Statistica 1

Calcolo della probabilità degli eventi

Aeventi se, sono DISGIUNTIiraccomandazione non confondere i simboli delle operazioni che si possono fare sugli eventi, dai simboli delle operazioni che si fanno sui numeri.gli assiomi sono delle "dichiarazioni" che noi facciamo affinché si possa parlare di probabilità.gli assiomi non si possono dimostrare.- la probabilità non potrà mai venire un numero negativo (primo assioma)- la probabilità è un numero compreso tra 0 e 1 (secondo assioma)

REGOLA PER L'ASSEGNAZIONE DELLA PROBABILITA' DEGLI EVENTI ELEMENTARIgli assiomi del calcolo della probabilità ci dicono quali sono le proprietà che una funzione deve verificare per potere essere definita "probabilità" ma non ci dicono come fare a calcolare la probabilità di un generico evento A.ci è di aiuto al riguardo l'assioma 3 del calcolo della probabilità, il quale stabilisce che la probabilità dell'unione

La probabilità di eventi disgiunti è pari alla somma delle loro probabilità. Si osservi che gli eventi elementari, per definizione, sono eventi disgiunti e che un evento generico può essere visto come l'unione di eventi elementari. Se quindi riusciamo a definire la probabilità di un evento elementare, utilizzando il terzo assioma, possiamo definire la probabilità di un generico evento A. Uno dei modi più naturali e semplici per definire la probabilità di un evento elementare è quella che fa riferimento al caso in cui lo spazio campionario ha dimensione finita e ciascun evento ha la medesima probabilità di verificarsi. Questa è la concezione classica, in cui un evento elementare ha la medesima possibilità di verificarsi (equiprobabilità).

ESEMPIO: ovviamente, per il secondo assioma, la somma delle probabilità è pari a 1. Quindi, più velocemente possiamo calcolare la probabilità per un generico evento A.

OSSERVAZIONI:

Se usiamo la formula classica, dobbiamo avere un modo per calcolare il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili; per questo ci sono 2 modi:

a) PER CONTEGGIO: il modo più semplice per contare i casi possibili. Quando Ω è finito e con pochi eventi elementari.

b) CON CALCOLO COMBINATORIO: permutazioni, disposizioni, combinazioni (non lo prenderemo MAI in considerazione in questo corso !!!). Quindi tutti gli esercizi saranno da fare solo per conteggio.

REGOLE PER PROBABILITÀ DEGLI EVENTI COMPOSTI

1. PROBABILITÀ DELL'UNIONE (dell'intersezione): dati 2 elementi qualsiasi, la probabilità dell'unione si calcola facendo: prob. di A + prob. di B - la probabilità dell'intersezione.
2. PROBABILITÀ DELLA DIFFERENZA: Se B non è contenuto in A, allora la probabilità della differenza è uguale alla probabilità di A - la probabilità di A intersecato B.

probabilità della differenza non è simmetrica!! A – B non è uguale a B – A P (A-B) diverso da P (B – A)3.

PROBABILITA’ DEL COMPLEMENTARE

Infatti, la probabilità di omegaè 14.

PROBABILITA’ DELL’EVENTO IMPOSSIBILE

5. MONOTONICITA’se un insieme è incluso in un altro insieme, allora la sua probabilità è più piccola dellaprobabilità dell’insieme in cui è incluso.la probabilità dell’intersezione sarà sempre più piccola della probabilità di A o della probabilitàdi B.

OSSERVAZIONEutilizzando la regola di monotonicità insieme al secondo assioma:LA PROBABILITA’ è SEMPRE UN NUMERO COMPRESO TRA 0 E 1 STATISTICA 1C LEZIONE DEL 18 NOVEMBRE 2020ALTRI APPROCCI PER LA DEFINIZIONE DELLA PROBABILITA’oltre all’approccio classico (il primo anche da un punto di vista storico) esistono altre

modalità per assegnare la probabilità.

2. APPROCCIO FREQUENTISTA (oggettivo)

P (A) = limite del rapporto di frequenze (si basa sulla legge empirica del caso)

3. APPROCCIO SOGGETTIVISTA (bayesiano)

- schema della scommessa (De Finetti)

- P (A) = quanto sono disposto a puntare per vincere 1

APPROCCIO FREQUENTISTA

esperimenti aleatori ripetibili (alle stesse condizioni)

Na = numero di esperimenti aleatori

N = numero totale

il limite di N che tende ad infinito è = a P(A)

1 lancio mi esce testa quindi Na = 1 e Na/N= 1/1(primo lancio) = 1

2 lancio mi esce croce quindi Na = 1 e Na/N= 1/2 (secondo lancio) = 0,5

man mano tenderà sempre più a 0,5

APPROCCIO SOGGETTIVISTA (di De Finetti o Bayesiano)

- esperimenti non necessariamente ripetibili

- opinioni soggettive differenti

De Finetti definisce la probabilità come: p è la posta che il soggetto (scommettitore) è disposto a pagare per riscuotere dal banco

- 1 se l'evento A si verifica

- 0 se

L'evento A non si verifica, la scommessa deve essere coerente: non deve dar luogo a guadagni (perdite) certi (= il gioco non deve essere truccato) per garantire la coerenza, la valutazione non deve cambiare se l'individuo passa da scommettitore a banco. Una valutazione coerente soddisfa gli assiomi. Questi due approcci sono un po' più complessi, per questo noi utilizzeremo quello classico.

PROBABILITÀ CONDIZIONATA

EVENTO CONDIZIONATO A|B = evento A con la condizione che B si sia già verificato

PROBABILITÀ CONDIZIONATA

Da cui si può finalmente dare la regola della probabilità dell'intersezione (6 regola):

P(AB) = probabilità di P di A data la condizionante B moltiplicato per la marginale della condizionante B (P(B)); e viceversa

INDIPENDENZA STOCASTICA

Due eventi A e B sono stocasticamente indipendenti se vale che n .n .i j come nella descrittiva  =n ij n

ATTENZIONE: DIFFERENZA TRA EVENTI DISGIUNTI E INDIPENDENTI

Se A e B sono

disgiunti:

• P(A ∩ B) = 0
• se accade A non può eccedere B

se A e B sono indipendenti:

• P(A ∩ B) = P(A) * P(B)
• P(A|B) = P(A)
• P(B|A) = P(B)

NB: se gli eventi sono disgiunti la probabilità della loro intersezione è nulla, mentre se sono indipendenti è uguale al prodotto delle probabilità marginali.

OSSERVAZIONE

per estrarre più oggetti:

A) estrazione CON REIMMISSIONE (con reinserimento)

gli eventi sono indipendenti e ad ogni estrazione si ha la stessa situazione iniziale

B) estrazione SENZA REIMMISSIONE (senza reinserimento)

gli eventi dipendono ogni volta dalla estrazione precedente.

es. estraggo 2 carte, io posso o rimettere la prima carta nel mazzo (reimmissione) o posso non reinserirla nel mazzo e quindi la seconda carta dipenderà sempre dalla prima

ESEMPIO:

la cosa più difficile degli es di statistica è ricavare le formule dal testo. in questo caso chiede che vuole che entrambe le carte siano asso (quindi intersezione)

E non che una sia asso e l'altra no (se no sarebbe unione).

A) Queste due probabilità sono uguali (sempre 4 assi) solo perché gli eventi sono indipendenti. (Dopo aver estratto la prima volta, rimette le carte nel mazzo, quindi situazione iniziale).

B) Nel secondo caso, dopo aver estratto la prima carta, non la rimette più nel mazzo quindi la seconda estrazione dipenderà dalla prima (infatti gli assi passano da 4 a 3).

PRESTARE ATTENZIONE A COSA C'È SCRITTO NEL TESTO, IN QUANTO I RISULTATI SONO DIVERSI A SECONDA DI COSA APPLICHI!!

ALCUNI TEOREMI IMPORTANTI sono riportati 3 teoremi particolarmente utili per l'ottenimento di alcuni risultati.

1. Formula generale per la probabilità della intersezione di tanti eventi
2. Formula per il calcolo della probabilità di un "effetto" date delle "cause"
3. Formula di Bayes

1) TEOREMA DELLA PROBABILITÀ COMPOSTA O TOTALE dati K eventi Ai dello spazio campionario vale

effetto date alcune cause.

STATISTICA 1C LEZIONE DEL 19 NOVEMBRE 2020

3) TEOREMA DI BAYES

data una partizione (A, già verificata) dello spazio campionario si desidera calcolare la probabilità che un certo effetto B sia stato generato da una particolare causa A

vogliamo calcolare la probabilità che una certa causa abbia generato un effetto, quando l'effetto si è già manifestato.

NB: generalmente si desidera calcolare la probabilità che, verificandosi una data causa Ai, essa generi un certo effetto B (nel teorema di Bayes c'è uno scambio tra cause ed effetto).

a posteriori = dopo che si è verificato

9.3) VARIABILE CASUALE O MODELLO PROBABILISTICO

una variabile casuale (v.c) X è una funzione che associa ad ogni evento elementare dello spazio campionario uno ed un solo numero reale.

1. per prima cosa si va a definire omega e tutti i vari eventi di omega

2. ad ogni evento elementare si associa un certo numero (dato da una

certa regola)3. ad ogni Xi (modalità della nostra variabile) assoceremo la variabile casuale come funzione numerica d'insieme: X: Ω → S : insieme dei valori numerici assunti da X (supporto delle v.c. X) X data una probabilità definita sugli eventi (sottoinsiemi di Ω) interessa indurre questa Ω S probabilità su sottoinsiemi di Ω X x ≤ x ≤ ad esempio: X = X a < X b 0 0 ∈ e Ω x S ∈ eventi elementari valori numerici (supporto della v.c. X) → i i X eventi generici Ai insiemi numerici di possibil