Sistemi di equazioni lineare - Appunti e esercizi

CAPITOLO III

SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI

1. GENERALITÀ

Siano numeri reali (o complessi o elementi di un qualsiasi campo) noti.

a , ..., a , ..., a , b

1 i n

Definizione 1.1.

Un’equazione della forma: + + +

(1) a x ... a x + ... a x = b

1 1 i i n n

dicesi di primo grado, o brevemente lineare. I numeri si dicono rispettivamente

a , ..., a , ..., a

1 i n

coefficienti dell’equazione, le si dicono incognite mentre b è detto termine noto.

x , ..., x , ..., x

1 i n

Definizione 1.2.

Se b = 0, l’equazione lineare si dice omogenea; in caso contrario si dice non omogenea.

Definizione 1.3.

Un sistema lineare di m equazioni in n incognite è un insieme di m equazioni lineari nelle medesime n

incognite, scritto nella forma: + + + +

 a x ... a x ... a x = b

11 1 1

i i 1

n n 1

 ... ... ... ...

 + + + +



(2) a x ... a x ... a x = b

i 1 1 ii i in n i

 ... ... ... ...



 + + + +

 a x ... a x ... a x = b

m 1 1 mi i mn n m

dove a è il coefficiente dell’incognita x nell’equazione i-esima. Un sistema lineare può essere scritto, in

ij j

modo compatto, nella forma: AX = N

dove A è una matrice, X ed N sono colonne date da:

( )

( ) ( )

; ; per i = 1, 2, ..., n e j = 1, 2, ..., m

A = a N = b

X = x j

ij i 118

Osservazione: i termini noti della colonna N hanno un solo indice, cioè quello che indica l’equazione cui

essi appartengono.

Definizione 1.4. ( )

Una soluzione dell’equazione (1) è una n-upla ordinata che sostituita alla n-upla

a , ..., a , ..., a

1 i n

la verifica.

x , ..., x , ..., x

1 i n ( )

Una soluzione del sistema (2) è una n-upla che sostituita alla n-upla

a , ..., a , ..., a x , ..., x , ..., x

1 i n 1 i n

verifica tutte le equazioni del sistema.

Quando un sistema ammette una o più soluzioni si dice possibile; in caso contrario si dice impossibile. Due

sistemi aventi le medesime soluzioni si dicono equivalenti.

Se un sistema è possibile ma ha infinite soluzioni si dice indeterminato altrimenti determinato.

Proveremo, ma lo si vuole subito evidenziare, che un sistema determinato ha sempre una ed una sola

soluzione.

Vale, a tal proposito, il seguente schema: determinato (una sola soluzione)

possibili

SISTEMI LINEARI indeterminato (infinite soluzioni)

impossibili (nessuna soluzione)

Proviamo ora il seguente

Teorema: se un sistema AX = N ha due soluzioni distinte, allora ne ha infinite.

Dimostrazione: ≠

Siano Y e Z due soluzioni del sistema con Y Z. Si avrà allora:

AY = N ed AZ = N

Costruiamo la n-upla W data da: λ + µ λ µ ∈ ℜ

per

W = Y Z ,

λ + µ =

con . Si ha:

1

( ) ( ) ( )

λ + µ λ + µ λ + µ λ + µ

A W = A Y Z = AY AZ = N N = N = N λ

Dunque W è soluzione. Poiché, inoltre, W è composto da infinite n-uple (al variare, ad esempio, di e

µ λ

con ) il teorema è provato.

= 1− 119

Il problema della risoluzione di un qualunque sistema lineare consiste, dunque, nel trovare delle condizioni a

cui devono soddisfare i coefficienti ed i termini noti per sapere in quale situazione il sistema si collochi e poi,

nel caso in cui tali soluzioni esistano, di impadronirsi di metodi per determinarle tutte.

2. RISOLUZIONE DEI SISTEMI QUADRATI DI EQUAZIONI LINEARI

Sia dato un sistema di n equazioni lineari in n incognite (i = j = 1, 2, ..., n):

(1) AX = N

Definizione 2.1.

Si chiama matrice incompleta o dei coefficienti, associata al sistema (1), la matrice A rappresentata solo

a

dai coefficienti relativi alle incognite , cioè:

x , . .. , x , ... , x

ij 1 i n

( )

A = per i = j = 1, 2, ..., n

a ij

Definizione 2.2.

Si chiama matrice completa, associata al sistema (1), la matrice B ottenuta da A aggiungendo ad essa la

colonna N dei termini noti, cioè:  

a ... a . .. a b

11 1

i 1 n 1

 

 

.. . ... ... . .. . .. .. .

 

B := [AN] := a ... a . .. a b

 

i

1 ii in i

 

.. . ... ... . .. . .. .. .

 

 

a ... a . .. a b

n 1 ni nn n

Nel caso in questione (m = n) vale il seguente

Teorema (di Cramer): condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema (1) abbia una ed una sola

soluzione è che il determinante della matrice A dei coefficienti sia diverso da zero. Soddisfatta tale

condizione, l’unica soluzione del sistema è data da

∆ ∆ ∆ formule di Cramer

1 i n

x = , ..., x = , ..., x =

∆ ∆ ∆

1 i n

∆

∆

dove si è posto = det A e la quantità è il determinante della matrice ottenuta da A sostituendo la i-

i

esima colonna con la colonna dei termini noti, per i = 1, 2, ..., n. 120

Osservazione: il teorema di Cramer sopra enunciato è un teorema di esistenza ed unicità; ciò significa

che se il determinante della matrice dei coefficienti è uguale a zero allora il sistema o è indeterminato (cioè

ha infinite soluzioni) oppure è incompatibile (cioè non ha soluzioni).

Definizione 2.3.

Il sistema (1) si dice omogeneo se in esso è N = 0, cioè sono nulli tutti i termini noti.

≠

N.B. Si osservi che se il sistema è omogeneo con det A 0 allora, per il teorema di Cramer, l’unica

soluzione del sistema è la soluzione banale, cioè .

x = ... = x = ... = x = 0

1 i n

≠

Supposto m = n e det A 0, è noto che la matrice A ammette l’inversa (cfr. cap. II par. 4), cioè esiste

−1 −1

A . Moltiplicando, pertanto, a sinistra entrambi i membri dell’equazione AX = N per A si ottiene:

( )

( )

− − −

1 1 1

A N = A AX = A A X

da cui, per definizione di matrice inversa, si ha:

−1

A N = IX

cioè:

−1

A N = X

o equivalentemente, in forma non compatta:    

x b

1 1

   

   

... ...

   

−

1

x = A b

   

i i

   

... ...

   

   

x b

n n

Quindi, svolgendo il prodotto righe per colonne, si ottengono le soluzioni del sistema dato.

Tale procedimento di risolubilità, sostanzialmente equivalente all’uso delle formule di Cramer, di un

sistema lineare di n equazioni in n incognite è conosciuto con il nome di metodo della matrice inversa.

Esso è particolarmente usato negli elaboratori.

ESEMPIO 1

α) ×

Risolvere il seguente sistema lineare 3 3 non omogeneo:

+

 x z = 1

 + +

 2 x y 2 z = 2

 − +

 x y = 1

≠

In primo luogo occorre verificare se è det A 0. 121

Si ha:

 

1 0 1

  ⇒ ≠

 

A = det A = 1 0

2 1 2

 

−

 

1 1 0

Per il teorema di Cramer, quindi, l’unica soluzione del sistema è data da:

∆ ∆ ∆

 

( )  

1 2 3

x , y , z = , ,

 

1 1 1

dove: 1 0 1 1 1 1 1 0 1

∆ − ∆ ∆

; ;

= 2 1 2 = 1 = 2 2 2 = 0 = 2 1 2 = 2

1 2 3

− −

1 1 0 1 1 0 1 1 1

( ) ( )

−1

Dunque l’unica soluzione del sistema dato è x , y , z = , 0 , 2 .

β) ×

Risolvere il seguente sistema lineare 3 3 omogeneo:

− +

 x 3

y 2 z = 0

 +

 x z = 0

 − +

 2 x y 2 z = 0

−

1 3 2 − ≠

Poiché det A = , essendo il sistema omogeneo, l’unica soluzione è quella

1 0 1 = 1 0

−

2 1 2

banale, cioè (x, y, z) = (0, 0, 0).

ESEMPIO 2

α) ×

Risolvere il seguente sistema lineare 3 3 non omogeneo con il metodo della matrice inversa:

+

 x z = 1

 + +

 2 x y 2 z = 2

 − +

 x y = 1

−1

≠

Poiché det A = 1 0 esiste A . Occorre in primo luogo calcolare l’inversa di A; la matrice dei

complementi algebrici è:

− − − −

   

2 2 3 2 1 1

   

( )

⇒

− −

T

   

A * = 1 1 1 A * = 2 1 0

   

− −

   

1 0 1 3 1 1 122

da cui: − −

 

2 1 1

 

1 ( ) ( )

− −

T T

1  

A = A * = A * = 2 1 0

 

det A −

 

3 1 1

Pertanto la soluzione del sistema è data da:

− − − ⋅ + ⋅ − ⋅

         

x 2 1 1 1 x 2 1 1 2 1 1

         

⇒

− − ⋅ + ⋅ + ⋅

         

y = 2 1 0 2 y = 2 1 1 2 0 1

         

− ⋅ − ⋅ + ⋅

         

z 3 1 1 1 z 3 1 1 2 1 1

Quindi: −

   

x 1

   

   

y = 0

   

   

z 2

( ) ( )

−1

Dunque la soluzione del sistema dato è x , y , z = , 0 , 2 .

Osservazione: si noti che il sistema era già stato risolto con il metodo di Cramer in ESEMPIO 1,α e che

la soluzione ora trovata con il metodo della matrice inversa è ovviamente la medesima di quella ottenuta

precedentemente.

β) ×

Risolvere il seguente sistema 3 3 lineare non omogeneo con il metodo della matrice inversa:

+ +

 2 x 3

y 4 z = 53

 + −

 3

x 5

y 4 z = 2

 + −

 4 x 7 y 2 z = 31

−1

≠

Poiché det A = 10 0 esiste A . Risulta:

− −

   

18 10 1 18 34 32

   

( )

⇒

− − − −

T

   

A * = 34 20 2 A * = 10 20 20

   

− −

   

32 20 1 1 2 1

da cui:  

9 17 16

−

−  

 

18 34 32

  5 5 5

 

1

− − − − −

1  

A = 10 20 20 = 1 2 2

 



10 1 1 1

 

 −  −

1 2 1  

10 5 10 123

Pertanto si ottiene:

 