Serie di Potenze

Serie di Potenze

Σ_m=0^+∞a_m(x-x₀)^m = f(x)

{a_m} successioni numeriche a valori reali x₀ fissato

La serie geometrica è un caso particolare delle serie di potenze

Σ_m=0^+∞x^{m 1}⁄_1-x |x|<1, x∈(−1,1)|x|<1

Teorema

Σ_m=0^+∞a_m(x-x₀)^m → Se ∃ lim^m√|a_m| = l

allora la serie converge assolutamente x |x-x₀|<Rnon converge x |x-x₀|>R

|y-x₀|≤R ↔ −R<x−x₀<R ↔ x₀−R <x< x₀+R

Esempio 1

Σ_m=0^+∞x^mlim^m√1 = 1R = 1

conv. m−1<x<1

Cenno di Dimostrazione

lim lim^{m√(x-x₀)m} = lim^m√|a_m| = √|x−x₀|^m = l|x−x₀l|

<1 ∑ conv.>1 non conv.!=1 Boh

Esempio 2

Σ_m=1^+∞(−1)^m (x−3)^m

a_m = (−1)^m ⁄ m^2m

x₀ = 3

R = 2

−2<x−3<21⁄m → 1⁄2−2<X−3<2

Serie di Potenze

∑_m=0^+∞ a_m(x-x₀)^m = f(x)

|x| < 1, x ∈ (-1, 1)

x₀ fisso

|x₀-c| < R ↔ x₀-R < x < x₀+R

Teorema

∑_m=0^+∞ a_m(x-x₀)^m → Se lim^m√|u_m|_m→+∞ = l

allora la serie converge assolutamente x |x-x₀|<R, non converge x |x-x₀|>R

lim^m√|a_m|_m→+∞

Esempio 1

lim 1/m⇒1

R=1

Cenni di dimostrazione

lim^m√|a_m|_m→+∞ = lim^m√|u_m| x-x₀|^m = l x-x₀| l

Esempio 2

a_m = (-1)^m / m^2m

x₀ = 3

R = 2

-2 < X-3 < 2

|x-3| 2

Per x=1

Σ ₁/_n diverge

Per x=5

Σ(-1)¹/_n converge per Leibniz

Allora la serie di potenze converge in 1<x<5

Teorema

Σ _m=0^+∞ a_n(x-x₀)ⁿ → lim_m⟶+∞|a_m+1/a_m| = | R ½

di convergenza assoluta, la serie conv. ∀ |x-x₀|<R

Esempio 1

Σ_m=0^+∞ (m+1) / m! x^m

X₀ =0 a_n = m+1 / m!

lim_m⟶+∞ m + 2 / (m+1) ¹ m+1 / m+1 =0 → 0, R =+∞

|x-0|<+∞ → ∀ x∈R

Proprietà Generali Delle Serie di Potenze

f(x) = Σ_n=0^+∞ a_n (x-x₀)^m R >0 |x-x₀|<R

∀ 0<r<R le serie conv. totalmente ∀ x∈ [x₀-r, x₀+r]

|a_n(x-x₀)^m|≤|a_n| Σ_m=0^+∞ |a_n| conv.

x₀-R ←→ x₀ ←→ x₀+R

|a_m(x-x₀)^m = |a_m| |(x-x₀)^m = a_m|   |x-x₀|^m ≤ |a_m| r^m

Σ_n=+∞^&thinp;(a_m x^m converg.

f(x) è derivabile in (x₀-R, x₀+R)

f(x) = (∑_m=0^∞ a_m (x-x₀)^m)' = ∑_m=1^∞ a_m m (x-x₀)^m-1

convergenza uniforme

lim_m→∞ m√|ma_m| = l ⟹ R = 1/l

f''(x) = ∑_m=2^∞ a_m m (m-1)(x-x₀)^m-2

Esempio

(1/1+x)² = f(x) x₀ = 0 (Sviluppo in serie di potenze x₀=0)

(1/1+x)² = (1/1+t) ¹

t = -x

-1/1+x = -1/1-t = -∑_n=0^∞ tⁿ

|t|