Statistica Appunti 2015/2016

∅(B)∇

} → Z = θ(B)a

t t t t

∅(B)W =θ(B)a

t t d

W = ∇ Z

Siccome , allora sostituendo:

t t

d

∅(B)∇ Z = θ(B)a

t t

Per passare dalla forma compatta a quella esplicita basta tener conto che:

2

∅() = 1 − ∅ − ∅ − ⋯ − ∅

1 2

2

()

= 1 − − − ⋯ −

1 2

e sostituendo opportunamente, otteniamo:

2 2

(1 − ∅ − ∅ − ⋯ − ∅ )∇ = (1 − − − ⋯ − )

1 2 1 2

∇

Moltiplicando per e per

∇ − ∅ ∇ − ∅ ∇ − ⋯ − ∅ ∇ = − − − ⋯ −

1 −1 2 −2 − 1 −1 2 −2 −

Dove:

∇ = (1 − )

 è l’operatore differenza di ordine d, detto anche operatore

autoregressivo non stazionario di ordine d (avendo d radici pari a 1)

d 2 p d 2

∅(B)∇ = − ∅ B − ∅ B − ⋯ − ∅ B − B) = − ∅ B − ∅ B − ⋯ −

(1 )(1 (1

 1 2 p 1 2

p+d

Φ + αB = Φ(B)

)

p 

Nella denominazione dei modelli ARIMA si utilizza l’aggettivo integrato perché esso

richiama il concetto di integrazione (basato sull’operazione di somma)

= ∇

Infatti: se viene ottenuto per “differenze” successive di , allora il ps

−

= ∇

originario si può ricavare per “somme” successive di .

42

ESEMPIO

= ∇ = (1 − )

per d=1, , da cui isolando :

−1 −1 2

Z = ∇ W = (1 − B) · W = (1 + B + B + ⋯ ) · W

t t t t

Moltiplicando Z = W + W + W + ⋯

t t t−1 t−2

Osservazioni: si fa notare che:

 Se d=0 0

= ∇ → =

0

= ∇ =

allora il processo è già stazionario in quanto ;

 Se d=1 (1 )

= ∇ = − = −

−1 ∇ = − =

risultano stazionari gli incrementi di in quanto ;

−1

 Se d=2,

il ps presenta livello e pendenza stazionari;

 Se d=3, ~funzione

si ha che il ps polinomiale di t, più semplice di un ARIMA.

Di conseguenza, non si opera quasi mai con d>2, perché in tali circostanze la serie

presenterebbe un andamento così regolare da poter essere rappresentato bene (anche)

da modelli più semplici dei modelli ARIMA ( ad esempio con funzioni matematiche del

tempo t).

SOTTOCLASSI DI MODELLI ARIMA (p,d,q)

~(, ) ↔ ~(, 0, )

1. MODELLI ARMA:

~() ↔ ~(, 0,0)

2. MODELLI AR:

~() ↔ ~(0,0, )

3. MODELLI MA: 43

MODELLO RANDOM WALK SEMPLICE(passeggiata casuale)

1) FORMA ESPLICITA ∇ =

~(0,1,0)

Il modello di è un random walk se cioè se

(1 )

∇ = − = − =

essendo , allora

−1

Z = Z + a

t t−1 t

2) PARAMETRI 2

Se è gaussiano, l’unico parametro di questo modello è la varianza di

2

~(0, )

Il modello RW si chiama così perché, fissato un valore iniziale , la posizione di una

0 , , … .

particella al tempo t dipende soltanto dalla successione di urti accidentali 1 2

( e ciò determina appunto una passeggiata a caso)

Determinazione ricorsiva del modello RW per t=1,2,3 e per t-1,t:

= +

essendo , allora:

−1

 Per t=1 (per avere come valore iniziale)

0

= +

1 0 1

 Per t=2

= +

2 1 2

= ( + ) + = + +

2 0 1 2 0 1 2

 Per t=3

= +

3 2 3

= + + +

3 0 1 2 3

 Per t=-1

= +

−1 −2 1−1

= + + + + ⋯ +

−1 0 1 2 3 −1

 Per t=t

= +

−1

= + + + + ⋯ + +

0 1 2 3 −1 44

MODELLO RANDOM WALK CON DRIFT (passeggiata casuale con trend)

θ

Inserendo il termine costante nel modello ARIMA con d≥1 si rappresenta una funzione

0

matematica polinomiale di grado pari a d. (considerando solo il trend lineare)

In particolare, per d=1, il modello che si ottiene è:

= + , il quale coincide con:

0 −1 −1

(α t)

Z = + θ · + ∇ · a Z = ∇ · a

, cioè un modello RW ( ) a cui si è aggiunto

t 0 0 t t t

α + θ · t

un trend lineare (espressione lineare ).

0 0

Dimostrazione: −1

(α t)

Z = + θ · + ∇ · a

 Verificare che il modello è uguale al modello

t 0 0 t

= + , cioè al modello RW con drift.

0 Z =

 Pre-moltiplicando per la stessa quantità a sinistra e destra, la disuguaglianza t

−1

(α t)

+ θ · + ∇ · a diventa:

0 0 t ∇

−1

[∇ ] ∇(α t) (1 B)(α t)

· Z = + θ · + ∇∇ · a = + + θ · + ( ) · a

t 0 0 t 0 0 t

∇

(1 B)(α t)

= + + θ · + a

0 0 t

∇= 1 −

Ricordando che

 Sviluppando il prodotto:

= + · − · − · · + = + · − − ·

0 0 0 0 0 0 0 0

( 1) ( 1)

− + = · − + +

0

[θ ]

→ ∇Z = +a modello RW con drift

t 0 t

(1 )

∇ = + → − = + → − = + → −

0 0 0 −1

= +

0

→ = + + FORMA ESCPLICITA

− 45

MODELLO EXPONENTIAL SMOOTHING (ES) O MODELLO A SPIANAMENTO ESPONENZIALE

SEMPLICE (PEREQUAZIONE LIVELLAMENTO)

≈ (0,1,1),

Il modello di è un modello Exponential Smoothing (ES) semplice se

cioè se: (1 )

∇ = − · ·

1

1) FORMA ESPLICITA

In forma esplicita il modello ES è dato da:

(1 )

− · = (1 − ) · ossia

− · = − ·

· = e che · =

Sapendo che −1 −1

− = − ·

−1 −1

Isolando

Z = Z − θ · a + a

t t−1 t−1 t

2) PARAMETRI 2

Se è gaussiano il modello ARIMA (0,1,1) è caratterizzato da 1+1=2 parametri: .

1

3) AMMISSIBILITA’ (1 − )

Il modello ARIMA (0,1,1) è ammissibile se l’operatore media mobile è

|| < 1.

invertibile, cioè se

In questo caso, infatti, si può esprimere come un particolare modello AR, cioè una

media ponderata dei valori passati di con pesi che decrescono esponenzialmente (più

il WN ), da cui il termine di perequazione esponenziale.

| | < 1 (1 − )

Infatti se allora l’operatore media mobile è invertibile, cioè se la

sua inversa che è: ∞

−1 2 2 3 3

(1 − ) = 1 + + + + ⋯ = ∑

=0

−1

(1 )

−

Pertanto si può premoltiplicare per sia a destra che a sinistra del segno

(1 ) (1 )

− · = − ·

di uguaglianza dell’espressione , ottenendo così:

−1 −1 −1

(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1

− − · = − − · → − −

1−

) · = ·

1− 46

−1 −1

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

− − · = → = − − ·

2 2 3 3

(1 )(1

= + + + + ⋯ − ) ·

= −

sostituendo e semplificando:

2 3

(1 )

= − − − + ⋯ ·

1 2 3

moltiplicando 2 3

= − · − · − · − ⋯ =

1 2 3

· =

sapendo che −1

= − · − · − · − ⋯ =

1 −1 2 −2 3 −3

isolando Z = π · Z + π · Z + π · Z + ⋯ + a

t 1 t−1 2 t−2 3 t−3 t

modello AR perché è espresso da funzione di se stesso ritardato nel tempo

−1

(1 )

= − =

Cioè si ottiene un modello AR di ordine infinito, dove

∞