN con media nulla e varianza pari a σ

2) PARAMETRI 2

~(0, )

Se è gaussiano, allora il processo è completamente determinato

2

da due parametri .

1

3) AMMISSIBILITÀ ~(1)

Il processo stazionario (in quanto combinazione di WN) è ammissibile se

è invertibile. (1 θB)

− = 0 |B|>1

Se vale l’equazione caratteristica con le soluzioni che

garantiscono l’invertibilità.

Se risolvo in funzione di B 1

(1 )

− = 0 → 1 = → = 1 (1 θB)

B = − = 0

Ciò equivale alla condizione |θ|<1, in quanto , essendo .

θ

4) FUNZIONI DI AUTOCOVARIANZA DEI MODELLI MA(1)

Cov(a ) E(a ) γ(k)

, a = , a = = 0 ∀k ≠ 0

t t−k t t−k 2

( ) ( )

, = , = ( )

 

se k=0 varianza

−0

()

La funzione di autocovarianza del modello media mobile di ordine 1,

Z = a − θ a

cioè di è la seguente:

t t 1 t−1 12 2

t2 2

2

γ(0) E(Z ) E(a

= = E(a − θ a ) = + θ a −

 

per k=0 t 1 t−1 t t−1

12 2 12

2 2 2

) E(a ) E(a ) E(a )

2θ a a = + θ · − 2θ , a = σ + θ σ −

1 t t−1 1 t t−1

t t−1

12 2

0 = (1 + θ )σ E[(a )]

γ(1) E(Z )

= Z = − θ a )(a − θ a =

 

per k=1 t t−1 t 1 t−1 t−1 1 t−2

12

E(a )

a − θ a a − θ a a + θ a a =

t t−1 1 t t−2 1 t−1 t−1 t−1 t−2

12

2 2

E(a ) E(a ) E(a ) (a )

a − θ a − θ + θ a = −θ σ

t t−1 1 t t−2 1 t−1 t−1 t−2 1 13

E[(a )]

γ(2) E(Z )

= Z = − θ a )(a − θ a =

 

per k=2 t t−2 t 1 t−1 t−2 1 t−3

12

E(a )

a − θ a a − θ a a + θ a a =

t t−2 1 t t−3 1 t−1 t−2 t−1 t−3

12

E(a ) E(a ) E(a ) E(a )

a − θ a − θ a + θ a = 0

t t−2 1 t t−3 1 t−1 t−2 t−1 t−3

() = 0.

 in generale, quindi, per k≥2, si ha

FUNZIONI DI AUTOCORRELAZIONE GLOBALE DEI MODELLI MA(1)

Per ottenere la funzione di autocorrelazione globale di un modello MA(1) basta

calcolare il rapporto tra la funzione di autocovarianza e la varianza

()

() = (0)

Nello specifico: (0)

(0) = =1

per k=0, si ha (0) 2

(1)

1 1

(1) = =− =−

per k=1, si ha 12 12

2

(0) (1+ ) 1+

0

(0) = =0

per k≥ 2, si ha 12 2

(1+ )

Quindi, nel caso di un modello MA(1)

 L’unico valore non banale di ρ(k) è quello di ρ(1)

 ρ(1) è funzione del parametro del modello e viceversa

1

 ρ(1) assume segno opposto a e viceversa