Spiegazione esercizi esame scritto Controlli automatici

K=K T

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Sintesi con reazione dell'uscita

Condizione necessaria: il sistema deve essere osservabile

Criterio di Nyquist

1) Scrivo F(s) in forma canonica di Bode, mettendo in evidenza il guadagno di Bode e gli

zeri e i poli. Quindi scrivo la risposta armonica in F(jw).

2) Nelle ascisse del diagramma di Nyquist ho la parte reale di F(jw), Re [F(jw)]

Nelle ordinate ho la parte immaginaria di F(jw), Im [F(jw)].

A seconda della molteplicità del polo nell'origine varia il numero di semicerchi che devo

fare per chiudere il diagramma: 1 polo, 1 mezzogiro, 2 poli un giro completo.

Pulsazione di rottura = 1/|τ|

1) Per trovare il valore in cui il grafico interseca l'asse reale (per sapere se mi trovo prima o

dopo il punto (-1, 0) valuto il valore del modulo con fase a 180°. Se questo è negativo in dB,

significa che il valore puro sarà inferiore a 1.

2) Se viene chiesta la pulsazione di cut off (w ), la trovo verificando quando il modulo vale

0

0 dB, ovvero |F(jw)| = 1. Per trovarla faccio la circonferenza di raggio 1 e trovo per quale

valore del grafico la mia linea interseca la circonferenza. Quello sarà il punto in cui il

modulo vale in unità assolute 1 (ovvero 0 dB)

3) La regola per la stabilità è N = - P , in cui

p

N è il numero di giri fatti attorno al punto (-1, j0).

Senso orario → giri presi con segno positivo

Senso antiorario → giri presi con segno negativo

P è il numero di poli a parte reale positiva di F.

p

4) Posso definire il margine di guadagno (m ) e il margine di fase(m ):

φ

g

m = 1 - |F(jw)| =180°

∠F(jw)

g ∠F(jw)|

m = 180° -

φ w= w0

CASI CRITICI

Se ci sono poli di F(s) nell'origine o puramente immaginari, tali che non posso applicare il

lemma del mapping, si va a definire un percorso uncinato che aggira il polo nel suo intorno.

Tale percorso infinitesimo si chiama chiusura: se il polo sta a sinistra della chiusura, questa

va fatta in senso antiorario

Calcolo della risposta a regime permanente con disturbi

1) Per la linearità rispetto le sollecitazioni posso studiare separatamente il caso in cui è

presente il solo ingresso e sono nulli i disturbi e quello in cui è nullo l'ingresso e sono

presenti i disturbi.

Per prima cosa, se necessario, separo l'ingresso in ingresso elementari, così da ritornare al

h

polinomio nella forma t /h! Tratto perciò ogni caso separatamente.

A sua volta scrivo ogni ingresso come ingresso canonico moltiplicato per il suo coefficiente,

evidenziando l'ordine h dell'ingresso polinomiale.

2) Devo trovare il tipo del sistema: utilizzo la funzione di trasferimento ingresso-uscita

W(S) facendo finta che i vari disturbi siano nulli.

W(S) = F(S)/[1 + K F(S)] , in cui F(S) è il prodotto dei vari blocchi lungo la catena diretta.

d

Per vedere il tipo di sistema è sufficiente osservare la molteplicità del polo nell'origine della

funzione W(S), ovvero della funzione F(S).

3) Ora sfrutto la tabella che mi dà la relazione tra ordine dell'ingresso e tipo del sistema.

Noto che se i due valori coincidono, allora avrò un errore costante e diverso da zero da

calcolare. Se il tipo del sistema è maggiore dell'ordine dell'ingresso, allora l'errore è nullo e

la risposta permanente coincide con l'ingresso. Altrimenti l'errore è ∞.

Se ordine e tipo sono 0, allora l'errore vale:

Se ordine e tipo sono ≥ 1, l'errore vale:

in cui K è il guadagno del ramo di retroazione, K è il guadagno di Bode nel ramo della

d g

funzione di trasferimento in catena diretta. ẽ – ỹ(t)

4) Trovato l'errore si calcola la risposta a regime permanente: (t) = y (t)

u des

Tuttavia nel nostro caso y = K u(t) in quanto trattiamo sistemi proporzionali.

des d

ỹ(t) – ẽ

Perciò = K u(t) (t)

d u ẽ

Fatto ciò trovo le risposte al variare degli ingressi, ricordando che al termine di (t), che

u

coincide con un numero, moltiplico il termine δ (t), ovvero l'eccitazione.

-1

5) Ora viene calcolato l'effetto dei disturbi, trattandoli come ingressi.

Se l'errore in corrispondenza al disturbo è nullo, allora viene chiamato astatico.

Se l'errore in corrispondenza al disturbo non è nullo, allora viene chiamato statico.

Se il disturbo entra nel ramo di retroazione → non c'è mai astatismo

Se il disturbo agisce in catena diretta → c'è astatismo se le funzioni di trasferimento che

stanno a monte dell'inserzione del disturbo hanno almeno un polo in S=0

Se il disturbo è in uscita → verifico i poli nell'origine delle funzioni di trasferimento a

monte.

Se verifico la presenza dell'astatismo, allora la risposta al regime permanente al disturbo è

nulla, così come l'errore. Altrimenti guarda i casi sul quaderno.

Nel caso abbia disturbi di tipo sinusoidali, devo agire in questa maniera:

ỹ (t) = M(w)[sin(wt)+φ]

il disturbo in ingresso è costituito da una forma Asin(wt): quindi d

Devo quindi calcolare modulo e fase F(jw)=1/(1+G G G ..).

1 2 3

Trovata questa uscita la sommo alle altre trovando l'uscita a regime permanente totale.

Sintesi del controllore in ω

1) L'obiettivo è quello di dare una forma al controllore G(s) dato il processo P(s), tale per

cui il sistema a ciclo chiuso soddisfi specifiche univoche e lasche.

Si inizia con la lettura dei dati forniti: se viene espresso e , significa che il rumore costante è

1

presente quando l'ingresso è di ordine 1 e il sistema è di tipo 1. Di conseguenza si trae che,

al fine di avere un sistema di tipo 1, devo avere un polo nell'origine in G(s)∙P(s)

r

Inizio a dare forma alla mia G(s), fatta in questo modo: G(s) = (K /S ) R(s)

G

dove K è il guadagno del controllore G(s) (che ancora non conosco, perciò da lasciare

G r

incognito solitamente), S sono i poli da aggiungere, con r la molteplicità degli stessi e R(s)

è la funzione compensatrice che risolve i problemi quando il controllore di primo tentativo

(ovvero Ĝ(s) r

= K /S ) non mi permette di soddisfare le specifiche lasche (sulla risposta

G

transitoria).

2) Definizione del controllore di primo tentativo: Si definisce il controllore di primo

tentativo, che risponde alla domanda legata alle specifiche univoche. Nel caso in cui mi

viene dato e e ho già un polo nella funzione di trasferimento ad anello aperto (ovvero

1

G(s)∙P(s)), allora il controllore di primo tentativo Ĝ(s) avrà il valore di un guadagno puro

K .

G

Conosco già le formule per calcolare gli errori (da calcolo della risposta a regime

permanente con disturbi); ovviamente il risultato sarà in funzione del guadagno del

controllore di primo tentativo.

Per il calcolo di e , quando è richiesto, si vede se il sistema è statico o meno. Se presente, si

d

studia come è stato riportato sugli appunti (risposta a disturbi additivi).

Trovati i due risultati in funzione di K si trova quale valore del guadagno soddisfa la

G

specifica (maggiore o uguale), scegliendo tuttavia il valore minimo.

Quando viene fornito un limite alla risposta a regime permanente al disturbo sinusoidale, si

introduce la cosiddetta maschera. Si agisce in questa maniera: | ≤ x

si trova il valore della risposta a regime permanente, ovvero dato |ỹ conosco che |ỹ | =

d d

(jω)| = |1/(1+F(jω)|, che con F(jω)>>1 coincide con |1/F(jω)|.

|W d

Perciò |F(jω)| ≥ 1/x, ovvero F(jω) ≥ 20log (1/x). Ma dovrà esserlo in ω ≤ z

10

Se la maschera viene intersecata, dovrò progettare una rete anticipatrice che consentirà di

non attraversarla.

3) Soddisfacimento specifiche lasche: Ora si verifica se le specifiche lasche sono

soddisfatte: è necessario lavorare con la pulsazione di attraversamento ω e il margine di fase

t

m , che sono parametri a ciclo aperto, mentre spesso viene fornito dal testo modulo alla

φ

risonanza M e banda passante B ovvero parametri a ciclo chiuso. Se vengono forniti M e

r 3 r

utilizzo le relazioni per trovare ω

B e m .

φ

3 t

ω (rad/s) = (3÷5) B (Hz)

t 3

Se invece viene fornita la sovraelongazione ŝ e il tempo di salita t , utilizzo le seguenti

s

relazioni:

1+ŝ ≈ 0,85 M ≈ 3

B t

r 3 s

Per ricavare infine il margine di fase devo utilizzare la carta di Nichols: trovato il modulo

≤ 2 dB, prendo la curva a 2

costante al valore minimo di dB richiesto (se per esempio M r

dB), si va a vedere la sua intersezione con l'asse a 0 dB (l'asse orizzontale) per poi leggere il

valore della relativa fase. Si troverà un numero negativo, a cui si aggiunge 180°; il valore

che se ne ricava è il margine di fase m minimo da rispettare.

φ

Valori conosciuti:

≤ 2 dB ↔ m ≥ 47°

M φ

r ≤ 2 Hz ↔ ω

B = 8 rad/s

3 t

≤ 2,5 Hz ↔ ω

B = 10 rad/s

3 t

≤ 7,5 Hz ↔ ω

B = 30 rad/s

3 t

4) Sintesi di funzioni compensatrici elementari: Per vedere se la sintesi è già completa

(evento più unico che raro) si vede se le specifiche sono soddisfatte utilizzando il

della nostra F^(jω) = Ĝ(s) ∙ P(s). Per prima cosa esamino i

diagramma di Bode (pag.124)

diagrammi di Bode della funzione F^(jω) al fine di individuare i valori di ω e m .

φ

t

Confrontando questi ultimi con i valori di ω e m corrispondenti alle prestazioni desiderate

φ

t

si trovano con i grafici le funzioni necessarie.

Per prima cosa si sceglie la rete anticipatrice: è fatta in modo tale da avere il polo dopo lo

zero. Da Bode trovo:

il valore della fase quando il modulo vale 0 (m )

φ

il valore del modulo quando la fase vale -180°

e τ

Devo determinare i valori di m : per determinare m prendo i diagrammi universali e

a a a

vedo il valore minimo che mi aumenta il grafico della fase desiderata;

per quanto riguarda la scelta di τ , questa è vincolata al punto in cui dobbiamo aumentare la

a

fase: noi dobbiamo aumentarla nella pulsazione di attraversamento ω . Ho perciò il valore

t

ω , vedo qual è la ωτ in cui prendo il grafico (corrispondente alla linea verticale) e da cui

t

ricavo il mio τ .

a

Ora dovrei graficare il diagramma di Bode della funzione vecchia per la nuova R(s). Si

ricavano però alcune conclusioni. La pulsazione di attraversamento ω avrà:

t<