Sistemi di equazioni lineare - Appunti e esercizi

Soluzione del sistema di equazioni

T T1  A = A * = A * = 2 1 0 det A − 3 1 1

Pertanto la soluzione del sistema è data da:− − − ⋅ + ⋅ − ⋅         x 2 1 1 1 x 2 1 1 2 1 1         ⇒− − ⋅ + ⋅ + ⋅         y = 2 1 0 2 y = 2 1 1 2 0 1         − ⋅ − ⋅ + ⋅         z 3 1 1 1 z 3 1 1 2 1 1

Quindi: −   x 1      y = 0      z 2( ) ( )−1

Dunque la soluzione del sistema dato è x , y , z = , 0 , 2 .

Osservazione: si noti che il sistema era già stato risolto con il metodo di Cramer in ESEMPIO 1,α e che la soluzione ora trovata con il metodo della matrice inversa è ovviamente la medesima di quella ottenuta precedentemente.

β) ×Risolvere il seguente sistema 3 3

lineare non omogeneo con il metodo della matrice inversa:

$$\begin{cases} 2x + 3y + 4z = 53 \\ 3x + 5y + 4z = 2 \\ 4x + 7y + 2z = 31 \end{cases}$$

Poiché $$\det A = 10 \neq 0$$ esiste $$A^{-1}$$. Risulta:

$$A^{-1} = \begin{pmatrix} 18 & 10 & 1 \\ 34 & 20 & 2 \\ 32 & 20 & 1 \end{pmatrix}$$

da cui:

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} 9 \\ 17 \\ 16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 17 \\ 16 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 17 \\ 16 \end{pmatrix} - 5 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$$

Pertanto si ottiene:

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 17 \\ 16 \end{pmatrix} - 5 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$$

_{   }− ⋅ − ⋅ + ⋅z 31 z 53 2 31_{   }10 5 10 10 5 10cioè:  477 34 496+ −      x x 3     5 5 5 − + ⇒     y = 57 62 y = 5      53 2 31   − +    z z 8 10 5 10 ( ) ( )Dunque la soluzione del nostro sistema è x , y , z = 3, 5, 8 .Si risolva, per esercizio, il sistema utilizzando la regola di Cramer e si verifichi che la soluzione ottenuta ènaturalmente identica a quella precedentemente trovata.3. RISOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI QUALSIASISia dato un sistema di m equazioni lineari in n incognite (i = 1, 2, ..., n e j = 1, 2, ..., m):(2) AX = NIl nostro problema è ora di trattare il caso generale cioè il caso in cui non è possibile applicare il teorema≠di Cramer. In particolare, dunque, i casi con m n ovvero m = n e det A = 0.Per i sistemi rettangolari oquadrati non di Cramer. Esiste un teorema di carattere molto generale dovuto al francese Rouché e all'italiano Capelli che ci fornisce una condizione di esistenza e non esistenza delle soluzioni. Da notare che il teorema, pur molto interessante, non ci insegna come calcolare la soluzione. Pertanto, per tale scopo, occorrerà battere altre vie. 1. Rouché Eugène, matematico francese (Sommières, Gard, 1832 - Lunel, Hérault, 1910). Professore di geometria descrittiva al conservatorio d'arti e mestieri di Parigi, si occupò degli sviluppi in serie di funzioni, di problemi isoperimetrici e principalmente della teoria delle equazioni algebriche. Capelli Alfredo, matematico italiano (Milano, 1855 - Napoli, 1910). Insegnò analisi algebrica all'Università di Palermo (1881) e dal 1886 a Napoli. Socio dell'Accademia dei Lincei dal 1901, fu insigne analista; i suoi studi più notevoli riguardano la teoria delle equazioni algebriche.

forme e delle equazioni algebriche, nell'ambito della quale egli pervenne a risultati notevoli. Autore di un trattato di algebra ai suoi tempi famoso, nel 1894 succedette a G. Battaglini nella direzione del famoso "Giornale di Matematiche", detto anche "di Battaglini".

Enunciamo il seguente Teorema (di Rouchè-Capelli): condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema AX = N ammetta delle soluzioni è che la matrice incompleta e la matrice completa del sistema abbiano la medesima caratteristica (o, equivalentemente, lo stesso rango), cioè r(A) = r(B).

Omettiamo la complessa dimostrazione.

Osservazione: il teorema di Rouchè-Capelli nel caso dei sistemi di Cramer è banalmente verificato essendo: r(A) = n per essere det(A) ≠ 0 e r(B) = r(AN) = n avendo AN solo n righe. È ancora banalmente verificato nel caso dei sistemi omogenei poiché, essendo N = 0, risulta ovviamente: r(AN) = r(A0) = 0.

Dunque se la condizione del teorema è soddisfatta e se:

r = n

A = r

A

Occorre procedere secondo i seguenti due casi, in modo da associare al sistema dato un nuovo sistema, detto sistema ridotto, che può essere risolto utilizzando le formule di Cramer:

I° CASO: r = n (soluzione unica)

II° CASO: r < n (infinite soluzioni dipendenti da n-r parametri)

Esaminiamo, anche con esempi, entrambi i casi.

I° r = n: la soluzione del sistema è unica

In questo caso si costruisce un sistema ridotto formato da r equazioni i cui coefficienti forniscono un minore di A di ordine r non nullo. Le soluzioni del sistema ridotto, in funzione del teorema di Rouché-Capelli soddisfano anche le equazioni scartate.

ESEMPIO ×

Risolvere il seguente sistema lineare 3x2 non omogeneo:

-x + 2y = 1

2x + y = 5

2x + 4y = 2

Si ha:

-

1	2	1	2	1
-	-	-	-	-

−   A = e B =2 1 2 1 5   − − −   2 4 2 4 2

Poiché il minore M ottenuto considerando le prime due righe di A è tale che det M =−1 2 ( )= − ≠ si ha r A = 2. Invece l’unico minore di ordine tre estraibile da B è B stessa e= 3 0− 2 1 −1 2 1 ( ) ( )≠−risulta det B = . Osserviamo, quindi, che r B 3. Dunque si ha r B = 2 (è2 1 5 = 0− −2 4 2 ( )sufficiente, infatti, considerare lo stesso minore del secondo ordine già estratto da A). Essendo r A =( )r B = r = n = 2, fissiamo l’attenzione sul sistema ottenuto scartando la terza equazione. Tale sistema è ilsistema ridotto associato al minore M utilizzato prima. Il sistema ridotto:

− x 2 y = 1

− + 2 x y = 5

come è facile verificare, sfruttando le formule di Cramer o il classico metodo per sostituzione, ha come 11 7( ) − − unica soluzione x ,

y = . Tale soluzione è soluzione del sistema anche in accordo al fatto,
₃che le equazioni scartate sono combinazioni lineari di quelle del sistema ridotto. Nel nostro caso si ha:
( ) ( ) ( )− + + − − − + + −2 x 4 y 2 = 2 x 2 y 1 0 2 x y 5cioè la prima equazione è addirittura proporzionale alla terza. −< ∞ n rII° r n: il sistema ha soluzioni
In tal caso il sistema ridotto è un sistema di r equazioni in r incognite con il determinante della matrice dei coefficienti diverso da zero, che si ottiene come segue:
• si individua un minore di ordine r di B diverso da zero;
• le r righe e le r colonne di B, con cui si forma il minore del punto precedente, individuano rispettivamente r equazioni ed r incognite del sistema originario; 126
• delle m equazioni originarie si conservano solo le r individuate nel punto precedente e si trascurano le altre. Nelle r equazioni prese in considerazione si

lasciano al primo membro tutti i termini relativi alle r−incognite individuate nel punto precedente e si portano al secondo membro le restanti n r incognite;

nel sistema delle r equazioni rimaste si assegnano valori arbitrari alle n r incognite portate al secondo membro. Si ottiene, così, un sistema di r equazioni in r incognite equivalente al sistema originario ed avente,per come è stato ottenuto, il determinante della matrice dei coefficienti diverso da zero. Tale sistema,pertanto, ha una ed una sola soluzione ottenibile con le formule di Cramer. Tale soluzione dipende, però,−come è ovvio e come deve essere, dagli n r valori arbitrari assegnati alle incognite al secondo membro.∞ −n r

Concludendo, il sistema ha soluzioni.

ESEMPI ×

1) Risolvere il seguente sistema lineare 2 3 non omogeneo:

− + x y 3z = 2 ≠ < con m n e r (A) = r (B) = r n− + − − 2 x 3 y 6 z = 4

Le due matrici

(incompleta e completa) associate al sistema sono rispettivamente:

− −     1 1 3 1 1 3 2 2     A = e B = = A− − − − − −     2 3 6 2 3 6 4 4

Notiamo che, se M è il minore ottenuto considerando le prime due colonne di A, si ha det M =−1 1 ≠ . Segue allora:

= = 1 0− 2 3

( )r A = 2 perché A contiene M ed ha due righe

( )r B = 2 perché B contiene A, e quindi M, ed ha due righe

( ) ( ) − −∞ ∞ ∞n r 3 2 1

Dunque r A = r B = r = 2. Quindi il sistema ha soluzioni. Il sistema ridotto

= =associato è il seguente: − − x y = 2 3 t − + − + 2 x 3 y = 4 6 t∞

1ove si è posto z = t. Segue che le soluzioni del sistema sono:

−x = 2 3t , y = 0 e naturalmente z = t

Ovviamente è bene che il lettore si convinca che queste funzioni di t,