Statistica

Statistica Descrittiva:

• Moda
• Media
• Classe F.A.
• Classe F.C. > 0,5
• Quantili
• Box-Plot:

I.Q.D. = Q₃ - Q₁

• L₁ = Q₁ - 1,5 I.Q.D.
• Barra inferiore
• L₅ = Q₃ + 1,5 I.Q.D.
• Barra superiore - outlier

Insiemistica:

• A ⊆ B ⟺ a implica B
• Se non è vero nessuno dei tre, allora A ∪ B ∪ C
• P(A ∩ B) ≤ min (P(A), P(B))

V.A. Discreto

• Funzione di ripartizione F_x(x)
• Massa di probabilità
• Funzione di massa
• Valore atteso
• Varianza

V.A. Continua

• Integrali del tipo
• E_x(x_i) > 0
• Variabile aleatoria uniforme
• Formula

Coefficiente di correlazione lineare: P(x, y)

Disuguaglianza di Chebyshev: P(|x - Ni| > k · σ) <=

Formule per il calcolo delle probabilità:

• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
• P(A ∩ B) = P(A)P(B | A) = P(B)P(A | B)
• P(A | B) =
• P(B | A) P(A)/P(B) → bayes
• P(A ∩ B) =
• P(A ∩ B) = P(AB) = P(A)P(B)
• P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
• proprietà totale:
• A ⊥ B ⇾ P(A ∩ B) = P(A) P(B)

Variabili aleatorie

Bernoulliane — esperimento che ha solo due possibili esiti: successo, insuccesso

• X ∼ ber(p) P(X=0)=1-p P(X=1)=p

Binomiale — conta i successi in n prove indipendenti

• X ∼ bin(n,p) P(X=k)=C(k,n)p^k (1-p)^n-k e(X)=np V(c.X)=np(1-p)

Poisson — esperimenti con prove ripetute e indipendenti con probabilità di vincita bassa

• X ∼ poisson(λ) P(X=k)==k/k! e^-λ

Ipergeometrica — conta le accettazioni su n prove senza reimmissione

• X ∼ hypergeo(A, B) P(x ≥ x) =

Normali

• — esprime la densità di probabilità tramite media e varianza

Geometriche

• — "istante del primo successo", discreta

Esponenziale

— tempo di attesa prima che si verifichi un evento (continua)

Quantile:

p =

(np + 1) - S - (np + 1)

se np ∈ N

(np + 1)

p parte intera su np.

Percentile:

esempi percentili se ∃ esimo percentile

Quantile

• Q1 → 25° esimo percentile
• Q2 → 50° esimo percentile (mediana)
• Q3 → 75° esimo percentile

Indici di dispersione

Varianza

presi X_n elementi non ordinati, la varianza σ² è

σ² = (1/n) Σ(X_i - X_m)²

Σ X² - (1/n) ×

Deviazione standard

ottengo come unità di misura le stesse dei vari elementi

Range dei banchi

presi X_n elementi ordinati il range è X_n - X₁

Differenza interquantile

IQR = Q₃ - Q₁

mi dice al'interno dove ho il 50%

Box plot

outlier: casi che osservano al di fuori del valore del baffo

Baffo superiore (T) = Q₃ + 1.5 × IQR × Q₃

Baffo inferiore (I) = Q₁ − 1.5 × IQR × Q₁

nell'istogramma l'altezza dei rettangoli si ottiene con:

frequenza relativa

l'ampiezza classe

Sapendo che x è una variabile aleatoria continua su [a,b], allora la sua densità f_t(t)=¹⁄_b-a I_[a,b](t)

= I_[a,b](t)=¹⁄_b-a | 0 t ∈ [a,b] | 0 altrimenti

Relazione: F_x(x)= ∫^x⁄_a f_x(t) dt nei punti in cui F_x è derivabile

Valore atteso (o medio)

- caso discreto: e(x)=Σ_i=1ⁱ x_i⋅p_x(x_i) con V_x={x₁,...,x_n}

- caso numerabile: e(x)=Σ_i=1ⁱ x_i ⋅ p_x(x_i) solo quando Σ_k=1^∞ x_i ⋅ p_x(x_i) è finito

- caso continuo: e(x)=∫_i=1ⁱ x ⋅ f_x(x) dx con f_x(x) <∞

= b intervallo

Solo quando ∫_l=1^u |x| ⋅ f_x(x) dx è finito

L_x valore atteso reale e definito che se il limite a cui tende il numeratore e il denominatore e un numero crescente di operazioni

Proprietà:

1) sia data una variabile aleatoria x. Posso calcolare una sua analice g(x) e[g(x)] tramite la seguente formula

es: g(x)=y=x²

p(0)=0.2, p(y)=0.5, p(3)=0.3 p(x)=0.0..0.1, y=0.5; 0.3=3, y=4.1 p_y(0.0)=0.0, p_y(4.1)=0.5, p_y(4.1)=0.3 e[y(x)]=0.0, 0.0 + y=0.5 + y=0.3 = y = x²₁

3) caso discreto: e[g_(x)]=Σ_i=1^k g(x_i) p_x(x) , x ∈ V

P_y(y) = p_x(g_{-1(y)) , ∀y ∈ V}

- caso continuo: e[g_x(x)] = ∫_g-1(y) ^⁄ b_x(x) dx =

F_y(y) = b_x(g_-1(y)) |⋅ ¹⁄_g'(y)| , ∀y ∈ I_Y

Legge Debole dei Grandi Numeri

Sia {X_n}_n una successione di variabili aleatorie definite su Ω.

Se {X_n}_n è una successione di variabili aleatorie definita su Ω, {$,⁎} p.

{ inserimenti, esentamenti distrubuire} con media μ e varianza σ²

Sia media campionaria:

—>

∀ε > 0,

| (1/n) ^Σ_i=1n| —>0 quando n—>∞

media vera

Teorema Centrale del Limite

Siano X₁,...,X_n belle variabili aleatorie, —∞ < X < —∞

tutte con media μ e varianza σ² la somma è approssimativamente bastava come con media nμ

e varianza —conservate:

{X₁ +...+ X_n -nμ} = N (0,1) /

( normale standard )

—£^np — ° −o

"approssimativamente bastava come"

dunque per n grande ed x qualsiasi vale:

P{-X₁... + X_n > −nμ} / inverso

Come Calcolare μ e σ²

X — N (np , np (4-p))

Come Approssimare la Binomiale:

n(p(4-p)) ≤ 40. np

(x) n

5)

x ∼ N (p) ∼ teorema del limite centrale

Ho vera ∼ Z-test

6)

x ∼ N Audingue ∼ teorema del limite centrale

Ho vera (0,4) ∼ Z-test

Test di confronto tra due popolazioni:

x ∼ N (μ_x, σ²_x)

y ∼ N (μ_y, σ²_y)

∼ N (μ_x - μ_y, σ²_x/n_x + σ²_y/n_y)

1. Varianze note

   Ho vera ∼ Z-test

2. Varianze incognite ma uguali:

   Ho vera t_{nx + ny - 2} → T-test

   s²_p = (n_x-1) s²_x + (n_y-1) s²_y / n_x + n_y - 2 (media pesata)

3. Varianze incognite con campioni numerosi:

   Ho vera ∼ Z-test

4. Le varianze hanno lo stesso campione:

   D = x - y ∼ N (μ_x - μ_y, σ²_b)

   Ho vera t_{n - 1} → T-test