Statistica applicata - verifica di ipotesi

Verifica di ipotesi (teoria dei test statistici)

Cioè campionare i campioni mu, sigma per decidere se le congetture sono vere.

I Nodi faremo i test parametrici su parametrico mu, sigma, N

• ipotesi nullo H₀ - status quo
• ipotesi alternativa H_A

H_A è l'ipotesi mass. vera finos a prova contraria.

Scopo è decidere se rifiutare l'ipotesi nulla H₀ a favore dell'ipotesi alternativa H_A.

H₀: θ ∈ {θ₀}

H_A: θ ∈ {θ_A}

spazio parametricos θ

Esempio:

• H₀: μ < 3400
• H_A: μ > 3400

• ipotesi può essere semplice specifica completamente i parametri di primo livello
• composta

Esempio:

• H₀: μ = 5 semplice
• H_A: μ > 5 composta

• [una] ipotesi composta
• unidirezionale [o destrà or sinistra μ>5 or < 0]
• bidirezionale [due i interventi] μ = 5 [di più estraribile der.];

Struttura delle ipotesi

• {H₀: θ = θ₀}
• {H_A: θ ≠ θ₀}

• {H₀: θ ≤ θ₀}
• {H_A: θ > θ₀}

• {H₀: θ ≥ θ₀}
• {H_A: θ < θ₀}

• test nullo media
• {H₀: θ < θ₀}
• {H_A: θ ≥ θ₀}

Rifiuto di ipotesi

Guide realizzazione campionarie che conducono a rifiuto

Campo numerico dello spazio campo campionario

Lascia opposto della regione di accettazione

Statistica di test (o test statistici) → valore calcolato [ottenuto dai calcoli]

l'antei cui distribuzione sia nota sotto H₀

dalla stati test ricaviamo il valore critico: valore stati test di cui coincide valore di probabilità.

Verifica di ipotesi (teoria dei test statistici)

• Giudizi campione casuale utile per decidere se le congetture sono V o F
• H₀ - status quo
• H_A - ipotesi alternativa

H₀ → l'ipotesi più vera fino a prova contraria

• Scopo è decidere se rifiutare l'ipotesi nulla a favore dell'ipotesi alternativa H_A
• H₀: Θ ∈ ω₀
• H_A: Θ ∉ ω₀

1. Formulazione di ipotesi

Esempio

• H₀: μ < 3,400
• H_A: μ > 3,400

• Ipotesi composita
• Unidirezionale
• Bidirezionale

Struttura delle ipotesi

• H₀: Θ = Θ₀
• H_A: Θ ≠ Θ₀

2. Regione di rifiuto

• Guida le realizzazioni campionarie che conducono a rifiutare H₀
• Statistica test (o test statistico) valore calcolato

Regione di rifiuto

• Valore critico

T(X) ≥ k_α → rifiuto H₀ poiché θ₁ ricade nell'area di rifiuto

Stat.Test valore critico → dipende dalla distribuzione

T(X) < k_α → accetto H₀

Regione di rifiuto unilaterale dx

H₀ : θ = θ₀

H₁ : θ > θ₀, con θ₁ > 0

T(X) ≥ k_α → rifiuto H₀

Regione di rifiuto unilaterale sx

H₀ : θ = θ₀

H₁ : θ < θ₀, con θ₁ < 0

T(X) ≤ k_α → rifiuto H₀

Regione di rifiuto bilaterale

H₀ : θ = θ₀

H₁ : θ ≠ θ₀

T(X) ≤ k_2α oppure T(X) ≥ k₂ → rifiuto H₀

dove é la regione di rifiuto

3. Errori di I e II tipo

Quando m preduzioni derivate è sempre possibile incorrere in errori

I tipo → rifiuto H₀ quando è vera

II tipo → accetto H₀ quando è falsa

Accetto H₀ corretto

Non nullo

H₀ V

H₀ F

Errore I tipo α

Errore II tipo β

Probabilità errore I tipo α

Probabilità errore II tipo β

P (μ₁ errore max ottimo

Valore critico

Punto a dx ↕ α a sx ↔

Livello di significatività del test

α è molto valore molto piccolo per ridurre la px all'errore

Potenza del test

Livello di confidenza

Rapporto di x = x V = β

Non posso avere un test con entrambe piccole

C cosa fare?

Premesso x

Cerco un test che minimizzi l'errore di tipo β

Questo test è massimamente potente se x = 0,05 x = 0,01 x = 0,10

Procedura finale

• Definisco ipotesi da ipotesi
• Formula della regola di aggiunto del dato
• Scelgo a proprio aggiunto livello di significatività ×
• Calcolo significativo
• G valore critico ↔
• Trovo t = T(x) valore calcolato
• Responso: rifiuto H₀ o confermo H₀

esempio pop Bernoulli (π = 6)

H₀: θ = 0,20H_A: θ = 0,30

n = 10t = Σ X_i = j stat test

X_i dove X_i: Bernoulliano

Bin(10, θ)

μ = k = 3

μ_t tale che t cada nulla regione di rifiuto | p che t = 3

complimentare | α = P(t ≤= 0) + P(t ≤= 1) + P(t ≤= 2) = 1 - P(0,2)(9,10,8,...)

p = 0,322

esempio gaussiane N (μ₀, σ² ) con σ nota

H₀: μ = 4,8H_A: μ > 4,8 → test unilaterale dx

povero x = Σ x_i ⟶ ^{−X̄ − H₀}// _σ/√n - ^{X̄ − H₀} // _σ/√n - ^{X̄ − H₀} // _σ/√n - P( ^{2 X̄ − H₀} // _σ/√n)

normale (0,1)standard error

p = P(X ² x₂ ^P) = 0,344

no tavole non c'è ^{x > 0,055}

errore

trovo p | P(X ≥ X₂ | ) = 0,3405x < 0,55

^{α = 0,023}

p-value

→ livello di probabilità osservato

p ottenere un valore del test almeno tanto estremo

RR unilat

p-value = P (X) = P_r(T(X) ≥ t(X₀) H₀

p-value = Pr T(X) ≤ t(X₀) H₀t(X) ^{≤, t,} z,

significato

lib, p-value

controllo di ads non

RP bilaterale

p-value = 2 P ^T(X)t(x) < sup>6 t(X)