Statistica 1

Statistica 1 (B/C) lezione del 12 novembre 2020

Da oggi inizieremo un nuovo argomento, quello della probabilità (che non fa parte della seconda prova in itinere).

Cenni di calcolo delle probabilità – Variabili casuali

Definizioni ed eventi

In statistica descrittiva si hanno serie e seriazioni dei dati osservati. Nella teoria della probabilità si vogliono ricavare modelli teorici per l'universo/popolazione dai quali vengono generati i nostri dati. La statistica descrittiva studia le mutabili/variabili statistiche che sono caratterizzate da frequenze casuali, mentre la teoria della probabilità studia le mutabili/variabili che sono caratterizzate da probabilità.

Come definire la probabilità? In generale, per parlare di probabilità si deve pensare ad un esperimento aleatorio, cioè ad un esperimento i cui risultati sono “casuali”.

• Approccio deterministico: è quello per cui l’esperimento ammette un unico risultato certo.
• Approccio probabilistico: l’esperimento ammette almeno due risultati e vi è incertezza su quale si realizzerà (aleatorio = dati casuali), ad esempio il lancio di un dado.

Si parla di probabilità quando siamo in un approccio probabilistico. Per descrivere le manifestazioni di un esperimento parleremo di eventi (tutti i possibili risultati di un esperimento).

Probabilità: è la misura del presentarsi di un evento. Obiettivo: costruire modelli teorici che permettano di calcolare la probabilità di tutti gli eventi sperimentabili.

Gli eventi

Possono essere tranquillamente considerati come gli insiemi in matematica; distinguiamo tre tipologie diverse di eventi:

• Eventi elementari: risultati (manifestazioni) possibili del fenomeno aleatorio, e₁, e₂, ..., e_i, A₁, A₂, ..., A_i.
• Eventi generici: insiemi o famiglie di eventi elementari, Ω.
• Classi o famiglie di eventi S(Ω): insiemi di insiemi (eventi) ottenuti con operazioni algebriche su altri eventi.

Ω è lo spazio degli eventi elementari, insieme di tutti possibili eventi particolari eventi elementari dell’esperimento. ∅ è l'evento impossibile (es. il lancio del dado da come risultato 50 = è impossibile).

Evento certo: spazio degli eventi elementari (Ω), cioè spazio di tutti i possibili risultati.

Relazioni tra eventi

• Uguaglianza A = B: A e B contengono gli stessi elementi.
• Inclusione A ⊆ B: A è contenuto in B, cioè gli elementi di A sono anche di B (ma non necessariamente viceversa).
• Contenimento A ⊇ B: A contiene B, gli elementi di B sono anche elementi di A.
• Disgiunzione (mutua esclusione) A ∩ B = ∅: A e B non hanno elementi in comune.

Operazioni elementari

• Unione A ∪ B: A₁, A₂, ..., A_i i cui elementi appartengono ad A₁ oppure ad A₂.
• Intersezione A ∩ B: A₁, A₂, ..., A_i i cui elementi appartengono sia ad A₁ che ad A₂.
• Differenza A - B: A₁, A₂, ..., A_i i cui elementi appartengono ad A₁ ma non ad A₂.
• Complemento ς: Ω - A, sono tutti gli elementi di Ω che non appartengono ad A.

Funzione di probabilità

Una volta definiti gli oggetti del calcolo delle probabilità (eventi), bisogna definire la funzione di probabilità, funzione P che permette di calcolare la probabilità di un evento generico A ∈ S(Ω).

Abbiamo bisogno di 3 “ingredienti” per definire P(A):

1. Assiomi del calcolo delle probabilità.
2. Regole per assegnare la probabilità agli eventi elementari.
3. Regola per il calcolo della probabilità.

Assiomi del calcolo delle probabilità

Ω = spazio degli eventi elementari (finito). La funzione P(A) soddisfa i seguenti assiomi:

• Una probabilità di un qualsiasi evento A deve essere ≥ 0.
• La probabilità di Ω deve essere = 1.
• Il più importante: Assioma dell’additività della probabilità: ci dice che la probabilità dell’unione di tutti gli A_i è uguale alla sommatoria delle probabilità dei singoli eventi se, sono disgiunti.

Raccomandazione: non confondere i simboli delle operazioni che si possono fare sugli eventi, dai simboli delle operazioni che si fanno sui numeri.