Somma termini Progressione Geometrica, Analisi matematica I

Somma dei termini di una progressione geometrica

La somma dei primi n termini di una progressione geometrica di ragione q (e a=1) si può esprimere attraverso la seguente sommatoria:

Dimostrazione

Prima di tutto si moltiplicano entrambi i membri dell'equazione per il termine (1-q), ottenendo così la seguente uguaglianza:

Da questo momento in avanti analizzeremo solamente il primo termine dell'equazione. Osserviamo subito che il valore (1-q) rappresenta una costante perché equivale alla differenza tra due costanti numeriche. Per la prima proprietà formale delle sommatorie possiamo portare questo termine all'interno dell'operazione di sommatoria.

Eseguiamo l'operazione di moltiplicazione tra la costante e il termine della sommatoria.

Applichiamo all'operazione di sommatoria la terza proprietà formale, ottenendo così la differenza tra due sommatorie aventi stessi indici. In seguito si applica la prima proprietà delle potenze al termine della seconda sommatoria in modo tale da scrivere la seguente uguaglianza:

Per ragioni di comodità si applica la proprietà di traslazione degli indici alla seconda sommatoria ottenuta. In poche parole si vogliono rendere identici i termini che compaiono al secondo membro dell'equazione. Sarà quindi necessario determinare un valore numerico il cui opposto possa elidere il secondo addendo dell'esponente k+1. Risulta chiaro che tale valore equivale a +1. Si potrà quindi scrivere la seguente uguaglianza:

Consideriamo ora la prima operazione di sommatoria e proviamo a scomporla mediante la quarta proprietà formale. In altre parole dobbiamo assimilarla al modello di sommatoria contemplato dalla proprietà stessa.

Ricordiamo che la proprietà di scomposizione delle sommatorie (quarta proprietà formale) consiste nella seguente uguaglianza:

Nella 7 la lettera n che appare in entrambi i membri della relazione di equivalenza non corrisponde al medesimo valore numerico. Ciò può essere giustificato attraverso un semplice ragionamento. Il significato dell'equivalenza consiste nel fatto che la prima sommatoria corrisponde nella forma alla sommatoria "tipo" a cui si può applicare la proprietà di scomposizione. In altre parole l'indice n equivale nella forma all'indice n+m della seconda sommatoria. Ne consegue che per ottenere il risultato desiderato dovrò sommare un certo valore numerico n all'indice di partenza. Questo indice dovrà necessariamente essere nullo, altrimenti si otterrebbe un valore numerico espresso dalla somma n+m.