Smart Robotics

Industrial robotics

Venerdì 23 aprile 2021 16:00

Definitions

Un robot è caratterizzato da 3 parti:

• Control system: è il cervello del robot, dove vengono sviluppati e implementati gli algoritmi di controllo.
• Teach pendant: è l'interfaccia utente dove l'utente programma il robot stesso.
• Manipulator (mechanical structure): consiste di:
  • Base (fissa).
  • Braccio: muove i diversi collegamenti.
  • End-effector: dove è attaccato uno strumento per interagire con gli oggetti.
  • Polso: interconnette l'end-effector con il braccio.

Robot/manipulator

Un robot è un insieme di corpi rigidi o collegamenti, che sono connessi utilizzando diversi tipi di giunti. Gli attuatori (es. motori elettrici) forniscono forze o coppie ai giunti, che muovono i collegamenti del robot. Di solito, un end-effector è collegato all'ultimo collegamento del robot. Lo strumento utilizzato per interagire con l'ambiente è attaccato ad esso.

Robot configuration

La configurazione del robot è la specifica della posizione di tutti i punti del robot. Poiché i collegamenti del robot sono rigidi e di forma conosciuta, servono solo pochi numeri per rappresentarne la configurazione.

Workspace

Il workspace del robot è la porzione di ambiente che l'end-effector del manipolatore può accedere. Il workspace è la porzione di punti nello spazio che il manipolatore può raggiungere con l'end-effector. A seconda della struttura meccanica del manipolatore e del tipo di giunti, possiamo avere forme e volumi differenti del workspace.

Common robot configurations

La configurazione dipende dal tipo di giunti e dal workspace.

Anthropomorphic robot

• 6 revolut joints.
• Rotazione dei giunti attorno ai loro assi.
• Il workspace è un semisfera (es. senza la parte a terra e dietro).

SCARA robot

• 3 giunti rotazionali e 1 giunto traslazionale.
• I giunti rotazionali fanno muovere il robot a sinistra e a destra, mentre il giunto traslazionale fa muovere il robot lungo l'asse traslazionale.
• Il workspace è diverso dal precedente.

Parallel SCARA robot

• Diversi giunti e workspace rispetto al precedente.

Cartesian robot

• Solo giunti traslazionali.

Parallel robot (Delta)

• Applicazioni di pick and place.
• Alta velocità.

La scelta del robot dipende dal tipo di applicazione di cui abbiamo bisogno.

The most common structures

Le strutture più comuni sono quelle cartesiane e antropomorfiche:

Cartesian structure

• Puo gestire carichi pesanti e oggetti pesanti.
• Alta precisione nel posizionamento.
• Bassa agilità/destrezza e grandi dimensioni.

Anthropomorphic structure

• Non molto robusta meccanicamente.
• Non può gestire carichi pesanti.
• Dimensioni limitate e alta destrezza (es. può raggiungere punti lontani dalla base).

Generic model of a robotic arm

Un braccio robotico è una catena cinematica aperta, in cui c'è solo una sequenza di collegamenti che connette i due estremi della catena (una catena cinematica chiusa è quando i due estremi sono connessi e formano un ciclo). Alla fine abbiamo sempre l'end-effector. Ogni collegamento è connesso agli altri collegamenti attraverso un giunto, che consente un movimento relativo dei due collegamenti, quindi un movimento del collegamento rispetto al precedente.

Joints

La mobilità del manipolatore è garantita dalla presenza di giunti tra due collegamenti consecutivi.

• Prismatic joint: consente al collegamento di muoversi rispetto al collegamento precedente traslando lungo un asse che passa attraverso il giunto chiamato.
• Revolute joint: consente al collegamento di muoversi rispetto al collegamento precedente ruotando attorno a un asse che passa attraverso il giunto chiamato.
• Spherical joint: combinazione di 3 giunti rotazionali.

Il tipo di giunto e la struttura meccanica del robot, definiscono il workspace che l'end-effector può raggiungere.

Es. cartesiano (TTT), RTT, RRT, antropomorfico (RRR):

Degrees of freedom of a robot

Il numero di gradi di libertà (DOF) di un robot è il numero minimo di coordinate reali necessarie per rappresentare la sua configurazione.

Joints and DOF

Il numero di DOF di un manipolatore rappresenta la dimensione dello spazio in cui l'end-effector può muoversi. Per orientare e posizionare un oggetto in uno spazio tridimensionale, abbiamo bisogno di 6 DOF:

• 3 per posizionare un punto sull'oggetto, quindi per posizionare l'end-effector nel workspace.
• 3 per orientare l'oggetto rispetto a un sistema di coordinate di riferimento.

I movimenti corrispondenti sono 3 traslazioni e 3 rotazioni.

• Un robot con 6 DOF può posizionare e orientare arbitrariamente il suo end-effector nel workspace.
• Un robot con meno di 6 DOF non può posizionare e orientare il suo end-effector in modo arbitrario perché alcuni movimenti non sono disponibili. Questi sono robot più semplici ed economici.
• Un robot con più di 6 DOF (manipolatore ridondante) può posizionare e orientare il suo end-effector nel workspace con infinite configurazioni diverse. Questi sono robot con più destrezza, ma sono più complessi e costosi. Questi robot sono utili quando ci sono ostacoli.

Joint space and operational space

Di solito, ogni giunto è attuato (per es. da un motore elettrico) e quindi è possibile controllare la posizione di ciascun giunto (es. controllando il motore). Ogni giunto è associato a una variabile, che rappresenta la posizione relativa del -esimo collegamento rispetto al collegamento precedente.

• Tutte le possibili configurazioni che un robot può assumere costituiscono lo spazio dei giunti.
• In generale, un robot ha giunti e lo spazio dei giunti si trova in .

Es. di robot con 1 e 3 giunti:

La parte che vogliamo controllare è l'end-effector, che interagisce con l'ambiente. L'end-effector si muove nel workspace, ma possiamo controllare solo gli attuatori che cambiano la configurazione del robot nello spazio dei giunti (non nel workspace). La posizione e l'orientamento dell'end-effector sono funzioni delle variabili dei giunti (generalmente non funzioni lineari), quindi c'è una connessione tra il workspace e lo spazio dei giunti attraverso:

Con il vettore definiamo la posizione e l'orientamento dell'end-effector, ed è definito nello spazio in cui è specificato il compito del manipolatore, che è chiamato spazio operativo. Lo spazio operativo e lo spazio dei giunti sono diversi.

Problema cinematico: determinare la posa (posizione e orientamento) dell'end-effector dalla configurazione dello spazio dei giunti allo spazio operativo e viceversa.

Motion of a rigid body

Lunedì 26 aprile 2021 19:05

Motion of a rigid body

Rigid body: sistema caratterizzato dal vincolo che la distanza tra due punti qualsiasi è sempre costante, indipendentemente dal moto del sistema e dalle forze esercitate su di esso.

Un manipolatore può essere rappresentato schematicamente, da un punto di vista meccanico, come una catena cinematica di corpi rigidi (collegamenti) connessi da giunti rotazionali o prismatici, che costituiscono i DOF della struttura. Il moto avviene nello spazio euclideo, rappresentato da .

Sfruttando l'ipotesi di rigidità, possiamo studiare il moto di un corpo rigido come il moto di un sistema di coordinate di riferimento attaccato al corpo stesso (es. 6 collegamenti 6 sistemi di coordinate).

Pose of a rigid body

L'obiettivo è caratterizzare la posizione e l'orientamento di un corpo rigido nello spazio. Ogni punto nello spazio ha 3 coordinate nel sistema di riferimento cartesiano. Per fare ciò, consideriamo un sistema di riferimento e un secondo sistema attaccato al corpo.

In , un corpo rigido ha 6 DOF: 3 per la posizione e 3 per l'orientamento. Quindi, un corpo rigido è completamente descritto nello spazio dalla sua posizione e orientamento (posa) rispetto a un sistema di riferimento.

Position

La posizione di un punto sul corpo rigido rispetto al sistema di coordinate è espressa da:

Dove denotano i componenti del vettore lungo gli assi del sistema.

Orientation

Per l'orientamento del corpo rigido, dobbiamo considerare un sistema ortonormale attaccato al corpo ed esprimere i suoi vettori unitari rispetto al sistema di riferimento.

Siano il sistema ortonormale con origine in, e siano i vettori unitari degli assi del sistema. Questi vettori possono essere espressi rispetto al sistema di riferimento dalle equazioni:

Dove i componenti di ciascun vettore unitario sono i coseni direttori degli assi del sistema rispetto al sistema di riferimento .

Rotation matrix

Adottando una notazione compatta, i tre vettori unitari (che descrivono l'orientazione del corpo nel sistema attaccato rispetto al sistema di riferimento) possono essere combinati in una matrice, chiamata rotation matrix:

Properties

1. I vettori colonna di sono mutuamente ortogonali poiché rappresentano i vettori unitari di un sistema ortonormale. Per esempio:
2. Inoltre, hanno una norma unitaria:
3. Di conseguenza, è una matrice ortogonale, il che significa che:
4. Moltiplicando entrambi i lati per la matrice inversa :
5. Se il sistema è destrorso, se il sistema è sinistrorso.

Elementary rotations

Sono ottenute dalla rotazione del sistema di riferimento attorno a uno degli assi di coordinate. Queste rotazioni sono positive se effettuate in senso antiorario attorno all'asse relativo:

Sistema di riferimento ruotato di un angolo attorno all'asse.

I vettori unitari del nuovo sistema possono essere descritti in termini dei loro componenti rispetto al sistema di riferimento:

Rotation matrix of frame wrt the frame

Sistema di riferimento ruotato di un angolo attorno all'asse:

Sistema di riferimento ruotato di un angolo attorno all'asse:

Sistema di riferimento ruotato di un angolo attorno all'asse:

Representation of a vector

Un punto nello spazio può essere rappresentato sia nel sistema di riferimento che nel sistema attaccato:

• Vettore che rappresenta le coordinate di rispetto al sistema .
• Vettore che rappresenta le coordinate di rispetto al sistema .

Poiché e rappresentano lo stesso punto nello spazio, possiamo raggruppare i vettori unitari all'interno della matrice di rotazione in ordine di colonna:

La matrice di rotazione rappresenta la matrice di trasformazione che trasforma le coordinate del vettore nel sistema nelle stesse coordinate del vettore nel sistema .

Rotation of a vector

La matrice di rotazione può anche essere interpretata come l'operatore della matrice che consente di ruotare un vettore di un dato angolo attorno a un asse arbitrario nello spazio.

Sia un vettore nel sistema di riferimento . Poiché la matrice è ortogonale, il prodotto restituisce un vettore con la stessa norma di , ma ruotato rispetto a secondo i valori della matrice .

Recap

In sintesi, una matrice di rotazione ottiene 3 significati geometrici equivalenti:

1. Descrive l'orientazione reciproca tra due sistemi di coordinate. I suoi vettori colonna sono i coseni direttori degli assi del sistema ruotato rispetto al sistema originale.
2. Rappresenta la trasformazione delle coordinate tra le coordinate di un punto espresso in due sistemi diversi (con origine comune).
3. È l'operatore che consente la rotazione di un vettore nello stesso sistema di coordinate.

Composition of rotation matrices

Per ottenere più di una rotazione elementare simultaneamente, è necessaria una composizione di matrici di rotazione. La composizione di matrici di rotazione si effettua semplicemente moltiplicando le matrici.

Sistema corrente: il sistema in cui avviene la rotazione.

• La composizione di rotazioni successive rispetto al sistema corrente si ottiene con la post-moltiplicazione delle matrici di rotazione seguendo l'ordine delle rotazioni dato.

Sistema fisso: sistema iniziale.

• La composizione di rotazioni successive rispetto a un sistema fisso si ottiene con la pre-moltiplicazione delle matrici di rotazione seguendo l'ordine delle rotazioni dato.

Esempi:

Orientation representation

Le matrici di rotazione ci forniscono una descrizione ridondante dell'orientazione del sistema. Infatti, poiché le matrici di rotazione sono , sono caratterizzate da 9 elementi che non sono indipendenti, ma legati da 6 vincoli dovuti alle condizioni di ortogonalità (proprietà 1-2).

Questo implica che 3 parametri indipendenti sono sufficienti per descrivere l'orientazione di un corpo rigido nello spazio, e questa rappresentazione costituisce una rappresentazione minima dell'orientazione.

Euler angles - Minimal representations

Una rappresentazione minima dell'orientazione di un corpo rigido sono gli angoli di Eulero, che è un insieme di tre angoli:

Gli angoli di Eulero più usati sono gli angoli ZYZ e gli angoli RPY (ZYX).

ZYZ Angles

La rotazione descritta dagli angoli ZYZ è ottenuta come una composizione delle seguenti rotazioni elementari:

• Ruota il sistema di riferimento di un angolo attorno all'asse.
• Ruota il sistema corrente di un angolo attorno all'asse.
• Ruota il sistema corrente di un angolo attorno all'asse.

L'orientazione risultante del sistema si ottiene semplicemente moltiplicando le 3 matrici di rotazione eseguite rispetto al sistema corrente (post-moltiplicazione):

Dove è il e è il .

2-Argument arctangent ( )

È un caso particolare della funzione arctangent, che restituisce un angolo in radianti nel piano euclideo, tra l'asse positivo e il raggio fino al punto:

• Non usiamo l'arctangent a singolo argomento poiché non può distinguere tra direzioni diametralmente opposte.
• La funzione calcola un unico valore di arctangent dati e variabili. Il segno di queste variabili è utilizzato per determinare il quadrante del risultato..
• Restituisce un angolo nell'intervallo- Contrariamente, poiché , restituisce un angolo nell'intervallo .
• È più precisa delle funzioni e .
• Restituisce risultati nel quadrante corretto in base al segno dei due argomenti.
• Può gestire il caso in cui uno degli argomenti è .

ZYZ Angles - Inverse problem with proof:

Partendo da una matrice di rotazione nota, il problema inverso consiste nel determinare l'insieme di angoli di Eulero corrispondenti alla data matrice di rotazione . Per farlo, abbiamo bisogno della funzione.

Consideriamo la terza colonna di per fare il calcolo:

Se vogliamo conoscere il valore di , dobbiamo calcolare il di e . Abbiamo già il . Per ottenere , possiamo fare il quadrato delle prime due equazioni e poi sommarle insieme:

Secondo il segno di , possiamo avere 2 soluzioni diverse. Questo significa che assegnata una matrice di rotazione, possiamo avere due triplette diverse di angoli che descrivono la stessa orientazione.

1. Poiché abbiamo già , dobbiamo calcolare e , trovando e e calcolando il . Per farlo, sfruttiamo le equazioni corrispondenti alla terza colonna e alla terza riga: Ora possiamo calcolare i 3 angoli, tenendo conto di una proprietà del , in cui otteniamo lo stesso risultato se scalamo i due argomenti dalla stessa quantità (ma senza cambiare i segni).
2. È la stessa procedura, ma dobbiamo considerare che è negativo, quindi dobbiamo cambiare il segno quando facciamo la funzione.
3. Singolarità, perché abbiamo al denominatore.

Abbiamo due possibili casi, in cui dobbiamo sostituire i valori nella matrice di rotazione .

1. Se questa matrice corrisponde esattamente a una matrice di rotazione elementare attorno all'asse di un angolo: . Poiché gli angoli sono combinati, possiamo solo calcolare il valore di : Se è arbirtary Sommando:
2. Se

RPY (ZYX) Angles

Gli angoli Roll-Pitch-Yaw sono un insieme di angoli di Eulero derivati dalla rappresentazione dell'orientamento nel campo aeronautico. La rotazione descritta dagli angoli RPY è ottenuta come una composizione delle seguenti rotazioni elementari:

• Ruota il sistema di riferimento di un angolo attorno all'asse Yaw-
• Ruota il sistema di riferimento di un angolo attorno all'asse Pitch-
• Ruota il sistema di riferimento di un angolo attorno all'asse Roll-

L'orientazione risultante del sistema si ottiene semplicemente moltiplicando le 3 matrici di rotazione eseguite rispetto al sistema fisso al centro di gravità del velivolo: Notate che, poiché la rotazione è eseguita rispetto al sistema fisso, dobbiamo moltiplicare le matrici da destra a sinistra (pre-moltiplicazione).

RPY (ZYX) Angles - Inverse problem with proof:

Partendo da una matrice di rotazione nota, il problema inverso consiste nel determinare l'insieme di angoli di Eulero corrispondenti alla data matrice di rotazione . I calcoli sono gli stessi degli angoli precedenti, considerando la terza riga.

3. Singolarità, c'è al denominatore.

Non-Minimal representations

Angle and Axis

Una rappresentazione non minima dell'orientazione può essere ottenuta considerando quattro parametri, che esprimono la rotazione di un dato angolo (1 parametro) attorno a un asse (3 parametri) nello spazio.

• è il vettore unitario di un asse di rotazione rispetto al sistema di riferimento .
• è la matrice di rotazione che esprime la rotazione di un angolo attorno all'asse .

Una soluzione possibile è prima ruotare degli angoli necessari per allinearla con l'asse , quindi ruotare di attorno all'asse e infine ruotare degli angoli necessari per allineare il vettore unitario con la direzione iniziale.

In dettaglio, la sequenza di rotazioni eseguite rispetto al sistema fisso è la seguente:

• Allineare con : rotazione di attorno e rotazione di attorno .
• Rotazione di attorno .
• Riallineare con la direzione iniziale di : rotazione di attorno e rotazione di attorno .

La composizione delle matrici di rotazione viene eseguita da destra a sinistra (pre-moltiplicazione) perché stiamo ruotando rispetto al sistema fisso:

Vogliamo scrivere la matrice finale complessiva senza dipendenze da e . Pertanto, dai componenti del vettore unitario è possibile estrarre le funzioni trascendentali necessarie per calcolare la matrice di rotazione, dipendendo solo dall'angolo e dai componenti del vettore unitario.

Proof

La rappresentazione Angolo e Asse non è unica, perché una rotazione di attorno non può essere distinti da una rotazione di attorno :

Angle and Axis - Inverse problem with proof:

Partendo da una matrice di rotazione nota, il problema inverso consiste nel determinare l'angolo e l'asse corrispondenti alla data matrice di rotazione .

1. Per calcolare il parametro , consideriamo la diagonale di e sommiamo gli elementi: Poiché è un vettore unitario,
2. Per calcolare gli altri 3 parametri :