Sintesi Analisi Matematica

Sintesi analisi matematica

Insiemi

∈ = appartenenza
∀ = per ogni
∃ = esiste
φ = vuoto
⊂ = contenuto
{ } = insieme
∪ = unione
∩ = intersezione
Δ = differenza simmetrica
\ = toglie
ᶜ = complementare
ℕ = insiemi naturali (ℕ = {0, 1, 2, 3, ...})
ℤ = insieme dei numeri relativi (ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...})
ℚ = insieme di numeri razionali
ℝ = insieme di numeri reali ({0, -2, ⅔, 0.3, √2, 1, ⅜})
ⅈ = insieme di numeri irrazionali
|| = valore assoluto o modulo (|| = {x, SE x ≥ 0-x, SE x})

Intervalli

a) [a,b] Chiuso
b) ]a,b[ Aperto
c) [a,b[ a compreso, b no
d) ]a,b] a non compreso, b compreso

Simmetria

a) [a, ∞) Semiretta destra
b) (-∞, b] Semiretta sinistra
ℝ⁺ → ]0,+∞] = {x∈ℝ : x>0}
ℝ⁺₀ → [0,+∞] = {x∈ℝ : x≥0}
ℝ^- → (-∞,0) = {x∈ℝ : x}

Funzione esponenziale

x^a x^b x^b → varia l'esponente
a^x e^x

Logaritmo

Log_ba = y

• y = numeri reali
• b = tutti positivi (no 1)
• a = deve essere positiva

Funzione inversa

b^y = a
Tipi di Logaritmo:
Log_ex = lnx
Log₁₀x = Log

Proprietà dei logaritmi

Log_bb = 1
Log_b1 = 0
Log_b(x^a) = a Log_bx
Log_b(x·y) = Log_bx + Log_by
Log_b(x/y) = Log_bx - Log_by
Log_bx = Log_ax / Log_ab

Prodotto cartesiano

x —> Cartesiano
x = ascisse
y = ordinate

Retta nel piano

r: y = mx
Distanza tra P₁ e P₂:
=√(x₁,x₂)²+(y₁,y₂)²
m = y₁/y₂ x₁,x₂
Bisettrice: Divide il piano I, II, III, IV Quadrante.
Eq Esplicita: y = mx + q
Eq Implicita: ax + by = c

Circonferenza nel piano

x² + y² + ax + by + c = 0

Equazioni

Equazione parabolica: y = ax² + bx + c
Ellisse: ^x²/_a² + ^y²/_b² = 1
Iperbole: ^x²/_a² - ^y²/_b² = 1
Iperbole equilatera: y = 1/x

Equazioni e disequazioni

Grado I: ax + b ≥ 0
Grado II: ax² + bx + c = 0
Δ = b² - 4ac
Δ > 0 → 2 soluzioni
Δ = 0 → 1 soluzione
Δ x_1,2 = ^{-b ± √(b² - 4ac)}/_2a
Equivalenza: ax² + by + c = 0

Funzioni

Definizione: Dati 2 insiemi non vuoti A, B, è una legge che a ciascun elemento di X ∈ A associa uno e un solo elemento y ∈ B
f: A ➔ B e y = f(x)
A si chiama dominio di f si indica con D(f)
B spazio di arrivo

Iniettiva

Definizione: f: A ➔ B si dice iniettiva se elementi distinti in A hanno immagini distinte in B, ovvero per ogni x₁, x₂ ∈ A, x₁ ≠ x₂ allora f(x₁) ≠ f(x₂)
Associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B
f(x₁) ≠ f(x₂)

Suriettiva

Definizione: f: A ➔ B si dice suriettiva se ogni elemento y ∈ B è un'immagine di almeno un elemento x ∈ A
f: A ➔ B si dice suriettiva ∀ y ∈ B, ∃ x ∈ A: f(x) = y

Biettiva

Se f: A ➔ B è iniettiva e suriettiva, si dice biettiva o biunivoca
Se f: A ➔ B è iniettiva, la sua funzione inversa è f^-1
La sua funzione inversa in particolar caso. ∀ y ∈ B, si può denotare con f^-1(y_i), l'unico elemento x ∈ A t.c. y = f(x).
f inversa f^-1 : B ➔ A

Funzione inversa

f^-1: A→B che associa ad ogni y∈B l'unico x∈A t.c. f(x)=y.
f^-1: B→A, y=x → x = f^-1(y)