Sintesi Analisi Matematica

Sintesi analisi matematica

INSIEMI

∈ = APPARTENENZA

∀ = PER OGNI

∃ = ESISTE

∅ = VUOTO

⇒ = PER OGNI IMPLICA

⊂ = CONTENUTO

∈ = ELEMENTO

∉ = INSIEME

∪ = UNIONE

∩ = INTERSEZIONE

∆ = DIFFERENZA SIMMETRICA

\ = TOGLIE

ᶜ = COMPLEMENTARE

ℕ = INSIEMI NATURALI ℕ = {0,1,2,3,3...}

ℤ = INSIEMI DEI NUMERI RELATIVI ℤZ = {...-3,-2,-1,0,1,2,3...}

ℚ = INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI

ℝ = INSIEME DEI NUMERI REALI {0,-2,-⅔,0.3,√2,7̅}

= INSIEME DI NUMERI IRRAZIONALI

|| = VALORE ASSOLUTO O MODULO

• x, se x ≥ 0
• -x, se x < 0

Funzioni

Def: Dati 2 insiemi non vuoti A, B, ƒ è una legge che a ciascun elemento di X ∈ A associa uno e un solo elemento y ∈ B

• ƒ: A → B e y = ƒ(x)
• A si chiama dominio di ƒ e si indica con D(ƒ)
• B spazio di arrivo

Iniettiva

Def: ƒ: A → B si dice iniettiva se elementi distinti in A hanno immagini distinte in B, ovvero per ogni x₁, x₂ ∈ A con x₁ ≠ x₂, allora ƒ(x₁) ≠ ƒ(x₂)

Suriettiva

Def: ƒ: A → B si dice suriettiva se ogni elemento y ∈ B è un’immagine di almeno un elemento x ∈ A

• ƒ: A → B si dice suriettiva ∀y ∈ B, ∃x ∈ A: ƒ(x) = y

Biettiva

Se ƒ: A → B iniettiva e suriettiva si dice biettiva o biunivoca

Se ƒ: A → B è iniettiva la sua funzione inversa ƒ⁻¹

La sua funzione inversa è una funzione in tal caso, ad ogni y ∈ B, si può associare con ƒ⁻¹(y) l’unico elemento x ∈ A t.c. y = ƒ(x),

T.c. ƒ risulta ƒ⁻¹ : B → A

Tangente

Tgx = ^Sinx/_Cosx

Seno

y = sen xGrafico Oscillatorio

Coseno

y = cos x

Tangente

Teoremi

Teorema della limitatezza locale:Se ∃ lim f(x) = l ∈ ℝ,esiste un intorno U di x₀ tale che f(x) è limitato in U ∩ A

Teorema della permanenza del segno:Se lim f(x) = l ≠ 0allora esiste un intorno U di x₀ t.c.f assume lo stesso valore di f(x) (positivo se l > 0, ottu negativo se l < 0)

• Se Hg lim ^f(x)/_g(x) = f₁/₂

Oss: lim f(x) = c ≠ 0 e g è una funzione limitata in U\ADove U è un intorno del punto x₀. Allora lim f(x) g(x) = 0

Teorema di confronto (Carabinieri):Siano f, g, h: I ⊂ ℝ ∀ x ∈ U\A \ {x₀}, dove U è l'intorno di x₀, risultan f(x) ≤ g(x) ≤ h(x),e se lim f(x) = lim h(x), allora lim g(x) = l

Infiniti

Se f definita in A ⊆ ℝ con x₀ ∈ A^':

Se Lim_x→x0 f(x) = ±∞ allora f(x) si dice un infinito per x→x₀.

f(x) = x² per x→1 → +∞, e g(x) = x+1 sono 2 infiniti:

Siano f(x) e g(x) due infiniti per x→x₀.

Se ∃Lim_x→x0 |f(x)/g(x)| si può avere uno dei seguenti 3 casi:

• [1] 0
• [2] ≠ 0
• [3] +∞

f ha ordine di inf. inferiore a g per x→x₀.

◁ G . ORDIN. INF. STESSO

f ha ordine superiore rispetto a g per x→x₀.

Infinitesimi

Una f(x) T.C. Lim_x→x0 f(x) = 0 si dice infinitesimo per x→x₀.

Siano f(x) e g(x) due infinitesimi per x→x₀, se ∃Lim_x→x0 |f(x)/g(x)| con:

g(x) ≠ g₀ tranne al p.v., in x₀, 3 casi:

• [1] 0
• [2] ≠ 0
• [3] +∞

f è ordine di infinitesimo superiore ad g, x→x₀.

f e g hanno lo stesso ordine per x→x₀.

f è ordine di infinitesimo inferiore ad g, x→x₀.

Quindi se f è derivabile in x₀, f'(x₀) rappresenta il coefficiente

angolare della retta tangente al grafico di f in x₀.

Lim destro, x tende a x₀, rapporto incrementale a

partire da x₀, si dice derivabile a destra

f_d'(x₀) = lim x→x₀⁺ f(x) - f(x₀) / x - x₀ = (f_d'(x₀) o f' (x₀))

Lim sinistro, x per x tende a x₀, rapporto incrementale

da x₀, si dice derivabile a sinistra

f_s'(x₀) = lim x→x₀^- f(x) - f(x₀) / x - x₀ = (f_s'(x₀) o f_s (x₀))

Se x₀ e unico elemento in f(x), la funzione f è derivabile in x₀ se

solo se è derivabile sia a destra che a sinistra in x₀, è

f_s'(x₀) = f_d'(x₀)

Derivata di ordine superiore

La funzione f si dice derivabile in I se lo è in ogni punto x₀ ∈ I

derivata f'(x) ∀ x ∈ I, quindi f': I → ℝ

f'(x) è derivabile a sua volta in x ∈ I.

In tal caso f''(x) è una funzione da I in ℝ; se f'(x) è

derivabile in x₀ ∈ I

In tal caso f'(x) è una funzione da I in ℝ; se f'(x) è derivabile in

x₀ ∈ I si chiama derivata seconda di f in x₀. Essa indica come

f''(x₀) oppure d² f(x₀).

f'(x₀) = lim x→x₀ f_d'(x) - f_s'(x₀) / x - x₀

Asintoti

Asintoto: È una retta alla quale il grafico di ƒ si avvicina,data ƒ: I → ℝ, un asintoto per il grafico di ƒ è una retta t: r ⊂ ℝ,se x tende a x₀, dove x₀ ∊ ℝ oppure x₀ = ±∞ e…

Asintoti: Verticale, Obliquo, Orizzontale

Verticale

Sia ƒ: I → ℝ, con t₀ ∊ I e …:

• lim x→x₀ ƒ(x) → ±∞ (∃ t₀ ∊ …), la retta eq. x = x₀ è un asintoto verticale destro per il grafico di ƒ
• sinistro per il grafico di ƒ

Orizzontale

• Sia ƒ: I → ℝ, con I = [x₀, +∞) oppure I = [x₀, x₀) lim x→±∞ ƒ(x) = k, k∊ℝ.
• La retta di equazione y = k è un asintoto orizzontale per il grafico di ƒ per x → ±∞
• Sia ƒ: I → ℝ con I = (-∞, x₀) oppure I = (-∞, x₀]…

Ifc sia f(x)=supS f(x). Vx e [a, b], ovvero le funzioni a gradinata il cui grafico è tutto al di sotto del grafico di f, indichiamo con l’insieme di tutte le f a gradinata: [a, b]→IR tali che f(x) ≥ f(x), Vx e [a, b] ovvero le funzioni a gradinata il cui grafico è tutto di sopra del grafico di f.

Essendo f limitata, entrambi gli insiemi S e T non sono vuoti.

APPROSSIMAZIONI: sia f: [a, b]→IR limitata, definiamo

S f = {s : [a, b]→IR a gradinata con s(x) ≤ f(x), Vx e [a, b]}

T f = {t : [a, b]→IR a gradinata con t(x) ≥ f(x), x [a, b]}

Sia calcolato l’integrale dell’inf. e sup. dell’insieme

Poniamo _a( f(x) dx = sup _{s e S f}( s(x) dx

- _a( f(x) dx = inf _{t e T f})( f(x) dx

INTEGRALE INFERIORE - INTEGRALE SUPERIORE

Def: Si definisce integrale inferiore di f in [a, b] l’estremo superiore dell’insieme degli integrali di tutte le funzioni S f. Si indica come:

_a^b f(x) dx = sup_{s e S fa^b} s(x) dx

Si definisce integrale superiore di f in [a, b] l’estremo inferiore dell’insieme degli integrali di tutte le funzioni della famiglia T f:

_a^b f(x) dx = inf_{s e T fa^b} f(x) dx

Le funzioni f si dice integrabile in [a, b] se integrale inferiore ed inferiore coincidono con cui superiore. Si definisce l’integrale di f in [a, b] il valore comune

_a^b f(x) dx := f_a^b f(x) dx = _a^b f(x) dx