Sistemi elettronici programmabili - Trasformata di Laplace

Trasformata di Laplace

Analisi della risposta di un sistema

Si pone il problema di determinare l’andamento temporale delle uscite (variabili di interesse, tensioni o correnti in varie parti del circuito) in seguito all'applicazione di definiti ingressi e condizioni iniziali. La complessità del problema dipende molto dalla presenza di componenti reattivi: condensatori e induttori; lo studio è molto più semplice se la rete è puramente resistiva.

Cosa si intende per componente reattivo

Per componente reattivo si intende un componente in grado di immagazzinare energia e cederla successivamente. Nell'ambito elettrico i componenti reattivi sono il condensatore, componente in grado di accumulare carica elettrica in funzione della tensione ai suoi capi, e l’induttore, in grado di accumulare flusso del campo magnetico in funzione della corrente che lo attraversa.

Definire il modello matematico nel dominio del tempo del condensatore in termini di tensione e corrente

Considerando variazioni temporali finite, per un condensatore lineare, la variazione di carica accumulata, Δq, è direttamente proporzionale alla variazione di tensione ai capi del componente, Δv: Δq = C * Δv e la costante di proporzionalità si chiama capacità e si misura in Farad. Ad esempio, all'aumentare della carica accumulata, la tensione aumenta proporzionalmente; se la carica non varia, la tensione rimane costante.

Dalla definizione di corrente si ha: i = Δq / Δt e quindi Δq = i * Δt. Sostituendo nella prima relazione si ha i * Δt = C * Δv, i = C * Δv / Δt. Questa relazione indica che:

• Se nel tempo si ha variazione di tensione, allora circola corrente.
• Se invece la tensione è costante (anche di valore elevato), allora la corrente è nulla (comportamento in CC da c.a.).

Il componente accumula energia di tipo elettrico E = 1/2 C V² in funzione della tensione. In termini di potenza P = ΔE / Δt, si osserva che se Δt = 0 deve risultare anche ΔE = 0, altrimenti si avrebbe potenza infinita ΔE / 0 = ∞. Questo significa che l'energia accumulata non può subire brusche variazioni (variazioni in tempo nullo) e lo stesso vale per la tensione associata all'energia: il componente reagisce, è reattivo, nei confronti dell'energia in arrivo (diversamente dal resistore) accumulando carica elettrica e generando una tensione che si oppone all'energia in arrivo.

Es. Confronto tra resistore e condensatore

Si consideri un resistore e un condensatore in parallelo, con R, C e Δt unitari per semplicità. Supponiamo di conoscere la tensione V ai capi del parallelo in vari istanti di tempo e calcoliamo la corrente sui due componenti:

Risulta I = V / R quindi, come sappiamo dalla legge di Ohm, in qualunque istante, I è proporzionale alla tensione: se la tensione vale migliaia di volt la corrente vale migliaia di ampere (R unitaria...). Invece I_C dipende dalla differenza tra le tensioni di due istanti successivi, e quindi se la tensione è costante la corrente è zero: anche se la tensione vale migliaia di volt ma è costante, la corrente sul C vale 0! (se il condensatore non si carica né scarica significa che la corrente è nulla e la tensione è costante)

Definire il modello matematico nel dominio del tempo dell'induttore in termini di tensione e corrente

Si conduce uno studio duale sostituendo V a I e viceversa, ed L a C, il flusso Φ (Φ vettore induzione magnetica, flusso attraverso le spire dell'induttore) alla carica q. Si ottiene:

v = L * Δi / Δt

Questa relazione indica che:

• Se nel tempo si ha variazione di corrente, allora ai capi del componente si genera una tensione (di segno tale da opporsi alla variazione di corrente... Lenz's law).