Statistica

Argomenti

• Regressione lineare
• Media aritmetica
• Varianza
• Deviazione standard
• Metodo dei minimi quadrati
• Coefficiente di correlazione
• Modelli riconducibili al caso lineare
• Esempi interpretazione di dati statistici.

Elaborazione statistica dei dati sperimentali

Regressione lineare

È un metodo analitico che permette di trovare la migliore linea retta che interpola una serie di punti sperimentali.

Sia x la variabile indipendente, avremo y = f(x) quindi al variare di x varia y.

Tramite un esperimento dobbiamo costruire una legge che valga per ogni x, cioè dobbiamo costruire la funzione f.

In statistica, si deve trovare l'espressione analitica della funzione a partire dai grafici.

Maggiore è il numero degli esperimenti più punti troveremo, più preciso sarà il grafico.

Lo x non varia continuamente ma a salti.

y = mx + q   f(x) = mx + q funzione lineare

Argomenti

• Regressione lineare
• Media aritmetica
• Varianza
• Deviazione standard
• Metodo dei minimi quadrati
• Coefficiente di correlazione
• Ideali riconducibili al caso lineare
• Esempi interpretazione di dati statistici

Elaborazione statistica dei dati sperimentali

Regressione lineare

È un metodo analitico che permette di trovare la migliore linea retta che interpola una serie di punti sperimentali.

Sia x la variabile indipendente, avremo y = f(x) quindi al variare di x varia y.

Tramite un dato esperimento dobbiamo costruire una legge che valga per ogni x, cioè dobbiamo costruire la funzione.

In statistica, si deve trovare l'espressione analitica della funzione a partire dai grafici.

Maggiore è il numero degli esperimenti più punti troverà, più preciso sarà il grafico.

x non varia continuamente ma a salti.

y = mx + q f(x) = mx + q --> funzione lineare

1. Generalità

Una funzione lineare è una legge f: A->R tale che:

• ∀ x₁, x₂ ∈ A, c₁, c₂ ∈ A → c₁x₁ + c₂x₂ ∈ A
• f(c₁x₁ + c₂x₂) = c₁f(x₁) + c₂f(x₂)

La funzione f(x) = mx + q con m e q fissati in R è una funzione lineare, infatti f: R->R.

Infatti, fissate 4 costanti x₁, x₂, c₁, c₂, la loro combinazione lineare cioè c₁x₁ + c₂x₂ è ancora un numero reale (∈ R).

Consideriamo una retta passante per l'origine (q = 0):

f(c₁x₁ + c₂x₂) = m(c₁x₁ + c₂x₁) + q = c₁mx₁ + c₂mx₁ = c₁f(x₁) + c₂f(x₂)

f eq. di una retta passante per l'origine è l'espressione di una funzione lineare.

Notazioni

Siano assegnati n numeri reali dove n ∈ N fissato.

Siano essi y₁, y₂, y₃, ..., y_n.

Il simbolo Σ_k=1ⁿ y_k si dice sommatoria di y₁, y₂, y₃, ..., y_n e significa y₁ + y₂ + y₃ + ... + y_n.

Se y₁ = y₂ = y₃ = ... allora Σ_k=1ⁿ y_k = y₁ + y₁ + ... + ny₁.

Bresamente possiamo scrivere Σ_k=1ⁿ y_k = ny₁.

Se x, y ∈ ℝ ricordiamo che |x-y|² è distanza fra x e y.

|x-y|² = (x-y)²

Introduciamo la funzione f(x) = 1/n ∑_k=1ⁿ (x-x_k)² dove x_k ∈ ℝ fissato n ∈ ℕ fissato.

Osserviamo che f(x) è un polinomio di II grado.

f(x) = 1/n [(x-x₁)² + (x-x₂)² + ... + (x-x_n)²]

Inoltre f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ ℝ.

Vogliamo studiare la funzione f(x).

Fissiamo x_- = x ∈ ℝ.

lim_{x → ±∞} f(x) = +∞

f'(x) = 1/n [2(x-x₁) + 2(x-x₂) ... + 2(x-x_n)] == 2/n ∑_k=1ⁿ (x-x_k)

Se f(x) ≥ 0 ⇒ 2/n ∑_k=1ⁿ (x-x_k) ≥ 0 ⇒ 2/n (∑_k=1ⁿ x_k - ∑_k=1ⁿ x_k) ≥ 0 ⇒ 2/n [n x - ∑_k=1ⁿ x_k] ≥ 0 ⇒ 2 x (nx - ∑_k=1ⁿ x_k) ≥ 0 ⇒ x - 1/n ∑_k=1ⁿ x_k ≥ 0 ⇒ x ≥ 1/n ∑_k=1ⁿ x_k

f è crescente in ]-∞, 1/n ∑_k