Serie di Fourier

Taylor vs Fourier

Taylor

Taylor _C^∞: f ∈ C^∞ f ≈ polinomio.

Teoria di Fourier

Polinomio Trigonometrico di funzioni periodiche armoniche: a₀/2 + a_Kcos Kx + b_Ksin Kx, K ∈ ℕ.

Funzione Periodica

Se f è periodica ⇒ f(x + T) = f(x).

Esempio: a₀/2 + a_K cos kx + b_K sin kx ⇒ T_K = 2π/K periodo di 2π (indipendente da K).

Serie Trigonometrica

a₀/2 + ∑_k=1^∞ a_K cos kx + b_K sin kx … ◊◊ = S(x)∴ Converge puntualmente se converge puntualmente la S_K somma parziale: S_K(x) → S(x).

Se f(x) = a₀/2 + ∑_k=1^∞ a_K cos kx + b_K sin kx = S(x) ⇒ a_K = ¹/_π ∫_-π^π f(x) cos kx dx, b_K = ¹/_π ∫_-π^π f(x) sin kx dx, k = 0, 1, 2, 3 …

Taylor vs Fourier

Funzione periodica: Se \( f \) è periodica → \( f(x + T) = f(x) \).

Esempio: \( \frac{a_0}{2} + a_k \cos kx + b_k \sin kx \Rightarrow T_k = \frac{2\pi}{k} \) (periodo di \( \frac{2\pi}{k} \)).

Serie Trigonometrica

\( \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{+\infty} a_k \cos kx + b_k \sin kx + \ldots \) ★ = \( S(x) \)⊗ Converge puntualmente → converge puntualmente le \( S_k(x) \) somme parziali: \( S_k(x) \rightarrow S(x) \).

Se \( f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{+\infty} a_k \cos kx + b_k \sin kx = f(x) \)→ \( a_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos kx \, dx \), \( b_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin kx \, dx \), \( k = 0, 1, 2, 3, \ldots \).

Criterio di sviluppabilità

Si dice che f è C^∞ a tratti se ∃ una partizione a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n+1 tale che:

1. Su [x_i, x_i+1) f è di C^∞ (continua e le derivate prime continue).
2. ∃ f^l(x_i), f^r(x_i) — derivate destra e sinistra finite.

Data una f periodica, integrabile e C^∞ a tratti: ∑ di Fourier = { f(x) se x è punto di continuità, f^l(x) + f^r(x)/2 se x è un punto di discontinuità.

f^r(x) = lim_x→x⁺ f(x) — limite della funzione da destra.

f^l(x) = lim_x→x⁻ f(x) — limite della funzione da sinistra.

f(t) = 2t con t ∈ [0, 2π] ha somma delle serie 2π poiché per t = 0 è un punto di discontinuità.

lim_t→0⁺ f(t)= 0.

lim_t→0^- f(t)= 4π.

La somma delle serie in 3π = 2π perché la funzione, avendo periodo = 2π nel punto t = 3π si comporta come se fosse t = π = punto di continuità → f(2(3π)) = 2π.

Teorema

f periodica e integrabile f ∈ C¹ ⇒ f(x) = Σ di Fourier che converge uniformemente.

Esempio 1

Calcolare la serie di Fourier f(x) = { 1 se -π ≤ x ≤ 0, 2 se 0 ≤ x ≤ π, poi si estende per periodicità.

a_k = 0 → poiché la funzione è "dispari sollevata".

a₀ = 3/2.

b_k = 1/π ∫_-π⁰ sin(Kx) dx + 2/π ∫₀^π sin(Kx) dx = 1/Kπ [ (-1)^k ].

f(x) = 3/2 + 2/π Σ_m=0^∞ 1/2m+1 sin [x(2m+1)] con K = 2m+1.

f(π/2) = 3/2 + 2/π Σ_m=0^∞ 1/2m+1 sin [π/2(2m+1)]/(-1)^m.

3/2 + 2/π Σ_m=0^∞ 1/2m+1 (-1)^m → converge per alternità.

x = π/2 → punto di continuità f(π/2) = 2 → f(π/2) = 2π/4 = 3/2 + 2/π Σ (-1)^m 1/2m+1 1/2m+1 = Σ(-1)^m π/2m+1 → (3/2 = 3/2, π/2 - π/4).