Sistemi elettronici programmabili - Trasformata di Laplace

C

quindi se la tensione è costante la corrente è zero: anche se la tensione vale

migliaia di volt ma è costante, la corrente sul C vale 0! ( se il condensatore non

si carica ne scarica significa che la corrente è nulla e la tensione è costante)

4. Definire il modello matematico nel dominio del tempo dell'induttore

in termini di tensione e corrente.

Si conduce uno studio duale sostituendo V a I e viceversa, ed L a C, il flusso Φ

( Φ vettore induzione magnetica, flusso attraverso le spire dell'induttore) alla

carica q.

Si ottiene

v =L*Δi/ Δt

Questa relazione indica che:

• se nel tempo si ha variazione di corrente, allora ai capi del componente si

genera una tensione (di segno tale da opporsi alla variazione di

corrente...Lenz: se la corrente tende ad aumentare, la tensione è positiva

opponendosi all'aumento)

• se invece la corrente è costante (anche di valore elevato) allora la tensione è

nulla (comportamento in CC da c.c.) 2

Il componente accumula energia di tipo magnetico E=1/2LI in funzione della

corrente.

In questo caso è la corrente che non può subire brusche variazioni.

5. Rete lineare tempo invariante

Una rete è lineare se è composta da componenti lineari (R, C, L e non

 diodi, transistori,...) e generatori indipendenti. Un componente è lineare

se il suo modello matematico graficamente è una retta passante per

l'origine: ad es. v=R*i, q=C*v, Φ=L*i.

Una rete è tempo invariante se i suoi parametri non cambiano nel tempo.



Ci occuperemo solo di tali tipi di sistemi detti LTI

6. Tipologia delle equazioni che descrivono una rete circuitale nel

dominio del tempo in presenza di componenti reattivi.

A causa del particolare legame temporale tra corrente e tensione, le equazioni

che descrivono una rete circuitale con condensatori e induttori non sono di tipo

algebrico perchè contengono derivate o integrali.

Nel dominio del tempo la risoluzione si può effettuare in due modalità:

• con le variazioni finite, tramite calcoli iterativi

• con le variazioni infinitesime tramite un 'nuovo' operatore, la derivata,

ottenendo equazioni dette differenziali.

In altre parole non è possibile ricavare il legame tra l'andamento temporale del

segnale di ingresso e quello di uscita soltanto con operazioni algebriche (+,-,

*, /)

7. Definizione di Trasformata di Laplace (TdL)

La TdL associa ad una funzione nel dominio del tempo una corrispondente

funzione nel dominio della variabile complessa s, e viceversa, secondo leggi

ben precise. In questa sede, non è necessario conoscere tali leggi (che

utilizzano il calcolo integrale), dato che si utilizzano delle tabelle

sufficientemente complete per le nostre esigenze.

8. Tipologia delle equazioni che descrivono una rete circuitale nel

dominio di s in presenza di componenti

reattivi.

Nel dominio di s per i componenti R, C, L si hanno i seguenti modelli

matematici :

per la resistenza R: V(s)=R*I(s)

 per il condensatore: V(s)=1/sC*I(s)

 per l'induttore: V(s)=sL*I(s)



La conseguenza è che le equazioni che descrivono una rete circuitale nel

domino di s è di tipo algebrico e non differenziale, anche in presenza di

componenti reattivi.

In altre parole il legame tra l'andamento nel dominio di s del segnale di

ingresso e quello di uscita dipende solo da operazioni algebriche.

Da questo si deduce la notevole semplificazione dovuta alla TdL.

9. Procedimento di calcolo di un segnale di uscita con il metodo della

TdL.

Si suppone che i componenti reattivi siano inizialmente scarichi.

Si seguono i seguenti passi:

• si trasforma il circuito nel dominio di s:

• a vi(t), tramite tabella, si sostituisce Vi(s);

• la resistenza R si lascia inalterata

• al condensatore si sostituisce 1/sC

• all'induttore si sostituisce sL

• si ricava l’uscita Vo(s) (o una qualunque altra variabile ad es. una

corrente) con le leggi dell'Elettrotecnica in continua

• si antitrasforma Vo(s) per ottenere, tramite tabella, vo(t)

Il metodo ha validità generale ed è indipendente dalla complessità della rete e

del segnale di ingresso purchè si riesca a trasformare vi(t) e

antitrasformare Vo(s).

10. Segnali elementari nel dominio di t e di s: impulso ideale, gradino

unitario, rampa unitaria, esponenziale.

t s

δ(t)

impulso ideale 1

gradino unitario u(t) 1/s polo nullo

2

rampa unitaria r(t) 1/s polo nullo di molteplicità 2 (doppio)

-at

esponenziale e 1/(s+a) polo reale

-t/τ τ/(1+sτ)

esponenziale polo reale

e -t/τ

1-e

combinazione di polo nullo e polo reale

1/s(1+sτ)

segnali

Per la definizione dei segnali e la loro rappresentazione grafica si rimanda al

testo.

Esercizi. Antitrasformare le seguenti funzioni:

10/s

 1/2s

 3/5s

 10/(s+2)

 1/(2s+1)

 1/(2s+3)

 5/s(3+4s)



11. Proprietà della linearità per la TdL.

Si conosce:

f(t) e la corrispondente F(s), g(t) e la corrispondente G(s).

combinazione lineare tra due funzioni si intende

Per

l'espressione: k1*f(t)+k2*g(t), con k1, k2 costanti reali.

Si vuole ricavare la TdL di una combinazione lineare tra le due funzioni.

Risulta:

L[k1*f(t)+k2*g(t)] = k1*F(s)+k2*G(s)

Questa proprietà è importante perchè, se in tabella non si dispone della TdL di

una funzione y(t), è possibile eseguire la TdL se si riesce a esprimere la

funzione y(t) in termini di combinazione lineare di funzioni più semplici presenti

in tabella (metodo dei residui o Heaviside o scomposizione in fratti semplici).

12. Funzione di trasferimento (FdT).

E' il rapporto tra la TdL dell'uscita e la TdL dell'ingresso. In termini di tensione

F(s)=Vo(s)/Vi(s).

La funzione di trasferimento è una funzione algebrica razionale fratta, ed è il

rapporto tra due polinomi in s.

La FdT è indipendente dall' ingresso (per la linearità del sistema);

 dipende solo dai parametri del sistema: R, L, C...

La FdT determina il sistema; è il modello matematico che descrive il

 sistema; dalla FdT si può dedurre il comportamento del sistema in ogni

possibile condizione di funzionamento.

La conoscenza della FdT permette di ricavare la risposta a qualunque

 ingresso: Vo(s)= F(s)*Vi(s)

13. FdT come risposta all'impulso.

Se al sistema si applica un impulso ideale risulta Vi(s)=1.

Quindi Vo(s)= F(s)*Vi(s)= F(s)*1= F(s)

Allora la FdT rappresenta la risposta all'impulso nel dominio di s, e la sua

antitrasformata rappresenta la risposta all'impulso nel dominio di t.

14. Poli e zeri

Le radici di un polinomio sono i valori che lo annullano.

Il loro numero coincide con il grado del polinomio; infatti nel campo dei

numeri complessi le radici si possono ricavare anche con il discriminante

negativo: in questo caso risultano complesse e coniugate.

Gli zeri sono le radici del polinomio al numeratore.

I poli sono le radici del polinomio al denominatore.

Poli e zeri hanno una molteplicità, data dall'esponente: possono essere

semplici, doppi, ecc. 2

Ad es. F(s)=1/(s+2) presenta un polo reale e negativo, p=-2, di molteplicità

doppia.

Poli e zeri possono essere anche nulli; ad es. F(s) = s/((s+1-j)*(s+1+j))

presenta uno zero nullo ed due poli complessi e coniugati p=-1±j.

Vedremo che i poli sono molto importanti in quanto caratterizzano

drasticamente la risposta temporale.

La FdT può essere espressa univocamente almeno in due modi:

con i coefficienti dei polinomi a numeratore e denominatore

 in base a poli, zeri e fattore numerico moltiplicativo (amplificazione).

 Infatti un polinomio si può esprimere in forma fattorizzata (prodotto di

fattori) in base alle sue radici.

15. Legame tra poli, componenti reattivi e ordine di un sistema.

Il numero dei poli coincide ( tranne condizioni particolari ) con il numero di

componenti reattivi indipendenti (non semplificabili tramite serie e parallelo). Il

numero dei poli è anche il grado del corrispondente polinomio a denominatore

che prende il nome di ordine del sistema.

16. Sistemi di ordine zero. FdT e legame tra forma dei segnali di in e

out.

I sistemi di ordine zero sono quei sistemi che non hanno componenti reattivi e

sono formati solo da resistenze;

per l’assenza dei fenomeni accumulo di energia e quindi di ritardo temporale, il

segnale di uscita ha la stessa forma del segnale di ingresso.

La FDT non dipende dalla variabile s: Vo(s)=K*Vi(s); il coefficiente k è detto

coefficiente di attenuazione (<1) se la rete è passiva o di amplificazione (>1)

se è attiva cioè se contiene amplificatori. Quindi il segnale di ingresso e il

segnale di uscita hanno lo stesso andamento temporale ma ampiezza diversa

in funzione di K.

17. Significato dei poli reali nella antitrasformata.

Ad ogni polo reale corrisponde una costante di tempo -1/p e, nel dominio

τ =

del tempo, un corrispondente esponenziale:

se il polo è negativo l'esponenziale decresce,

 se il polo è positivo l'esponenziale cresce con problemi di instabilità ( un

 segnale crescente nel tempo pone seri problemi ...).

Nei casi più semplici l'antitrasformata è somma di tanti esponenziali quanti

sono i poli.

18. Antitrasformata del polo nullo al variare della sua molteplicità

Ad un polo nullo semplice (1/s) corrisponde un gradino, ad un polo nullo di

2

molteplicità 2 (1/s ) corrisponde una

rampa, ...

19. Metodo dei residui, altrimenti detto di Heaviside o sviluppo in

somma di frazioni parziali, e sua utilità.

Consideriamo una F(s)=N(s)/D(s) con il grado del denominatore <= a quello

del numeratore.

Per semplicità abbiamo usato il metodo in assenza di poli multipli.

Si procede nel seguente modo:

• si ricavano i poli

• si esprime il denominatore come prodotto di termini elementari, uno per ogni

polo: D(s)=(s-p1)*(s-p2)*...

• si esprime F(s) come somma di termini elementari, uno per ogni

polo: F(s) = R1/(s-p1) + R2/(s-p2) + ... (a)

• si calcolano i residui, coefficienti moltiplicativi di ogni addendo della FdT;

risulta Ri = F(s)*(s-pi)|

s=-pi

• E' anche possibile calcolare i residui impostando un sistema ottenuto:

sviluppando la relazione (a) con il mcm

 uguagliando i coefficienti del polinomio a numeratore con i

 corrispondenti coefficienti di N(s).

Il metodo è utile perchè:

la fdt di un sistema comunque complesso può essere trasformata in

 somma di frazioni del primo e secondo ordine (nel campo com