Statistica

Argomenti:

• Regressione lineare
• Media aritmetica
• Varianza
• Deviazione standard
• Metodo dei minimi quadrati
• Coefficiente di correlazione
• Modelli riconducibili al caso lineare
• Esempi interpretazione di dati statistici

ELABORAZIONE STATISTICA DEI DATI SPERIMENTALI

REGRESSIONE LINEARE

È un metodo analitico che permette di trovare la migliore linea retta che interpola una serie di punti sperimentali.

Se x è la variabile indipendente, avremo y = f(x) quindi al variare di x varia y (dipendente).

Tramite un dato esperimento dobbiamo costruire una legge che valga per ogni x, cioè dobbiamo costruire la funzione.

In statistica, si deve trovare l'espressione analitica della funzione a partire dai grafici.

Maggiore è il numero degli esperimenti più punti troviamo, più preciso sarà il grafico.

x non varia continuamente ma a tacchi

y = mx + q     f(x) = mx + q%     co. constante

In generale una funzione lineare è una legge

A ⟶ R tale che:

1. ∀ x₁, x₂ ∈ A ⟹ c₁x₁ + c₂x₂ ∈ A
2. f(c₁x₁ + c₂x₂) = c₁f(x₁) + c₂f(x₂)

La funzione f(x) = mx + q con m e q fissati in R è una funzione lineare, infatti f: R ⟶ R.

Innette fissate 4 costanti x₁, x₂, c₁, c₂ e la loro combinazioni lineare cioè c₁x₁ + c₂x₂ è ancora un numero reale (∈R)

e consideriamo una retta passante per l’origine (q=0)

f(c₁x₁ + c₂x₂) = m(c₁x₁ + c₂x₂) + q = c₁mx₁ + c₂mx₂

f(c₁x₁) + c₂f(x₂)

L’eq. di una retta passante per l’origine è l’espressione di una funzione lineare.

NOTAZIONI

Siano assegnati n numeri reali dove n ∈ N fissato

Siano essi y₁, y₂, y₃ ... y_n (e da non confondere con le successioni)

Il simbolo Σ_k=1 si dice SOMMATORIA di y₁, y₂, y₃ ... y_n e significa y₁ + y₂ + y₃ ... + y_n

Se y₁ = y₂ = y₃ allora Σ_k=1 y_k = y₁ + y₂ + y₃ ... ny₁

n addendi

Brevemente possiamo scrivere:

Σ_k=1 y_k = ny₁

EQUAZIONE QUADRATI

Siano assegnati n punti del piano. Siano essi (x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (x_n, y_n). Problema: Trovare due numeri reali m e q, tali che eq della dir. eq y=mx+q passi il più vicino possibile agli n punti assegnati, cioè la distanza fra la retta e gli n punti assegnati sia minima.

Osserviamo che la distanza fra (x_k, y_k) e P_k è:

d=|mx_k+q-y_k|

Indicheremo con E(m,q)=∑_k=1ⁿ(mx_k+q-y_k)²

Chiameremo E(m,q) l'errore totale che si commette sostituendo i punti (x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (x_n, y_n) con i punti sulla retta di eq. y=mx+q.

E(m,q) è una sola variabile dipendente da un parametro. Dapprima posso pensare E(m,q) come funzione di m al variare del parametro q, e successivamente posso pensare E(m,q) come funzione di q al variare del parametro reale m. La quantità E(m,q) rappresenta l'errore totale che si commette quando si sostituiscono i punti (x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (x_n, y_n) con i punti della retta di eq. y=mx+q.

Vogliamo trovare m e q in maniera tale E(m,q) = MINIMO ERRORE

... analogamente al caso della retta di regressione si ha.

...

x^' = x + ₁^y_m

y^' = mx + q^'

Osserviamo che la nuova retta di regressione y^' = mx + q^' passa sempre per il baricentro dei punti.

Allora le 2 rette di regressione si intersecano nel baricentro dei punti.

Ricordiamo che m = ^Cxy/_Sx² se ho ^{m' = Cxy}/_Sy².

Il numero reale

| ^m