Serie di Fourier

Periodicità delle funzioni

Sia T un numero reale positivo; si dice che una funzione f : R → C è periodica di periodo T se e solo se f(x + T) = f(x) per ogni x in R. Ovviamente, una funzione periodica di periodo T è pure periodica di periodo nT, per ogni n in N. Si può dimostrare che ogni funzione periodica continua non costante ha un minimo periodo (le funzioni costanti ovviamente non lo hanno).

Siano a, b in R, a < b; una qualsiasi funzione f : [a, b[ → C può essere estesa in uno ed un solo modo ad una funzione f : R → C periodica di periodo b-a. Basta porre f(x+n(b-a)) = f(x) per ogni x in [a, b[ ed ogni n in Z (si noti che ogni numero reale può essere rappresentato nella forma x + n(b-a) per un opportuno n). Si osservi che f è continua se e solo se f è continua in [a, b[ e lim f(x) = f(a) per x che tende a b.

Si dice che una funzione f : ]a, b[ → C è continua a tratti se f è continua, salvo al più in un numero finito di punti.

1.2 Identificazione dei Coefficienti di Fourier →Si studia ora la possibilità di approssimare una funzione f : R C periodica di periodo 2πn 1polinomi trigonometrici (x) := a /2 + (a cos kx + b sin kx). Più precisamente,mediante S 0n k kk=1 serie di Fourierci si chiede se si può rappresentare f nella forma (detta in forma trigonometrica)∞a 0 ∀x ∈(a cos kx + b sin kx) R. (1.1)+f (x) = k k2 k=1ed a , b (k = 1, 2, . . .) sono numeri complessi, ed ovviamente dipenderannoI coefficienti a0 k k 2formalmente.da f . Per determinarli si procederà Si

premettono alcune identità, che si pos-sono facilmente verificare usando la rappresentazione con esponenziali complessi delle funzionitrigonometriche:  0 se k = π ∀k, ∈cos kx cos x dx =  N, (1.2)π se k =  = 0−π1 In diversi testi la forma trigonometrica dello sviluppo in serie di Fourier è presentato solo per funzioni avalori reali. La generalizzazione a funzioni a valori complessi è tuttavia immediata.2 Con questo termine si intende che si faranno dei conti senza preoccupparsi troppo del rigore, ad esempiosenza verificare la sussistenza delle condizioni di regolarità. Pertanto i risultati ottenuti saranno a rischio,nondimeno essi possono avere valore euristico, cioè possono fornire delle utili indicazioni circa ciò che potrebbeessere dimostrato rigorosamente; in ogni caso essi possono essere garantiti solo da una analisi più rigorosa.Serie di Fourier 2 0 se k = π ∀k, ∈sin kx sin x dx =  N, (1.3)π se k =  = 0−π  π ∀k,

Supponiamo che la (1.1) valga, e che si possano scambiare le operazioni di serie e di integrazione. Grazie a queste tre identità si ha

Analogamente si ottiene

La prima formula vale anche per a0 {a } {b }

Il passaggio dalla funzione f ai coefficienti di Fourier e è interpretato come un analisi; processo l’operazione inversa che porta dai coefficienti di Fourier alla funzione f rappresenta allora la1.3 Funzioni Pari e Dispari→ −f

Una funzione f : R → C è pari (dispari, resp.) se f(-x) = f(x) (f(-x) = -f(x), ∀x ∈ R → resp.) per ogni x ∈ R. Ogni funzione f : R → C può essere decomposta nella somma di una funzione pari ed una dispari: f(x) = f(x) + f(x), con f(x) = f(-x) pari, f(x) = -f(-x) dispari.

f_p(x) := f(x) := f(x),                                                                                                    &

periodica (con periodo 2π) a tutto R. f è dispari, quindi si può rappresentare come serie di soli seni. Si ha 22 2π - k+1b = x sin kx dx = cos kπ = (-1) per k = 1, 2...,k π k k0 quindi ∞ 2 ∀x ∈] -k+1 sin kx π;, π[. (-1)f (x) = kk=1 → |x|,

Si consideri ora la funzione [-π;, π[ → R : x e sia g la sua estensione periodica a tutto R. Questa è una funzione pari, quindi può essere rappresentata mediante una serie di soli coseni. Quest'ultima funzione e quella dell'esempio precedente coincidono in [0, π[, ed in questo intervallo si possono rappresentare sia come serie di soli seni che come serie di soli coseni! Questo appare meno sorprendente se si considera che i coefficienti della serie di Fourier, in quanto integrali, dipendono dal comportamento della funzione in tutto l'intervallo [-π;, π[. D'altra parte è naturale che due funzioni che coincidono solo in parte

dell’intervallo diperiodicità abbiano due diverse rappresentazioni in serie di Fourier. ∈ 2 2Osservazione. Sia f a valori reali. Per ogni k N, si ponga ρ := a + b e sia θ tale chek kk ksin θ = a /ρ e cos θ = b /ρ . Si può allora riscrivere la serie (1.1) nella forma equivalentek k k k k k∞ ∞ aa 0 0 ∀x ∈(a cos kx + b sin kx) = ρ sin(kx + θ ) R. (1.7)+ +k k k k2 2k=1 k=1ampiezza fasee θ sono dette rispettivamente e della frequenza k-esima.ρk k →(di convergenza) Sia periodica di periodo continua a trattiTeorema 1.1 f : R C 2π,insieme alla sua derivata. Allora la sua serie di Fourier converge puntualmente alla funzione ∞a1 0˜ ∀x ∈lim f (y) + lim f (y) = (a cos kx + b sin kx) R. (1.8)+f (x) := k k2 2−+y→x y→x k=1˜Si noti che f (x) = f (x) in ogni punto x in cui f è continua.1.4 Rappresentazione Complessa delle Serie di Fourier∞La serie di

Fourier f (x) = a /2 + (a cos kx + b sin kx) può essere espressa equivalentemente come:

F(x) = Σ (ak cos(kx) + bk sin(kx))

utilizzando esponenziali complessi:

F(x) = Σ (ck e^(ikx))

dove ck = (ak - ibk)/2

Questa definizione di somma di una serie è detta nel senso del valore principale e si indica anche con V.P.

α .V.P. −kk k kn→∞k∈Z k=−n k=0 k=1 := k, per ogni

Ma il viceversa non sempre vale. Un semplice controesempio è fornito da αk +∞ +∞∈k Z; infatti V.P. k = 0, mentre k e (−k) ovviamente divergono.

k∈Z k=0 k=1 −c= c (c = , risp.) per

Si verifica facilmente che se f è pari (dispari, risp.) allora c −n −nn n∈ogni n Z. {c }

Anche qui, il passaggio dalla funzione f ai coefficienti di Fourier è interpretato comekanalisi;un processo l’operazione inversa che porta dai coefficienti di Fourier alla funzione f èsintesi.interpretato come

Osservazione. In analogia con (1.7), nel caso di una funzione f a valori reali si noti che per∈ ≥ ∈iϕogni k Z, c = r e , per r 0 e ϕ R opportuni. Pertantokk k k k )ikx i(kx+ϕc e = r e . (1.10)kk kk∈Z k∈Z→(di Parseval) Siano periodiche di periodo sviluppabili in serie

Teorema 1.2 f, g : R C 2π, π π|f |g(x)|2 2 Sia inoltredi