Sfera uniformemente carica

Teorema di Gauss: sfera uniformemente carica

Prendiamo una sfera isolante uniformemente carica con densità di carica ρ. La carica totale è rappresentata da Q e la densità di carica ρ è definita come ρ = _Q/_V = costante. In altre parole, ρ = dQ/dV = ρ(x,y,z).

Il volume della sfera è dato da V = ₄/₃ π a³ e la densità di carica è ρ = _Q/₄/₃ π a³. La sfera ha un raggio a.

Vogliamo trovare il valore del campo elettrico in un punto qualsiasi a distanza r dal centro della sfera. Il punto può essere sia interno che esterno alla sfera.

Calcolo del campo elettrico

Data la simmetria sferica della distribuzione di carica, il campo elettrico E avrà la direzione del raggio vettore ed avrà lo stesso modulo su una superficie sferica di raggio r.

Calcoliamo quindi il flusso di E attraverso una superficie sferica qualsiasi di raggio r.

Teorema di Gauss per la sfera carica

• Carica interna alla superficie
• Carica esterna alla superficie

Φ_S (→E) = ∮_{S_sfera} →E•n̂ ds = →E•n̂ ∫_{S_sfera} ds = |→E| 4πr²

Per il teorema di Gauss si ha:

Φ_S (→E) = q_interna / ε₀ = ρ • 4/3 πr³ / ε₀

⇒ |→E| • 4πr² = ρ / ε₀ • 4/3 πr³ ⇒ |→E| = ρ / 3ε₀ • r

Per raggio r > a, otteniamo:

|→E| = 1 / 4πε₀ Q / r²

È lo stesso campo generato da una carica puntiforme Q. Quindi, vista dall'esterno, è come se tutta la carica della sfera fosse concentrata nel suo centro.