Serie di funzioni

Serie di funzioni

Data una successione di funzioni, definiamo la somma parziale come S_n(x) = ∑ f_n(x). Se n tende all'infinito, questa si chiamerà "serie di funzioni".

Convergenza puntuale e uniforme

Una serie di funzioni converge puntualmente nell’intervallo I di definizione se e solo se la somma parziale converge nell’intervallo I per ogni x. Ossia, dato un particolare x, la serie numerica è convergente. Analogo discorso vale per la convergenza uniforme.

La serie S(x) = ∑ f_n(x) converge assolutamente se e solo se la serie del modulo delle funzioni converge puntualmente in I. Si dice che converge totalmente quando la serie è maggiorata da una successione numerica la cui serie è convergente, tale che |f_n(x)| ≤ a_n ∀x ∈ I, ∀n ∈ N, con il termine generale della successione numerica convergente. Se converge totalmente, ovviamente converge assolutamente.

Un teorema dice che la convergenza totale implica anche la convergenza uniforme.

Serie di potenze

Le serie di potenze sono serie particolari che convergono sempre, almeno in n=0. Se E è diverso da 0 (insieme di convergenza), esso è un intervallo particolare.

Teoremi

Teorema (continuità del limite)

Se la serie di funzioni converge uniformemente in I e per ogni n il termine generale è continuo in I, allora la somma della serie è continua in I.

Teorema (integrabilità del termine)

Se la serie di funzioni converge uniformemente alla funzione limite in f[a, b] ed è continua nello stesso intervallo, allora la somma degli integrali è uguale all’integrale della somma. La serie è integrabile termine a termine in ogni intervallo compatto contenuto nell’intervallo di convergenza.

Teorema (derivabilità per serie)

Se la serie di funzioni converge alla funzione limite in [a, b] ∈ C e la serie delle derivate converge uniformemente in [a, b], allora la derivata della somma è uguale alla somma delle derivate e la successione converge uniformemente in [a, b].

Serie di potenze

Fissato un x₀, valido per ogni n ∈ N, esiste sempre un insieme E di convergenza non vuoto. In questo caso, il centro è x₀. La serie centrata in x₀ converge perché E contiene sempre lo 0.

Teorema di Abel

Se una serie di potenze converge in un punto y ≠ 0, allora:

• La serie converge assolutamente per |x| < |y|, ossia in un intervallo centrato in |x|.