Serie di funzioni

TEOREMA: secondo di Abel.

Data una generica serie di potenze con centro in 0, con raggio di convergenza

, se la serie è convergente in o , allora essa converge

(−ρ)

0< ρ<+ ∞ ρ −ρ

uniformemente in ogni intervallo compatto con (o ) come estremo e

ρ

come l’altro un numero maggiore (o minore) del opposto. Se la serie di

ρ | |

potenze ha quel raggio di convergenza, allora converge per e non

<

x ρ

| |

converge per .

>

x ρ

Quando capita, per studiare una serie di potenze si fa un cambio di variabile

con .

y

Per quello che riguarda la convergenza delle serie e il passaggio dell’integrale,

∈

se :

x R ( )

x x

∞ ∞ n+1

x

∫ ∑ ∫ ∑

n

( )

f t dt= a t dt= a

n n n+1

n=0 n=0

0 0

A seconda della convergenza, come estremo di integrale può essere

x

sostituito con , se la serie converge a si mette come estremo di

ρ ρ −ρ

integrazione superiore, analogo discorso con e con entrambi.

| |

<

Se una serie con raggio di convergenza positivo e limitato e con , è

x ρ

a −ρ

continua in , se converge in (o ), la serie è continua in

(−ρ ρ

, ρ) n

−ρ

(o ).

ρ + ∞

∑ n

( )

Data una serie , tutte le serie derivate avranno lo stesso intervallo di

a x

n

n=0

convergenza, facendo la derivata k-esima avremo

( ) n−k

( ) n−( ) e come serie:

+ +1 −1

k ! a k ! a x … k a x

+1

k k+1 n−k

∞

∑ n−k

( )∗… ( )

+

n n−1 n−k 1 a x

n

n=k

per ogni k appartenente ad N.

+ ∞

∑ n (k)

( ) ( )

Definiamo = , indefinitamente derivabile , avremo

−x

f x a x (x )

f

n 0

n=0 ( )

k ( )

f x

( )

k ( ) 0

a a

( ) ( )

f ' x f ' ' x =k

= , = 2 , , quindi , e se

f x ! a =a

0 0

1 2 0 k k

k!

andiamo a sostituire:

( )

k ( )

∞ f x

∑ 0 k

( )

x−x 0

k !

k=0

Ossia la serie di Taylor generalizzata.

Supponiamo e sia la somma della serie e sia una

ρ ≠0 G(x) g(x) x

funzione generica derivabile indefinite volte in un determinato punto in

0

modo che sia sviluppabile con Taylor, se è un polinomio di grado 1,

n ≥

g( x)

n n

( )

( ) ( )

=G

ciò implica che , inoltre , in quanto in tal modo si

=G ( )

g x x g x x

0 0

annulleranno man mano i vari termini (si può provare manualmente).

Dalla definizione è derivabile in un punto, in un intervallo (in cui è

g G

contenuto quel punto), se prendiamo ad esempio la funzione:

{ −1

2

x

( ) =

g x e per x ≠ 0

0 per x=0

Se sviluppiamo la serie di Mac-Laurin, essa avrà tutti i coefficienti nulli, e in

( )

∈

ogni punto la serie convergerà e = 0, non vale lo stesso per la

G x

x R

prima parte della funzione (serie non di Mac-Laurin). x

Prendiamo una funzione definita in un intervallo , con

(a

g( x) , b) 0

∞

appartenente a questo intervallo e in un intorno I di questo punto, dal

∈C

g ( )

k ( )

∞ f x

∑ 0 k

( ) ∀ ∈

teorema di Taylor sappiamo che = .

, x I

g x ( )

x−x 0

k !

k=0 x

∞

( ) ( )

Proposizione :supponiamo , intorno di e supponiamo che

∈C

g x I 0

| |

n ( ) (le derivate n-esime di sono equilimitate in

g

∃ ∀ ∈ ∀ ∈

>0

M : g x ≤ M , n N , x I

( )

k ( )

∞ f x

∑ 0 k

( ) ∀ ∈ ⊆

I) => = , quindi I , con E intervallo di

g x , x I E

( )

x−x 0

k!

k=0

convergenza della serie. Vediamo qualche esempio:

n , quindi il seno è sviluppabile in

( ) ( ) ( )∨≤ ∈ ∀ ∈

=sin =R

g x x ,∨D sin x 1,n N , x R , I

serie di Taylor, e in particolare compariranno solo derivate n-esime dispari se

prendiamo la serie di Mac-Laurin, in quanto il seno in 0 è 0 e la derivata del

∞ n

(−1 )

∑ +1

2 n

( )=

seno è ciclica, sappiamo poi che .

sin x x

( )

2n+ 1 !

n=0