Sismica - Esercizi

Costruzioni in zona sismica - esercizi

Introduzione alla dinamica delle strutture

La dinamica delle strutture determina le sollecitazioni e le deformazioni sulle strutture sollecitate in modo variabile nel tempo. L'azione dinamica è un'azione variabile nel tempo che induce un moto dove le forze d'inerzia non sono trascurabili. Le forze d'inerzia sono quelle forze applicate a delle masse, proporzionali all'accelerazione delle masse stesse.

Forze nei carichi dinamici

Le forze che considereremo nei carichi dinamici sono le forze d'inerzia (legate a u(t)), le forze dissipative (legate a u(t)), e le forze di richiamo elastico (legate a u(t)). Queste sono legate a delle grandezze tipiche di una struttura: massa, smorzamento e rigidezza. Oltre a queste abbiamo le forze sollecitanti.

Avendo a che fare con variabili temporali, dovremo risolvere delle equazioni differenziali nella variabile tempo. Se c'è una sollecitazione di carattere dinamico, ad esempio la massa uniformemente distribuita, si ha una seconda variabile che è la posizione della massa. Attraverso delle semplificazioni risolveremo il problema, in particolare usiamo dei modelli che permettono di eliminare la variabile posizione. Ad esempio, per un portale si suppone che la massa della colonna sia nulla, colonna con una certa rigidezza K e con deformabilità assiale nulla. La massa la concentro in un punto che conosco nell'impalcato.

Oscillatore semplice (SDOF - Single Degree Of Freedom)

Un oscillatore semplice non è altro che una molla di un tratto, su cui è posta una massa m. È analogo a:

• u(t) è lo spostamento orizzontale della massa m
• ḋ(t) è la sua velocità
• ü(t) l'accelerazione

L'obiettivo è scrivere l'equazione di moto dell'oscillatore semplice. Partiamo dal principio di D'Alembert: in ogni istante, se considero una massa (= struttura), questa è in equilibrio. Se si considerano le forze attive e passive. Le prime sono le forze esterne applicate su m, quelle passive sono quelle che si generano a causa dello spostamento di m.

Forze passive

Una prima forza passiva è relativa alla rigidezza k. Si chiama forza di richiamo elastico, proporzionale allo spostamento che subisce la massa. È diretta opposta al moto.

f_e(t) = - K . u(t)

Questa è valida per piccole deformazioni; diversamente dipende anche dalla velocità della massa. Un'altra forza che entra in gioco è la forza di inerzia. Dipendono dalla m, sono proporzionali alle accelerazioni. È anch'essa opposta al moto.

f₁(t) = -m ü(t)

Forza dissipativa/di smorzamento

Altra forza passiva è quella dissipativa/di smorzamento. Si oppone al moto ed è proporzionale alle velocità.

f₂(t) = -c u(t)

C è la costante di smorzamento (tipica di ogni struttura) ed è determinato empiricamente. La forza applicata esterna è f₃(t) (sollecitante).

Principio di D'Alembert

Il principio di D'Alembert ci dice che:

f₁(t) + f₂(t) + f_e(t) + f_s(t) + f_i(t) = 0

È una somma algebrica, quindi occhio ai segni. Posso scrivere:

mü(t) + c u(t) + K u(t) = p_s(t)

È l'equazione generale del moto. Dobbiamo risolverla. Suppongo f_s(t)=0 e c=0. Quindi:

mü(t) + K u(t) = 0