Statistica

STATISTICA DESCRITTIVA:

• Classe j
• F.A.
• F.R.
• F.C.

x̄ , media

mediana = valore in mezzo

somma (i x_i² * F.A. i) = σ

INSIEMISTICA:

A ⊆ B ⇒ A implica B

p(A∩B) ≤ min (P(A), P(B)) ⟹ prendi il piu' piccolo tra P(A) e P(B)

V.A. DISCRETO

• Funzione di ripartizione F_n(x) , P(X ≤ x)
• Massa di probabilita' P(x=n)

Variabile aleatoria Uniforme

Valore atteso e(X)

Varianza V(X)

V.A. CONTINUA

• dove x è un numero reale

STATISTICA DESCRITTIVA:

x̄, media

mediana = valore in mezzo

somma (voci.sev. - x̄)² f.a./ n = σ

quartili:

• Q₁ 25%
• Q₂ 50%
• Q₃ 75%

box-plot:

IQR = Q₃ - Q₁

• L₁ = Q₁ - 1,5 IQR
• L₅ = Q₃ + 1,5 IQR

INSIEMISTICA:

• A ⊆ B => A implica B
• p(A ∩ B) ≤ min (p(A), p(B))

V.A. DISCRETO

funzione di ripartizione:

• F(n, -) (funzione di massa)

V.A. CONTINUA

in cui somma con il continuo vengono gli integrali del tipo

F(n) - F(n-)

• se I_(a,b) b_X(x, +) = 0 ∀ x ∉ I

Formulae per il calcolo delle probabilità:

• P(C ∪ E) = P(C) + P(E)
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
• se A ⊂ B, P(B) > P(A)
• P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) → probabilità condizionata
• P(B | A) = P(A | B) · P(B) / P(A) → Bayes
• P(A' | B) = 1 - P(A | B)
• P(A ∪ B | C) = P(A | C) + P(B | C) - P(A ∩ B | C)
• probabilità totale: P(A) = Σ P(A | B_i) P(B_i) = Σ P(A ∩ B_i)
• A ⊥ B ⇔ P(A ∩ B) = P(A) P(B)

Variabili aleatorie

Bernoulli → esperimento che ha solo due possibili risultati: 1 successo, 0 insuccessox ~ Ber(p)      P(x = 0) = 1 - p      P(x = 1) = p    E(x) = p     V(x) = p(1 - p)

Binomiale → conto k successi in n prove indipendentix ~ Bin(n, p)      P(x = k) = ⁿC_k · p^k · (1 - p)^{(n - k)}     E(x) = np     V(x) = np(1 - p)

Poisson → esperimento con prove ripetute indefinitamente con probabilità di vincita bassax ~ Poisson(λ)      P(x = k) = λ^k / k! e^-λ     E(x) = V(x) = λ

Ipergeometrica → conto le accettabili in prove senza riammissionex ~ HyperG(A, D, n) P(x = x) = ^AC_x ^DC_n-x / ^A+DC_n     E(x) = n^A/_A+D

Normali → esprime la densità di probabilità tramite media μ e varianza σ²x ~ N(μ, σ²)      P(z ≤ n) = P(z ≤ ^{z - μ}/_σ)     E(x) = μ      V(x) = σ²

Geometriche → "istante del primo successo"x ~ Geo(p)    P(x = k) = (1 - p)^k-1 p     E(x) = 1/p     V(x) = 1/p²

Esponenziale → tempo di attesa prima che ci verifichi un evento (continue)x ~ E(λ)    f_x(x) = λ · e^-λx    F(x) = 1 - e^-λx    E(x) = 1/λ    V(x) = 1/λ²

INTERVALLI DI CONFIDENZA

PER µ:

1. I.C. = [x̄ - z_1-α/2 √(σ²/n)  ;  x̄ + z_1-α/2 √(σ²/n)]  ... Teorema del limite centrale con s_n al posto di σ
2. I.C. = [x̄ - z_1-α/2 √(s_n²/n)  ;  x̄ + z_1-α/2 √(s_n²/n)]
3. I.C. = [x̄ - t_n-1;1-α/2 √(s_n²/n-1)  ;  x̄ + t_n-1;1-α/2 √(s_n²/n-1)]

PER σ²:

1. PER S_n²:  n-1/σ²  ∑_i=1 ⁿ (X_i-X̄ )²
2. I.C. = [(n-1) S_n²/x_1-α/2;n-1²  ;  (n-1) S_n²/x_α/2;n-1²]

PER λ (sec):

1. I.C. = [n/x_1-α/2;2n  ;  n/x_α/2;2n]

PER P (sec):

1. I.C. = [p - z_1-α/2 √(p(1-p)/n)  ;  p + z_1-α/2 √(p(1-p)/n)]

VERIFICA DI IPOTESI

ERRORI:

γ + α = y è vero ma lo rifiuto

β + δ = y é falso ma non lo rifiuto

TEST PARAMETRICI CON UNA POPOLAZIONE

PER µ:

1. U = (X̄ - µ)/(σ/√n)  ... Rifiuto H₀ se:
2. U* = (X̄ - µ)/(S_n/√n)  ... Rifiuto H₀ se:

PER σ²:

1. U = nS_n²/σ²  ... Rifiuto H₀ se:
2. U = (n-1) S