Sistemi lineari

SISTEMI LINEARI IN R

Equazioni lineari in un'incognita

(1)... a x = b

• x: incognita
• a: coefficiente
• b: termine noto
• a, b ∈ R

Definizione:

Una soluzione dell'eq. (1) è un numero reale x₀ tale che sostituito nell'equazione x verifica l'uguaglianza data.

ES:

1. 3x=11 ammette la soluzione x=11/3 (determinata)
2. 5x=0 x=0
3. 0x=0 infinite soluzioni (indeterminata)
4. 0x=5 non ammette soluzioni (impossibile)

Cas:

1. Se a≠0 allora l'eq. (1) ammette una sola soluzione x₀=b/a;
2. Se a=0, b≠0, allora l'eq. (1) diviene 0⋅x=b, non ammette soluzioni;
3. Se a=0 e b=0, l'eq. (1) diviene 0⋅x=0, ammette infinite soluzioni.

SISTEMI LINEARI IN R

Equazioni lineari in un'incognita

(1)... a x = b

• x: incognita
• a: coefficiente
• b: termine noto
• a, b ∈ ℝ

Definizione:

Una soluzione dell'eq. (1) è un numero reale x₀ tale che sostituito nell'equazione 1° verifichi l'uguaglianza data.

ES:

1. 3x = 11 ammette la soluzione x = 11/3 (determinata);
2. 5x = 0 // // // // x = 0 // ;
3. 0x = 0 // ///// infinite soluzioni (indeterminata);
4. 0x = 5 non ammette soluzioni (impossibile)

Cas:

1. Se a ≠ 0 allora l'eq. (1) ammette una sola soluzione x₀ = _b/_a;
2. Se a = 0, b ≠ 0, allora l'eq.(1) diviene 0·x = b, non ammette soluzioni;
3. Se a = 0 e b = 0, l'eq.(1) diviene 0·x = 0, ammette infinite soluzioni.

Equazioni lineari in due incognite

(2)...

x, y: incognitea, b, c, d: coefficientie, f: termini noti

Definizione:

Una soluzione del sistema (2) è una coppia ordinata di numeri (^xo, ^yo) che sostituiti nelle equazioni le rendono vere.

ES:

Una soluzione è (⁴_-2) perché:3(4) - (-2) = 5(1) + 2(-2) = -3

Metodi di risoluzione:

1. Metodo di sostituzione;
2. Metodo del confronto;
3. Metodo di addizione e sottrazione;
4. Metodo di riduzione a scalini (Gauss-Jordan);
5. Metodo di Cramer.

Metodo di addizione e sottrazione

• ax + by = e
• cx + dy = f

Supponiamo che a ≠ 0, c ≠ 0

(1ma equ.) × c : acx + bcy = ce

(2da equ.) × a : acx + ady = af

ady - bcy = af - ce;

(ad - bc)y = af - ce.

Supponiamo che b ≠ 0, d ≠ 0

(1ma equ.) × d : adx + bdy = de

(2da equ.) × b : bcx + bdy = bf

adx - bcx = de - bf;

(ad - bc)x = de - bf.

Si ha il sistema equivalente:

• (ad - bc)x = de - bf
• (ad - bc)y = af - ce

Cas:

1. Se ad - bc ≠ 0, allora il sistema ammette una sola soluzione x₀ = ^{de - bf}⁄_{ad - bc}, y₀ = ^{af - ce}⁄_{ad - bc}
2. Se ad - bc = 0 e de - bf ≠ 0 o af - ce ≠ 0, allora il sistema non ammette soluzioni;
3. Se ad - bc = 0 e de - bf = 0 o af - ce = 0, allora il sistema ammette infinite soluzioni;

Metodo di Cramer

Definizione

Data la tabella^a_b^c_dsi definisce il suo determinante il numerodet^a_b^c_d= ad-bc

ES:

det⁵_-2³₁=5 + 6 =11

Dato il sistema:

^{ax + by = e}_{cx + dy = f}

1. Se det^a_b^c_d≠0, allora il sistema ammette una sola soluzione:
   1. X_o=det^e_c^f_d/det^a_b^c_d
   2. Y_o=det^a_e^c_f/det^a_b^c_d
2. Se det^a_b^c_d=0 e det^e_b^f_d≠0 oppure det^a_e^c_f≠0, allora il sistema non ammette soluzioni.
3. Se det^a_b^c_d=0 e det^e_b^f_d=0 oppure det^a_e^c_f=0, allora il sistema ammette infinite soluzioni.

ES:

Risolvere i seguenti sistemi:

1. ^{1/2x - 1/3y = 56x + 4y = -1}

2. ^{3x - 9y = 5-x + 3y = -2}

3. ^{x - 3y = -2-2x + 6y = 4}

29/09/2015

Soluzione :

1)

Poiché det   _1  1    è   2 - (-2) = 4 ≠ 0, il sistema ammette             ^{1 2  1 2            2 6  6 4}una sola soluzione :

    x₀ = det   ^{-4 -1},     y₀ = det   ^{4 6}              _{1 4        5 -1}

     x₀ = -  ¹   =       -    ,      y₀ = -  ¹       =        ,             ₄    20 - 4/3         ₄        -6/8

    x₀ = 5/12       y₀=-6/8

2) Essendo det   ^{3 -3}   =   9 - 9 = 0, det   ^{5 -9}            _{-1 3            x 3}allora il sistema non ammette soluzioni;

3) Poiche det   ^{1 -3}       = 6 - 6 = 0, det   ^{-2 -3} = -12 + 12 = 0,

            _{-2 +6             4 +6}

det   ^{-2 -2} = 4 - 4 = 0, allora il sistema ammette             _{1 4}infinite soluzioni.Quali sono le infinite soluzioni?Si noti che (-2) x (1_ma eq.) = 2_de eq.

Il sistema equivale alle sola eq :

    +x - 3y = -2

Posto ad esempio x = t, t ϵℝ ⇒ t - 3y = -2;

    y =   ^t      +   ,    pertanto le infinite soluzioni sono :

        ₃   2/3 ₃      

(     ^{( x )}       (   ^{( 2/3-t )}    ), t ϵℝ                   ^{( y )         ( + 2/3 )}   

Invece, posto y = s, s ϵℝ,   =>   x - 3s = -2

    x = -2 + 3s,   pertanto le infinite soluzioni sono :

(     (   ^x       (    ₎ -2 + 3s )        ^{( y )}    (    s ), s ϵℝ

Le soluzioni  (   (   sup (        x )  ,       x = 4/2, )    (            r   )

per t = 2         s

4) ( 2x - Ky = 1 ( x + 3y = 2 , K parametro reale.

det ( 2 -K ( 1 3 ) = 6 + K

Per K ≠ -6, il sistema ammette una sola soluzione

x_o = ^{det ( 1 -K ( 2 3 )} / _{6 + K} ;

y_o = ^{det ( 2 1 ( 1 2 )} / _{6 + K} ;

x_o = ^{3 + 2K} / _{6 + K} ;

y_o = ³ / _{6 + K}

Per K = -6 : ( 2x + 6y = 1 ( x + 3y = 2

det ( 2 6 ( 1 3 ) = -3 ≠ 0

Pertanto il sistema non ammette soluzione.

Conclusione: Per ogni K ≠ -6 il sistema ammette una sola soluzione,

mentre per K = -6 il sistema non ammette soluzione.

Ad esempio, se K = -1, la soluzione è

( ⁵ / ₃ ³ / ₅ )

se K = 3, la soluzione è

( ¹ / ₃ ¹ / ₃ )

5)

3x - y = 52x - y = 4x + y = -1

6)

2x - y = 43x - y = 55x + y = 1

Non sono sistemi quadratici (n incognite e n equazioni), ma sono sistemi rettangolari quindi non si può applicare per tutto il sistema il Metodo di Cramer.

Consideriamo il sottosistema:

3x - y = 52x - y = 4

Essendo det (3 -1)(2 -1)

= -3 + 2 = -1 ≠ 0, il sistema ammette una sola soluzione:

X₀ = det (5 -1)(2 -1)/ -1 ; Y₀ = det(3 5)(2 4)/ -1 ;

X₀ = -1 / -1 ; Y₀ = -2 / -1 ;

X₀ = 1 ; Y₀ = 2

Questa soluzione verifica o no la 3a eq: 5(1) + (-2) = -1Pertanto, il sistema ammette la sola soluzione (1 -2)

6) Si considera lo stesso sottosistema dell’esercizio 5.La soluzione del sottosistema (1 -2) non soddisfa la3a eq. del sistema (6): 5(1) + (-2) ≠ 1.Pertanto il sistema (6) non ammette soluzioni.

REGOLA GENERALE

Sistemi lineari con m equazioni in m incognite

(1)

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + ... + a_1mx_m = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ + ... + a_2mx_m = b₂

...

a_m1x₁ + a_m2x₂ + a_m3x₃ + ... + a_mmx_m = b_m

dove a_ij = coefficiente dell'incognita x_j nell'i-ma, b_i = termine noto dell'i-ma equazione

Definizione:

Una soluzione del sistema (1) è un m-upla di valori reali che sostituiti alle incognite soddisfano le equazioni del sistema.

Definizione:

Un sistema si dice compatibile se ammette almeno una soluzione, altrimenti si dice incompatibile.

Cas particolare:

(2)

...

a_m1x₁ + ... + a_mmx_m = 0

Si chieme sistema omogeneo associato al sistema (1) non omogeneo, è sempre compatibile, perché ammette la soluzione nulla:

(0)