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Serie di Fourier 4

ovvero, per la (1.6)

1 π −ikx ∀k ∈

c := f (x)e dx Z, (1.9)

k 2π −π

si ha

n

a

0 ikx ikx

(a cos kx + b sin kx) = c e := lim c e .

f (x) = + k k k k

2 n→∞

k=1 k∈Z k=−n

valore principale,

Questa definizione di somma di una serie è detta nel senso del e si indica

ikx

anche con V.P. c e .

k

k∈Z

+∞ +∞

Si noti che la convergenza di due serie α e α implica quella della serie

−k

k

k=0 k=1

+∞ +∞

n

α := lim α = α + α .

V.P. −k

k k k

n→∞

k∈Z k=−n k=0 k=1 := k, per ogni

Ma il viceversa non sempre vale. Un semplice controesempio è fornito da α

k

+∞ +∞

k Z; infatti V.P. k = 0, mentre k e (−k) ovviamente divergono.

k∈Z k=0 k=1 −c

= c (c = , risp.) per

Si verifica facilmente che se f è pari (dispari, risp.) allora c −n −n

n n

ogni n Z. {c }

Anche qui, il passaggio dalla funzione f ai coefficienti di Fourier è interpretato come

k

analisi;

un processo l’operazione inversa che porta dai coefficienti di Fourier alla funzione f è

sintesi.

interpretato come

Osservazione. In analogia con (1.7), nel caso di una funzione f a valori reali si noti che per

∈ ≥ ∈

ogni k Z, c = r e , per r 0 e ϕ R opportuni. Pertanto

k

k k k k

)

ikx i(kx+ϕ

c e = r e . (1.10)

k

k k

k∈Z k∈Z

(di Parseval) Siano periodiche di periodo sviluppabili in serie

Teorema 1.2 f, g : R C 2π,

π π

|f |g(x)|

2 2 Sia inoltre

di Fourier e tali che (x)| dx, dx < +∞.

−π −π

a 0 ikx

(a cos kx + b sin kx) = c e ,

+

f (x) = k k k

2 k=1 k∈Z

ã 0 ikx

(ã cos kx + b̃ sin kx) = c̃ e .

g(x) = + k k k

2 k=1 k∈Z

Allora ∞

π

π ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

f (x)g(x) dx = ã + π (a ã + b ) = 2π c c̃ ; (1.11)

a 0 k k k

0 k k k

2

−π k=1 k∈Z

in particolare ∞

π

π |f | | |b | |c |

|a

2 2 2 2 2

(x)| dx = + π (|a + ) = 2π . (1.12)

0 k k k

2

−π k=1 k∈Z ∗ in

Dimostrazione. Per dimostrare la prima uguaglianza di (1.11), basta scrivere f (x)g(x)

termini dei coefficienti di Fourier, sviluppare il prodotto, quindi integrare ed usare le proprieta’

Serie di Fourier 5

(1.2), (1.3), (1.4). Analogamente, per dimostrare la seconda uguaglianza di (1.11), preliminar-

mente si osserva che 

 2π se k = ,

π i(k−)x

e dx = 

−π 0 se k = .

Quindi

π π

∗ ∗ −ix

ikx

f (x)g(x) dx = c e c̃ e dx

k

−π −π k

π

∗ ∗ |c |

2

i(k−)x

= c c̃ e dx = 2π c c̃ = 2π .

k k k

k

−π

k k k

Infine, ponendo g = f in (1.11) si ottiene (1.12).

Derivazione ed integrazione trasformano esponenziali complessi in esponenziali complessi,

mentre esse trasformano i seni in coseni e viceversa. Questo rappresenta un vantaggio per

la rappresentazione delle serie di Fourier mediante esponenziali complessi, rispetto a quella

mediante seni e coseni. Per contro l’uso di seni e coseni fornisce una rappresentazione di Fourier

reale per le funzioni reali, cosa che evidentemente non avviene usando esponenziali complessi.

* Il Punto di Vista dell’Analisi Funzionale. In base a tale impostazione le funzioni

sono considerate come punti di uno spazio astratto; questo permette di dare un’interpretazione

|f

π 2

geometrica a diverse proprietà analitiche. Ad esempio, l’ “energia” (x)| dx può essere

−π

considerata come quadrato della distanza della funzione f dalla funzione identicamente nulla,

π ∗

e l’integrale f (x)g(x) dx può essere considerato come prodotto scalare tra le funzioni f e

−π →

g. In questo caso lo spazio astratto consiste nell’insieme delle funzioni f : R C periodiche

|f

π 2

di periodo 2π e tali che (x)| dx < +∞. Tra l’altro, questo è uno spazio vettoriale: la

−π

somma tra due funzioni ed il prodotto per uno scalare sono definite in modo ovvio. ˜

Funzioni con Periodo Diverso da 2π. Se f è periodica di periodo T = 2π, allora f (y) :=

˜

f (T y/2π) è una funzione periodica di periodo 2π. Si assuma che f sia sviluppabile in serie di

Fourier: ∞

a 0

˜ ∀y ∈

f (y) = (a cos ky + b sin ky) R.

+ k k

2 k=1 →

Allora, mediante la traformazione di variabile y x := T y/2π, si ha

a 2kπx 2kπx

2πx 0

˜ ∀x ∈

= a cos sin R,

f (x) = f + + b

k k

T 2 T T

k=1

con

2

1 2kπx

π T /2

˜

a f (y) cos ky dy =

= f (x) cos dx,

k π T T

−π −T /2 per k = 1, 2, . . . ,

2

1 2kπx

π T /2

˜

f (y) sin ky dy =

= f (x) sin dx

b k π T T

−π −T /2

. Pertanto tutti i risultati precedenti si estendono facilmente

e la prima formula vale anche per a

0

a f . Analogamente

2πx

˜ ∀x ∈

2iπkx/T

f (x) = f = c e R.

k

T k∈Z


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher valeria0186 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Metodi matematici e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Ferone Vincenzo.

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