Spiegazione esercizi esame scritto Controlli automatici

Sintesi con reazione dallo stato

Condizioni necessarie

- C sia una matrice identità. - D sia una matrice nulla. - Il sistema sia controllabile, cioè che R abbia rango massimo.

Calcolo della matrice di raggiungibilità

Trovo il polinomio caratteristico di A e vedo quali sono i miei α, α, α ecc, ovvero coefficienti del mio polinomio det( λI - A).

Esempio: p(λ)= λ³ + 2λ² - 6λ - 9

• α_n-1 = 2
• α_n-2 = -6
• α_n-3 = -9

Scrittura dei vettori combinatori

Scrivo i vettori combinazioni lineari delle colonne della matrice R:

• e_n = B
• e_n-1 = AB + α_n-1B
• e_n-2 = A²B + α_n-1AB + α_n-2B
• ... e così via.

Ogni elemento e forma un vettore colonna da calcolare.

Costruzione della matrice T

Ora costruisco con i vettori trovati, i quali costituiscono una base dello spazio di stato, la matrice T derivante dalla trasformazione di coordinate scelta (Z=TX):

T = [e₁ e₂ ... e_n]

Trovato il valore di T faccio l'inversa e trovo T^-1. Si ottengono:

• A* = TAT^-1
• B* = TB

Determinazione dei valori di β

Trovo ora i valori di β, grazie agli autovalori che voglio io e che mi vengono dati dal testo (ad esempio λ₁, λ₂, λ₃).

p_des(λ) = (λ+λ₁)(λ+λ₂)(λ+λ₃)

I coefficienti di questo polinomio sono i β cercati.

Introduzione della retroazione del sistema

A questo punto introduco la retroazione del sistema trasformato:

Trovo la matrice K = [β₀ - α₀ β₁ - α₁ ... β_n-1 - α_n-1], che misura lo scostamento tra il reale e il desiderato.

Definisco finalmente la matrice che ha come autovalori gli autovalori richiesti: A* - B*K.

Definizione finale della matrice K

K* = K * T

Sintesi con reazione dell'uscita

Condizione necessaria

Il sistema deve essere osservabile.

Criterio di Nyquist

Forma canonica di Bode

Scrivo F(s) in forma canonica di Bode, mettendo in evidenza il guadagno di Bode e gli zeri e i poli. Quindi scrivo la risposta armonica in F(jω).

Diagramma di Nyquist

Nelle ascisse del diagramma di Nyquist ho la parte reale di F(jω), Re [F(jω)].

Nelle ordinate ho la parte immaginaria di F(jω), Im [F(jω)].

A seconda della molteplicità del polo nell'origine varia il numero di semicerchi che devo fare per chiudere il diagramma: 1 polo, 1 mezzogiro; 2 poli, un giro completo.

Pulsazione di rottura = 1/|τ|

Valore di intersezione dell'asse reale

Per trovare il valore in cui il grafico interseca l'asse reale (per sapere se mi trovo prima o dopo il punto (-1, 0)) valuto il valore del modulo con fase a 180°. Se questo è negativo in dB, significa che il valore puro sarà inferiore a 1.

Pulsazione di cut off

Se viene chiesta la pulsazione di cut off (ω₀), la trovo verificando quando il modulo vale 0 dB, ovvero |F(jω)| = 1. Per trovarla faccio la circonferenza di raggio 1 e trovo per quale valore del grafico la mia linea interseca la circonferenza.

Regola per la stabilità

La regola per la stabilità è N = -P, in cui:

• N è il numero di giri fatti attorno al punto (-1, j0).
• Senso orario → giri presi con segno positivo.
• Senso antiorario → giri presi con segno negativo.
• P è il numero di poli a parte reale positiva di F.

Margine di guadagno e fase

Posso definire il margine di guadagno (m_g) e il margine di fase (m_φ):

• m_g = 1 - |F(jω)| ∠F(jω) = 180°
• m_φ = 180° - ∠F(jω)|_ω=ω0

Casi critici

Se ci sono poli di F(s) nell'origine o puramente immaginari, tali che non posso applicare il lemma del mapping, si va a definire un percorso uncinato che aggira il polo nel suo intorno.

Tale percorso infinitesimo si chiama chiusura: se il polo sta a sinistra della chiusura, questa va fatta in senso antiorario.

Calcolo della risposta a regime permanente con disturbi

Linearità rispetto alle sollecitazioni

Per la linearità rispetto alle sollecitazioni posso studiare separatamente il caso in cui è presente il solo ingresso e sono nulli i disturbi, e quello in cui è nullo l'ingresso e sono presenti i disturbi.