Statistica

Argomenti:

• Regressione lineare
• Media aritmetica
• Varianza
• Deviazione standard
• Metodo dei minimi quadrati
• Coefficiente di correlazione
• Modelli riconducibili al caso lineare
• Esempi interpretazione di dati statistici.

ELABORAZIONE STATISTICA DEI DATI SPERIMENTALI

REGRESSIONE LINEARE

È un metodo analitico che permette di trovare la migliore linea retta che interpola una serie di punti sperimentali.

Sia x la variabile indipendente, avremo y = f(x) quindi al variare di x varia y.

Tramite un esperimento dobbiamo costruire una legge che valga per ogni x, cioè dobbiamo costruire la funzione f.

In statistica, si deve trovare l'espressione analitica della funzione a partire dai grafici.

Maggiore è il numero degli esperimenti più punti trovermo, più preciso sarà il grafico.

Lo x non varia continuamente ma a salti.

y = mx + q   f(x) = mx + q funzione lineare

Argomenti:

• Regressione lineare
• Media aritmetica
• Varianza
• Deviazione standard
• Metodo dei minimi quadrati
• Coefficiente di correlazione
• Ideali riconducibili al caso lineare
• Esempi interpretazione di dati statistici

Elaborazione statistica dei dati sperimentali.

Regressione lineare

È un metodo analitico che permette di trovare la migliore linea retta che interpola una serie di punti sperimentali.

Sia x la variabile indipendente, avremo y=f(x) quindi al variare di x varia y.

Tramite un dato sperimento dobbiamo costruire una legge che valga per ogni x, cioè dobbiamo costruire la funzione.

In statistica, si deve trovare l'espressione analitica della funzione a partire dai grafici.

Maggiore è il numero degli esperimenti più punti troverà, più preciso sarà il grafico.

x non varia continuamente ma a Salti.

y=mx+q

f(x)=mx+q --> funzione lineare

1. Generalità una funzione lineare è una legge

f: A->R tale che:

• 1) ∀ x₁, x₂ ∈A, c₁, c₂ ∈A → c₁x₁+c₂x₂ ∈A
• 2) f(c₁x₁+c₂x₂)=c₁f(x₁)+c₂f(x₂)

La funzione f(x) = mx+q con m e q fissati in R è una funzione lineare, infatti f: R->R.

Infatti, fissate 4 costanti x₁, x₂, c₁, c₂, la loro combinazione lineare cioè c₁x₁+c₂x₂ è ancora un numero reale (∈R)

Consideriamo una retta passante per l'origine (q=0):

f(c₁x₁+c₂x₂) = m(c₁x₁+c₂x₁) + q = c₁mx₁ + c₂mx₁

=c₁f(x₁)+c₂f(x₂)

f eq. di una retta passante per l'origine è l'espressione di una funzione lineare.

NOTAZIONI:

Siano assegnati n numeri reali dove n ∈N fissato.

Siano essi y₁, y₂, y₃, ..., y_n.

Il simbolo Σ_k=1ⁿ y_k si dice sommatoria di y₁, y₂, y₃, ..., y_n e significa y₁+y₂+y₃+...+y_n.

Se y₁=y₂=y₃=... allora Σ_k=1ⁿ y_k = y₁+y₁+ ... +ny₁.

Bresamente possiamo scrivere Σ_k=1ⁿ y_k = ny₁.

Se x, y ∈ ℝ ricordiamo che |x-y|² è distanza fra x e y.

|x-y|² = (x-y)²

Introduciamo la funzione f(x) = 1/n ∑_k=1ⁿ (x-x_k)²

dove x_k ∈ ℝ fissaton ∈ ℕ fissato

Osserviamo che f(x) è un polinomio di II gradof(x) = 1/n [(x-x₁)² + (x-x₂)² + ... + (x-x_n)²]

Inoltre f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ ℝ

Vogliamo studiare la funzione f(x).Fissiamo x_-=x ∈ ℝ

lim_{x → ±∞} f(x) = +∞

f'(x)= 1/n [2(x-x₁) + 2(x-x₂) ... + 2(x-x_n)] == 2/n ∑_k=1ⁿ (x-x_k)

Se f(x) ≥ 0 ⇒ 2/n ∑_k=1ⁿ (x-x_k) ≥ 0

⇒ 2/n (∑_k=1ⁿ x_k - ∑_k=1ⁿ x_k) ≥ 0 ⇒ 2/n [n x - ∑_k=1ⁿ x_k] ≥ 0

⇒ 2 x (nx - ∑_k=1ⁿ x_k) ≥ 0 ⇒ x - 1/n ∑_k=1ⁿ x_k ≥ 0

⇒ x ≥ 1/n ∑_k=1ⁿ x_k

f è crescente in ]-∞, 1/n ∑_k