sistemi biomimetici

E E

definirlo mentre la dimensione topologica ha a che fare con la topologia

dell’oggetto considerato, non considera solo la posizione nello spazio. Per la

dimensione topologica un punto o un insieme di punti ha una dimensione pari a

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zero, tutti gli oggetti che possono essere divisi da elementi con dimensione

topologica pari a zero hanno dimensione topologica pari a uno, tutti gli oggetti

che possono essere divisi da elementi con dimensione topologica pari a uno

hanno dimensione topologia pari a due e così via. Questo concetto di

dimensione però è stato criticato a partire dal 1800 e Benoit Mandelbrot in

riferimento alla possibilità di descrivere gli oggetti REALI. C’è un certo grado di

irregolarità nelle geometrie reali che la teoria fisica ha sempre portato a

semplificare, i modelli linearizzano la complessità della natura perdendosi

anche degli effetti importanti. Mandelbrot cerca una modellazione della realtà

più consona e realistica rispetto a una schematizzazione che ne va ad eliminare

le non linearità, introduce il concetto di geometria frattale, che descrive tutti

quegli oggetti a cui non è possibile attribuire una dimensione topologica intera.

Tutte queste geometrie che venivano scartate dalla geometria euclidea

vengono affrontate da Mandelbrot in modo da creare dei modelli più consoni

alla descrizione del mondo reale.

Curva frattale: curva a cui non è possibile attribuire una dimensione topologica

intera.

Caratteristiche:

Autosimilarità=una superficie

 frattale se ingrandita rivela la

stessa geometria a diversi

livelli di ingrandimenti.

Struttura fine: aumentando

 l’ingrandimento riveleremo

sempre più dettagli, non si

arriverà a un limite in cui si

arriva a una linea continua ma

i dettagli vengono svelati in

maniera sempre più raffinata

Irregolarità: l’insieme frattale non può essere descritto come un luogo dei

 punti che soddisfa la geometria euclidea. La struttura è ricorsiva, non

possiamo conoscere il punto successivo senza conoscere il punto

precedente.

La dimensione frattale sarà maggiore della dimensione topologica



Al contrario della dimensione topologica che è un numero intero la dimensione

frattale ha anche un decimale ed è molto importante perché alcuni insiemi di

punti classici che secondo la dimensione topologica avrebbero dimensione

nulla in realtà hanno una loro dimensione Insieme di Cantor.

La dimensione frattale ha una definizione che si basa su un processo pratico di

misura dell’insieme frattale che stiamo considerando. Si misuri un insieme di

A h N(h)

punti con un’unità di misura ogni volta più piccola e si chiami il

k

minimo numero figure a dimensioni (se il frattale è costituito da punti tutti

k

appartenenti ad uno spazio ) necessari per

Â

coprire per intero la figura, si definisce capacità di

A: 65

In modo da andare a ricoprire in maniera più fine possibile lo spazio che voglio

rappresentare, se spingo la dimensione del mattoncino fino a zero (al limite)

allora ottengo la dimensione frattale dell’oggetto considerato.

Insieme di Koch

A ogni iterazione costruisco un triangolo isoscele a metà di ogni segmento fino

all’infinito. Per p che tende

all’infinito vado a

rappresentare la figura con

quadretini sempre più piccoli

fino ad arrivare a una

dimensione frattale pari a

ln4/ln3.

Le curve che sono state elaborate da Mandelbrot possono essere risolte tramite

semplici equazioni

f(z): z = z + c

i2

i+1 i quaternioni sono un’evoluzione dei numeri

complessi, hanno tre parti immaginarie

anziché una, se li utilizziamo per realizzare gli

insiemi di Mandelbrot otteniamo dei frattali

che dovrebbero essere rappresentati in uno

spazio quadridimensionale.

La natura è frattale, osservando le

ultrastrutture delle macromolecole della vita,

degli organi ci rendiamo conto che non

possiamo descrivere la ramificazione dei

bronchi come un insieme di coni e di cubi.

Abbiamo necessità di qualche strumento un po’ più complesso per descrivere

la realtà. Sono molto utilizzate le spirali logaritmiche che sono assimilabili a

degli insiemi frattali, sono autosimilari. Le spirali in natura si trovano

moltissimo, sono utilizzate per descrivere il DNA, per descrivere la

conformazione terziaria di molte tipologie di proteine… sono tutte strutture che

si auto-organizzano in delle strutture più o meno complesse e autosimilari.

L’organizzazione gerarchica delle strutture dei nostri tessuti è molto diffusa in

natura, questa

struttura gerarchica

non può essere

descritta con la

geometria classica.

Le presivioni

metereologiche 66

trovano la prima elaborazione col modello di Lorenz che ha trovato un modello

per descrivere la ocmplessità delle previsioni metereologiche che non sono un

fenomeno completamente stocastico ma è possibile predire l’evoluzione del

sistema solo entro un certo numero limitato di ore e di giorni perché il sistema

meteo non è ne un sistema deterministico descrivibile con delle equazioni

lineari ma non è neanche un sistema stocastico e quindi completamente

casuale. Le equazioni differenziali non lineari che lo descrivono sono

estrememente sensibili alle variazioni delle condizioni iniziali (effetto farfalla).

I nostri bronchi sono descritti in maniera molto accurata dalle curve frattali

come i vasi coronarici, i vasi sanguigni, la struttura di un neurone…

Non si parla solo di frattalità spaziale ma si parla anche di frattalità temporale

ossia se abbiamo un segnale biomedico e ne studiamo le caratteristiche

statistiche a diverse finestre temporali e ci accorgiamo che queste

caratteristiche rimangono le stesse a seconda della finestra temporale che

stiamo valutando allora abbiamo a che fare con un segnale frattale che rispetta

l’autosimilarità dal punto di vista statistico. Il segnale che ci indica il battito

cardiaco è un segnale frattale e studiarne la frattalità ci consente di fare delle

ipotesi diagnostiche sul fatto che il cuore stia funzionando bene, male o se sta

per fermarsi.

Conrariamente a quello

che si può immaginare un

battito cardiaco caotico è

un battito cardiaco sano,

un battito regolare è

sintomo di gravi

patologie. Lo spazio delle

fasi più semplice,

costituito da un solo

punto e quindi da un

cuore che non varia mai il

proprio passo è sintomo

di arresto cardiaco. Una situazione leggeremente più complicata ma comunque

regolare è una situazione alla quale poi è seguita una morte improvvisa mentre

il cuore sano è molto caotico, impossibile descrivere la figura con una

geometria tradizionale. Nell’analisi dei segnali cardiaci la frattalità e la caoticità

va di pari passo con uno stato di buona salute.

Sono stati fatti degli studi per analizzare i contorni di alcune masse evidenziate

mediante ecografia e radiografia di sospetti tumori, questi contorni sono stati

analizzati per andarne a valutare la dimensione frattale ed è stata dimostrata

una correlazione fra la benignità della dimensione considerata e la sua

frattalità.

Un attrattore è la rappresentazione nello spazio delle fasi delle soluzioni di un

sistema di equazioni differenziali non lineari che descrivono un sistema caotico.

Queste tre equazioni sono state proposte da lorenz per andare a descrivere le

caratteristiche atmosferiche: pressione, temperatura e umidità

sono equazioni non lineari, abbastanza

semplici e estremamente sensibili alle

variazioni delle condizioni al contorno.

Con il passare del tempo queste

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equazioni oscilleranno intorno a determinati valori che sono descritti appunto

dall’attrattore di lorenz che descrive quali sono le zone in cui si addensano le

soluzioni di queste equazioni differenziali per determinate condizioni al

contorno. Le soluzioni ci sono ma sono di difficile predizione.

Un’altra dimensione che viene utilizzata per descrivere il grado di caoticità del

sistema è l’esponente di Lyapunov che dice quanto due soluzioni possono

divergere sulla base delle condizioni iniziali. Se la variabile x di un sistema

caotico per un determinato valore x0 nel corso del tempo andrà ad assumere

certi valori e la medesima variabile x per una diversa condizione iniziale x1

assume valori completamente diversi questa distanza viene misurata

dall’esponente di Lyapunov che indica quanto le soluzioni si allontanano fra loro

sulla base di una piccola differenza delle condizioni iniziali.

A partire dall’attrattore di Lorenz poi sono stati proposti diversi attrattori che

descrivono fenomeni fisici non lineari, l’attrattore di Rössler descrive delle

cinetiche chimiche altamente non lineati che vanno a descrivere delle

situazioni in cui delle minime variazioni dei reagenti comportano una

catastrofica diversità in termini di prodotti. Tutti questi attrattori sono delle

curve frattali.

La mappa logistica è stata proposta anche per descrivere l’andamento delle

popolazioni in ecologia in cui vengono descritte tutta una serie di posizioni nel

piano a partire da una retta e una parabola

con concavità rivolta verso l’alto. Si parte da

un punto quasiasi dell’asse x e si sale fino a

quando non si incontra la parabola poi si

scende fino a quando non si incontra la retta

poi si sale di nuovo e così via. L’equazione

che descrive questo sistema è molto

semplice, è una funzione ricorsiva, ogni

punto assume un valore che è determinato

dal valore del punto precedente. Se noi

andiamo a graficare il numero delle possibili

soluzioni, il numero dei punti che toccano

retta e parabola a ogni iterazione al variare

del parametro a otterremo una figura frattale: quando a è piccolo

convergeremo in un punto, al crescere di a arriveremo a un determinato valore

di x per il quale continueremo a oscillare fra due punti però senza mai

convergere, rimbalziamo continuamente fra retta e parabola, aumentando

ancora a avremo 4 oscillazioni della mappa logistica rimbalzeremo fra 4 punti,

aumentando ancora entriamo in un regime caotico

geometria frattale



Un altro esempio sono gli automi cellulari,

l’evoluzione del sistema è definito dalla

funzione di transizione che viene utilizzata

per determinare lo stato della cella al

tempo t+1 sulla base dello stato della

cella al tempo t.

Questi sistemi possono essere descritti

con le classi Wolfram. La pri