Spazi Vettoriali

Spazi vettoriali

Per campo si intende un insieme nel quale possiamo effettuare le somme algebriche e il prodotto. Il campo K gode delle seguenti proprietà:

Somma

• Associativa: (x+y)+z = x+(y+z)
• Commutativa: x+y = y+x
• Esistenza dell’elemento neutro "0": x+0 = 0+x = x
• Esistenza dell’opposto: x+(-x) = 0

Prodotto

• Associativa: (x•y)•z = x•(y•z)
• Commutativa: x•y = y•x
• Esistenza elemento neutro "1": x•1 = x
• Esistenza del reciproco: x•¹/_x = 1
• Distributiva: x•(y+z) = (x•y)+(x•z)

Non si può parlare di campo per i numeri interi perché non verificano alcune proprietà: lo stesso anche per i numeri naturali.

Uno spazio vettoriale su un campo K è un insieme V in cui sono definite:

• Operazione interna di somma
• Operazione di prodotto che associa ad ogni coppia di vettore e scalare, un unico elemento di V

Uno spazio vettoriale per essere tale deve rispettare le seguenti proprietà:

Somma

• Associativa: (u+v)+w = u+(v+w)
• Esistenza del vettore nullo O (neutro)
• Esistenza dell’opposto: V+(-V) = 0
• Commutativa: u+v = v+u

Prodotto

• α, b ∈ K x ∈ V: (α•b)•x = α•(b•x)
• Esistenza elemento neutro "1"
• (Scalare¹+SC₂)•V = (SC₁•V)+(SC₂•V)
• Scalare•(V¹+V²) = (SC•V₁)+(SC•V₂)

Spazi vettoriali

Per campo si intende un insieme nel quale possiamo effettuare le somme algebriche e il prodotto. Il campo K gode delle seguenti proprietà:

Somma

• Associativa: (x+y)+z = x+(y+z)
• Commutativa: x+y = y+x
• Esistenza dell’elemento neutro “0”: x+0 = 0+x = x
• Esistenza dell’opposto: x+(-x) = 0

Prodotto

• Associativa: (x∙y)∙z = x∙(y∙z)
• Commutativa: x∙y = y∙x
• Esistenza elemento neutro “1”: x∙1 = x
• Esistenza del reciproco: x∙(1/x) = 1
• Distributiva: x∙(y+z) = (x∙y)+(x∙z)

Non si può parlare di campo per i numeri interi perché non verificano alcune proprietà. Lo stesso anche per i numeri naturali.

Uno spazio vettoriale su un campo K è un insieme V in cui sono definite:

• Operazione interna di somma
• Operazione di prodotto che associa ad ogni coppia di vettore e scalare, un unico elemento di V

Uno spazio vettoriale per essere tale deve rispettare le seguenti proprietà:

Somma

• Associativa: (u+v)+w = u+(v+w)
• Esistenza del vettore nullo O (neutro)
• Esistenza dell’opposto: v+(-v) = 0
• Commutativa: u+v = v+u

Prodotto

• a, b ∈ K x ∈ V: (a∙b)∙x = a∙(b∙x)
• Esistenza elemento neutro “1”
• (Scalar₁ + sc₂)∙v = (sc₁∙v) + (sc₂∙v)
• Scalar_c∙(v₁ + v₂) = (sc_c∙v₁) + (sc_c∙v₂)

Combinazione lineare

Sia V uno spazio vettoriale su un campo K e siano λ₁, λ₂,... λm elementi di K. Si dice combinazione lineare di m vettori v₁, v₂, ..., vm una somma del tipo:

λ₁v₁ + λ₂v₂ + ... + λmvm

Il risultato è ancora un vettore.

Def. Dato un sistema di vettori {v₁, v₂, ..., vm} si dice linearmente dipendente se esiste una combinazione lineare che dà come risultato il vettore nullo con almeno uno scalare ≠0.

Def. Dato un insieme di vettori {v₁, v₂, ..., vm} si dice linearmente indipendente se l'unica combinazione lineare che dà come risultato il vettore nullo è quella con λ₁, λ₂, ..., λm nulli, ovvero: λ₁v₁ + λ₂v₂ + ... + λmvm = 0 ⟷ λ₁ = λ₂ = ... = λm = 0.

Esempio

ℝ² v₁ = (1, 2) v₂ = (4, 1)

λ₁ v₁ + λ₂ v₂ + ... + λm vm

λ₁ (v₁) + λ₂ (v₂) = 0 ⟶ λ₁ (1, 2) + λ₂ (4, 1) = (0, 0)

{ λ₁ + 4λ₂ = 0   2λ₁ + λ₂ = 0} ⟷ { λ₁ = -4λ₂   2(-4λ₂) + λ₂ = 0} ⟷ { λ₁ = -4λ₂   -8λ₂ + λ₂ = 0}

λ₁ = 0
λ₂ = 0

(v₁, v₂) linearmente indipendenti

• Due vettori sono dipendenti se e soltanto se l'uno è proporzionale all'altro.
• Se S contiene il vettore nullo è linearmente dip.
• Se S contiene due vettori uguali è lin. dip.

Sistema di generatori - Base

Si dice che i vettori v₁, v₂, ..., v_m sono un sistema di generatori di V se ogni vettore di V si può ottenere come combinazione lineare di v₁, v₂, ..., v_m, ovvero se V = L(v₁, v₂, v_m).

Si dice che i vettori v₁, v₂, ..., v_m sono una base di V se:

• Sono linearmente indipendenti
• Sono un sistema di generatori

In R²:

v₁ = (1,0) v₂ = (0,1)

• Sono indipendenti
• Sono generatori, infatti per ogni generico v = (a,b) vale la relazione v = a (1,0) + b (0,1)

Prodotto scalare

< v, w > = v ⋅ w = X₁ * X₂ + Y₁ * Y₂

Risultato è un numero reale.

Proprietà del prodotto scalare

• <x, y> = <y, x>
• <x, y + z> = <x, y> + <z, y>
• <α * x, y> = α <x, y> = <x, α y>

Il prodotto scalare è bilineare.

<x, x> = x₁² + x₂² + … + x_n²

<x, x> ≥ 0 ⟷ x = 0

Def. Si definisce lunghezza o modulo di un vettore x ε R^m: |X| = √<X, X>

* L'unico vettore di modulo 0 è il vettore nullo.

Def. Un vettore di R^m di modulo unitario si dice versore.

R³ u = (1, 1, -1)