Serie di Fourier

Serie di Fourier

Funzioni periodiche

Sia T un numero reale positivo; si dice che una funzione f : R → C è periodica di periodo T se e solo se f (x + T ) = f (x) per ogni x ∈ R. Ovviamente, una funzione periodica di periodo T è pure periodica di periodo nT, per ogni n ∈ N. Si può dimostrare che ogni funzione periodica continua non costante ha un minimo periodo (le funzioni costanti ovviamente non lo hanno).

Siano a, b ∈ R, a < b; una qualsiasi funzione f : [a, b[ → C può essere estesa in uno ed un solo modo ad una funzione f~ : R → C periodica di periodo b−a. Basta porre f (x+n(b−a)) := f (x) per ogni x ∈ [a, b[ ed ogni n ∈ Z (si noti che ogni numero reale può essere rappresentato nella forma x + n(b − a) per un opportuno n).

Si osservi che f~ ∈ C (R) se e solo se f ∈ C ([a, b[) e lim f (x) = f (a) quando x → b.

Si dice che una funzione f : ]a, b[ → C è continua a tratti se f è continua, salvo al più in un numero finito di punti, nei quali comunque esistono finiti il limite sinistro e quello destro (uno solo dei due in a e b). Si dice che una funzione f : R → C è continua a tratti se lo è in ogni intervallo. Si noti che una funzione continua a tratti è integrabile in ogni intervallo limitato.

Ad esempio, l’estensione periodica della funzione [0, 1[ → R : x → x è continua a tratti, mentre la funzione tangente non lo è.

Identificazione dei coefficienti di Fourier

Si studia ora la possibilità di approssimare una funzione f : R → C periodica di periodo 2π mediante polinomi trigonometrici S_n(x) := a₀/2 + ∑ (a_k cos kx + b_k sin kx). Più precisamente, ci si chiede se si può rappresentare f nella forma (detta in forma trigonometrica)

f (x) = a₀/2 + ∑_k=1^∞ (a_k cos kx + b_k sin kx) ∀x ∈ R.

I coefficienti a₀, a_k, b_k (k = 1, 2, ...) sono numeri complessi, ed ovviamente dipenderanno da f. Per determinarli si procederà formalmente. Si premettono alcune identità, che si possono facilmente verificare usando la rappresentazione con esponenziali complessi delle funzioni trigonometriche:

• ∫_−π^π cos kx cos x dx = 0 se k ≠ 1 e π se k = 1, ∀k ∈ N.
• ∫_−π^π sin kx sin x dx = 0 se k ≠ 1 e π se k = 1, ∀k ∈ N.
• ∫_−π^π cos kx sin x dx = 0, ∀k ∈ N.

Supponiamo che la (1.1) valga, e che si possano scambiare le operazioni di serie e di integrazione. Grazie a queste tre identità si ha

∫_−π^π f (x) cos x dx = ∫_−π^π (a₀/2 + ∑ (a_k cos kx + b_k sin kx)) cos x dx.