Sistemi di equazioni lineare - Appunti e esercizi

Si ha: − −

   

1 2 1 2 1

   

− −

   

A = e B =

2 1 2 1 5

   

− − −

   

2 4 2 4 2

Poiché il minore M ottenuto considerando le prime due righe di A è tale che det M =

−

1 2 ( )

= − ≠ si ha r A = 2. Invece l’unico minore di ordine tre estraibile da B è B stessa e

= 3 0

− 2 1 −

1 2 1 ( ) ( )

≠

−

risulta det B = . Osserviamo, quindi, che r B 3. Dunque si ha r B = 2 (è

2 1 5 = 0

− −

2 4 2 ( )

sufficiente, infatti, considerare lo stesso minore del secondo ordine già estratto da A). Essendo r A =

( )

r B = r = n = 2, fissiamo l’attenzione sul sistema ottenuto scartando la terza equazione. Tale sistema è il

sistema ridotto associato al minore M utilizzato prima. Il sistema ridotto:

−

 x 2 y = 1

 − +

 2 x y = 5

come è facile verificare, sfruttando le formule di Cramer o il classico metodo per sostituzione, ha come

 

11 7

( ) − −

 

unica soluzione x , y = . Tale soluzione è soluzione del sistema anche in accordo al fatto

,

 

3 3

che le equazioni scartate sono combinazioni lineari di quelle del sistema ridotto. Nel nostro caso si ha:

( ) ( ) ( )

− + + − − − + − + −

2 x 4 y 2 = 2 x 2 y 1 0 2 x y 5

cioè la prima equazione è addirittura proporzionale alla terza. −

< ∞ n r

II° r n: il sistema ha soluzioni

In tal caso il sistema ridotto è un sistema di r equazioni in r incognite con il determinante della matrice dei

coefficienti diverso da zero, che si ottiene come segue:

• si individua un minore di ordine r di B diverso da zero;

• le r righe e le r colonne di B, con cui si forma il minore del punto precedente, individuano

rispettivamente r equazioni ed r incognite del sistema originario; 126

• delle m equazioni originarie si conservano solo le r individuate nel punto precedente e si trascurano le

altre. Nelle r equazioni prese in considerazione si lasciano al primo membro tutti i termini relativi alle r

−

incognite individuate nel punto precedente e si portano al secondo membro le restanti n r incognite;

• −

nel sistema delle r equazioni rimaste si assegnano valori arbitrari alle n r incognite portate al secondo

membro. Si ottiene, così, un sistema di r equazioni in r incognite equivalente al sistema originario ed avente,

per come è stato ottenuto, il determinante della matrice dei coefficienti diverso da zero. Tale sistema,

pertanto, ha una ed una sola soluzione ottenibile con le formule di Cramer. Tale soluzione dipende, però,

−

come è ovvio e come deve essere, dagli n r valori arbitrari assegnati alle incognite al secondo membro.

∞ −

n r

Concludendo, il sistema ha soluzioni.

ESEMPI ×

1) Risolvere il seguente sistema lineare 2 3 non omogeneo:

− +

 x y 3

z = 2 ≠ <

 con m n e r (A) = r (B) = r n

− + − −

 2 x 3 y 6 z = 4

Le due matrici (incompleta e completa) associate al sistema sono rispettivamente:

− −

     

1 1 3 1 1 3 2 2

     

A = e B = = A

− − − − − −

     

2 3 6 2 3 6 4 4

Notiamo che, se M è il minore ottenuto considerando le prime due colonne di A, si ha det M =

−

1 1 ≠ . Segue allora:

= = 1 0

− 2 3

( )

r A = 2 perché A contiene M ed ha due righe

( )

r B = 2 perché B contiene A, e quindi M, ed ha due righe

( ) ( ) − −

∞ ∞ ∞

n r 3 2 1

Dunque r A = r B = r = 2. Quindi il sistema ha soluzioni. Il sistema ridotto

= =

associato è il seguente: − −

 x y = 2 3 t

 − + − +

 2 x 3 y = 4 6 t

∞

1

ove si è posto z = t. Segue che le soluzioni del sistema sono:

−

x = 2 3

t , y = 0 e naturalmente z = t

Ovviamente è bene che il lettore si convinca che queste funzioni di t, sostituite nelle due equazioni del

sistema di origine, le verificano entrambe. 127

×

2) Risolvere il seguente sistema lineare 3 3 non omogeneo:

− +

 x y 3

z = 2

 − + +

 (con m = n e det A = 0)

2 x 2 y z = 5

 − +

 3 x 3 y 9 z = 6

Si ha: − −

   

1 1 3 1 1 3 2

   

− −

   

A = e B =

2 2 1 2 2 1 5

   

− −

   

3 3 9 3 3 9 6

Poiché, come già osservato, l’unico minore di ordine tre di A è proprio det A che, come è facile verificare

( ) <

(del resto la terza riga è proporzionale alla prima), è nullo, risulta r A 3. Inoltre, ad esempio,

− 1 3 ( )

− ≠ è un minore del secondo ordine non nullo, per cui si ha r A = 2. Per

A' = = 7 0

2 1

quanto riguarda il rango della matrice completa si osservi che l’ultima riga di B è proporzionale alla prima

(così come era in A) per cui non esiste alcun minore di ordine tre estraibile da B diverso da zero; quindi

( ) ( )

<

r B 3. Dunque risulta r B = 2 (basta considerare lo stesso minore del secondo ordine estratto

− −

∞ ∞ ∞

n r 3 2 1

precedentemente da A). Ne segue che il sistema dato ha = = soluzioni. Poiché tale

minore, comune alle due matrici, diverso da zero, è formato dalle prime due righe conserviamo solo le

prime due equazioni del sistema; poiché, inoltre, tale minore è formato dalla seconda e dalla terza colonna

α,

conserviamo al primo membro solo le incognite y e z. Quindi il sistema ridotto, posto x = è il seguente:

− + − α

 y 3 z = 2

 + + α

 2 y z = 5 2

E’ allora possibile risolvere il sistema utilizzando le formule di Cramer, cioè:

∆ ∆

 

( )  

1 2

y

, z = ,

 

∆ ∆

con: − α − − α

2 3 1 2

13 9

−7; ∆ α + ∆

∆ A' = ;

= = = =

= + α + α

1 2

5 2 1 2 5 2

7 7

∞ 1

Dunque le soluzioni sono date da:  

13 9

( ) α α +

 

x , y , z = , ,

 

7 7 128

Osservazione: invece del minore di ordine due considerato si poteva anche prendere in esame un altro

− 2 1 −

minore, sempre del secondo ordine, diverso da zero, per esempio il minore . Si

A' ' = = 21

3 9

giungeva, così, ad un nuovo sistema equivalente:

− + − β

 2 x z = 5 2

 + + β

 3 x 9 z = 6 3

β.

con y = Si ha la soluzione: ∆ ∆

 

( )  

1 2

x , z = ,

 

∆ ∆

dove: − β − − β

5 2 1 2 5 2

13 9

−21; ∆ − β ∆

∆ A' ' = ;

= = = =

= + β + β

1 2

6 3 9 3 6 3

7 7

∞ 1

Dunque le soluzioni del sistema originario, in questo caso, sono date da:

 

13 9

( ) − β β

 

x , y , z = , ,

 

7 7

13

β α +

Si vede subito che, posto , si hanno esattamente le medesime soluzioni.

= 7 ×

3) Risolvere il seguente sistema lineare 3 3 non omogeneo:

+ −

 2 x 3 y 2 z = 5

 ≠

− +

 con m = n e r (A) r (B)

x 2 y 3 z = 2

 − +

 4 x y 4 z = 1

Risulta: − −

   

2 3 2 2 3 2 5

   

−

   

A = e B =

1 2 3 1 2 3 2

   

− −

   

4 1 4 4 1 4 1 2 3 − ≠

Poiché det A = 0 ed un suo minore del secondo ordine è tale che si vede

= 7 0

−

1 2

( )

banalmente che r A = 2. Inoltre, se si considera la matrice completa B, si può osservare che

2 3 5 ( )

− ≠ per cui r B = 3. Dunque, per il teorema di Rouchè-Capelli il sistema dato

1 2 2 = 56 0

−

4 1 1

non ha soluzioni. 129

4. TRIANGOLAZIONE PER RIGA DEI SISTEMI

Sia S un sistema di m equazioni lineari in n incognite e sia B la matrice completa ad esso associata. Se B' è

la matrice ridotta di B si può facilmente dimostrare che i sistemi S, la cui matrice completa è B, ed S' , la cui

matrice completa è B' , sono equivalenti. Dunque, per risolvere S è sufficiente risolvere S' .

ESEMPI ×

1) Risolvere il seguente sistema lineare 2 2 non omogeneo dopo aver ridotto la matrice completa ad esso

associata: +

 2 x 3 y = 1

 +

 3

x 2 y = 4

Si considera in primo luogo la matrice completa associata al sistema dato e si effettuano poi le operazioni

elementari sulle sue righe, cioè:

   

2 3 1 2 3 1

 



→

   

B = = B'

→ − −

   

R 2 R 3 R

3 2 4 0 5 5

2 2 2

Poiché la matrice B' è ridotta, il sistema triangolare associato è:

+

 2 x 3 y = 1

 −

 5 y = 5

−1;

Dalla seconda equazione segue y = sostituendo tale valore nella prima equazione si ha x = 2.

×

2) Risolvere il seguente sistema lineare 3 3 non omogeneo dopo aver ridotto la matrice completa ad esso

associata: + − −

 4 x y 3

z = 2

 + − −

 x 2 y 2 z = 6

 − −

 x y z = 0

Si considera, come fatto in precedenza, la matrice ridotta di B, cioè:

− − − − − −

     

4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2

     

− −  



→ − −  



→ − −

     

B = 1 2 2 6 0 3 1 6 0 3 1 6

→ − → −

R R R R 4 R R

     

2 2 3 3 3 1

− − − − − −

     

1 1 1 0 1 1 1 0 0 5 1 2

− −

 

4 1 3 2

 

 



→ − −

 

0 3 1 6 = B '

→ +

R 3 R 5 R  

3 3 2 − −

 

0 0 8 24 130

Dunque la matrice B' è ridotta per cui il sistema triangolare associato è:

+ − −

 4 x y 3 z = 2

 − −

 3 y z = 6

 − −

 8 z = 24 −1;

Dalla terza equazione, pertanto, si ricava z = 3; dalla seconda y = dalla prima x = 2.

( ) ( )

−

Ne segue che il sistema ha la sola soluzione: x , y , z = 2 , 1 , 3 .

×

3) Risolvere il seguente sistema lineare 3 3 non omogeneo dopo aver ridotto la matrice completa ad esso

associata: + +

 x 3 y z = 3

 − + −

 3

x 2 y 4 z = 3

 − −

 2 x y 3

z = 4

Si ha:      

1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3

     

− −   



→ − −  



→ − −

     

B = 3 2 4 3 0 11 1 12 0 11 1 12

→ − → −

R R 3 R R R 3 R

     

2 2 1 3 3 1

− − − − − − −

     

2 1 3 4 2 1 3 4 0 7 5 2

 

1 3 1 3

 

 

→ − −

 

0 11 1 12 = B '

→ −

R 11 R 7 R  

3 3 2 −

 

0 0 62 62

ottenendo così il seguente sistema triangolare associato:

+ +

 x 3 y z = 3

 − + −

 11 y z = 12

 −

 62 z = 62

−1;

Dalla terza equazione risulta che z = sostituendo il valore di z nella seconda equazione si ottiene y = 1;

infine sostituendo i valori di y e di z nella prima equazione si ricava x = 1. Dunque la soluzione del sistema

( ) ( )

−

originario è: x , y , z = 1

, 1

, 1 .

Osservazione: il criterio precedentemente illustrato per risolvere in modo pratico un sistema di equazioni

lineari è noto con il nome di metodo di Gauss-Jordan oppure metodo di riduzione o triangolazione a

gradini. 131

ESERCIZI PROPOSTI

Risolvere i seguenti sistemi lineari 1)-30), utilizzando, dove possibile, sia il metodo di Cramer sia

quello della matrice inversa, dopo aver analizzato gli esempi a)-d):

+ +

 2 x 3

y 4 z = 53

 + −



a) 3

x 5

y 4 z = 2

 + −

 4 x 7 y 2 z = 31

Il sistema dato è quadrato per cui occorre calcolare in primo luogo il determinante della matrice dei

coefficienti ad esso associata. Così facendo si verifica se sono soddisfatte le ipotesi del teorema di

Cramer. Risulta:

2 3 4

− ≠

∆

det A = = 3 5 4 = 10 0

−

4 7 2

per cui il sistema si può risolvere applicando le formule di Cramer, cioè:

∆ ∆ ∆

 

( )  

1 2 3

x , y , z = , ,

 

∆ ∆ ∆

dove: 53 3 4 2 53 4 2 3 53

∆ − ∆ − ∆

; ;

= 2 5 4 = 30 = 3 2 4 = 50 = 3 5 2 = 80

1 2 3

− −

31 7 2 4 31 2 4 7 31

Dunque l’unica soluzione del sistema è:  

30 50 80

( ) ( )

 

x , y , z = , , = 3

, 5

, 8

 

10 10 10

Si calcoli la soluzione del sistema dato con il metodo della matrice inversa e si verifichi che la soluzione

β).

trovata è la stessa (cfr. ESEMPIO 2,

Verifica: per essere sicuri che la soluzione trovata è giusta basta sostituire in tutte le equazioni del sistema i

valori di x, y e z ottenuti e verificare, quindi, che esse siano tutte soddisfatte.

La soluzione trovata è esatta poiché:

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅

2 3 3 5 4 8 = 53 , 3 3 5 5 4 8 = 2 , 4 3 7 5 2 8 = 31 132

b) Risolvere il sistema AX = N dove:

     

1 1 1 1 x 0

     

     

0 4 0 3 y 5

; ;

A = X = N =

     

2 0 0 5 z 4

     

−

     

0 0 3 2 t 1

×

E’ un sistema lineare 4 4 del tipo + + +

 x y z t = 0

 +

 4 y 3

t = 5

 +

2 x 5

t = 4



 + −

 3

z 2 t = 1

Risulta: 1 1 1 1

0 4 0 3

∆ − ≠

det A = = = 70 0

2 0 0 5

0 0 3 2

(basta sviluppare il determinante, per esempio, rispetto agli elementi della seconda riga)

Pertanto è possibile risolvere il sistema, per esempio, con il metodo della matrice inversa. Si ha:

− − − − −

   

60 18 16 24 60 15 5 20

   

− − − −

   

15 13 4 6 18 13 9 6

( )

⇒ T

A * = A * =

   

− − − −

5 9 8 12 16 4 8 18

   

− − − − −

   

20 6 18 8 24 6 12 8

da cui:  

6 3 1 2

− −

 

7 14 14 7

− −  

 

60 15 5 20 9 13 9 3

   

− −

− −

18 13 9 6

   

1

− 35 70 70 35

−

1

A = =

   

− − 8 2 4 9

16 4 8 18

70 − −

   

− − −

  35 35 35 35

 

24 6 12 8 12 3 6 4

 − 

 

35 35 35 35

Dunque la soluzione del sistema si ottiene dalla relazione:

   

x 0

   

   

y 5

−

1

= A

   

z 4

   

−

   

t 1 133

Svolgendo i calcoli segue:  

1

−

 

 

x

  21

 

 

y  

=

   

2

z

  −

 

1

   

t  

1

Dunque la soluzione cercata è:  

1 1

( ) − −

 

x

, y

, z , t = , , 1

, 1

 

2 2

Si verifichi, per esercizio, che la soluzione è esatta e si risolva il sistema con il metodo di Cramer

confrontando le due soluzioni.

− +

 2 x 3 y z = 1



c) + −

 5

x y 2 z = 7

Il sistema è rettangolare per cui occorre applicare il teorema di Rouchè-Capelli. Consideriamo le due

matrici associate al sistema:

− −

   

2 3 1 2 3 1 1

   

A = e B =

− −

   

5 1 2 5 1 2 7

( ) ( )

≤ ≤   ≤ ≤  

Sappiamo che 0 r A min 2, 3 = 2 e 0 r B min 2, 4 = 2.

−

2 3 ( )

≠

∆

Poiché = è un minore estratto da A non nullo, risulta r A = 2. Per quanto

= 17 0

A' = ' 5 1

riguarda la matrice completa B basta considerare lo stesso minore del secondo ordine diverso da zero;

( )

segue che è anche r B = 2. −

∞ ∞

3 2 1

Dunque il sistema dato ammette = soluzioni. Per determinarle si osservi che il minore non nullo

α

considerato è stato ottenuto con i coefficienti delle incognite x ed y. Poniamo, pertanto, z = e

risolviamo il seguente sistema equivalente: − − α

 2 x 3 y = 1

 + + α

 5 x y = 7 2

la cui soluzione si può facilmente determinare con le formule di Cramer, con:

− α − − α

1 3 2 1

∆ + α ∆ + α

∆'

A' = ; ;

= = 22 5 = = 9 9

= 17 + α + α

1 2

7 2 1 5 7 2 134