Segnali e spettro

Segnali elettrici

Caratteristiche dei segnali

I segnali elettrici si ottengono per trasformazione (trasduzione) di grandezze fisiche, come ad esempio la temperatura ed il suono, fatta mediante l'uso di trasduttori come i termistori ed i microfoni. I segnali che si ottengono sono evidentemente diversi tra loro perché dipendono da come la grandezza fisica evolve nel tempo; essi danno origine a grafici che rappresentano come la grandezza varia al passare del tempo. In tali grafici si possono individuare dei valori tramite i quali identificare il tipo di segnale.

Se il segnale si ripete regolarmente nel tempo si parla di segnale periodico e la sua evoluzione è perfettamente prevedibile. Un segnale periodico è caratterizzato da:

• Forma
• Ampiezza
• Periodo (e grandezze associate)

Forma: Dipende dalla parte elementare che si ripete nel tempo (triangolare, rettangolare, sinusoidale).

Ampiezza: A ogni istante il segnale assume un valore diverso (valore istantaneo) e si possono individuare:

• Il valore massimo (quello più elevato)
• Il valore minimo (quello più piccolo)
• Il valore picco-picco (cioè la differenza tra i due precedenti) che individua la massima variazione del segnale in esame.

In mancanza di specifica, per ampiezza si intende il valore massimo.

Periodo: Rappresenta la durata della parte elementare che si ripete nel tempo, ovvero rappresenta l'intervallo di tempo dopo il quale la parte elementare si ripete. Il periodo si indica con T e si misura in secondi (s) ed ovviamente sottomultipli (milli, micro, nano, pico).

Associati al periodo sono la frequenza e la lunghezza d'onda. La frequenza rappresenta il numero di periodi contenuti in un secondo, si indica solitamente con la lettera f e si calcola facendo il reciproco del periodo: f = 1/T. L'unità di misura della frequenza è il reciproco del secondo che si chiama hertz (Hz).

Lunghezza d'onda: Corrisponde allo spazio percorso dal segnale elettrico (cioè dall'onda) in un tempo uguale al suo periodo. La lunghezza d'onda si indica con la lettera greca λ (lambda) e si calcola moltiplicando il periodo per la velocità di propagazione (v) dell'onda nel mezzo che attraversa: λ = v · T = v/f. L'unità di misura della lunghezza d'onda è il metro (m, mm, km).

Se il segnale nel suo variare assume valori solo positivi o solo negativi si dice unidirezionale, altrimenti assumendo valori di segno diverso si dice bidirezionale. Un segnale può essere inoltre alternato se la media dei valori che assume in un periodo (valore medio) è uguale a zero.

Calcolo del valore medio e efficace

Per calcolare il valore medio di un segnale periodico (detto anche componente continua del segnale) si può procedere in vari modi, ad esempio si calcola l'area sottesa dal grafico, ovvero compresa tra il grafico e l’asse delle ascisse, considerando un intervallo di tempo pari al suo periodo e la si distribuisce su tutto il periodo. Si calcola cioè l’area totale (area positiva Ap più area negativa An) e la si divide per il periodo del segnale: Vmed = (Ap + An)/T.

Se il segnale non è alternato è possibile renderlo alternato sottraendo al segnale la componente continua (valore medio) ovvero graficamente bisogna traslarlo verticalmente di un valore pari al valore medio cambiato di segno (se Vmed è positivo lo si trasla verso il basso, mentre se Vmed è negativo lo si trasla verso l’alto).

Di un segnale periodico è infine possibile determinare un ulteriore valore chiamato valore efficace (V) che riveste una particolare importanza perché, relativamente ai segnali elettrici (ad esempio tensioni e correnti), è quello normalmente rilevato dagli strumenti di misura. Per capire il significato fisico del valore efficace si può dire che il valore efficace rappresenta quel valore costante (continuo) che nello stesso intervallo di tempo produce gli stessi effetti termici (es. energia dissipata su una resistenza) della grandezza variabile di cui si sta calcolando il valore efficace.

Per calcolare il valore efficace si può procedere nel seguente modo:

• Si determina il grafico corrispondente al quadrato del segnale periodico in esame
• Si calcola l’area sottesa da questo grafico in un periodo (A²)
• Si divide l’area trovata per il periodo del segnale originario (si ottiene così il valore quadratico medio)
• Si calcola infine il valore efficace eseguendo la radice quadrata del valore ottenuto al punto precedente. V = \(\sqrt{\frac{A2}{T}}\)

Nel mondo anglosassone il valore efficace è definito come RMS, dalle parole Root Mean Square, ovvero radice della media dei quadrati.

Segnale sinusoidale

Un particolare segnale periodico è il segnale sinusoidale (caratterizzato dalla successione di “parti elementari” a forma di sinusoide).

s(t) = S_max · sen(ω · t + α)

Dove:

• S_max rappresenta il valore massimo che la grandezza sinusoidale può assumere (quando il seno vale 1)
• ω è la velocità angolare o pulsazione (unità di misura rad/s) che dipende dalla frequenza della sinusoide secondo la relazione: ω = 2 · π · f.
• α rappresenta invece la fase iniziale della sinusoide.

Possiamo osservare come la sinusoide rappresentata in figura sia un segnale bidirezionale (assume valori positivi e negativi) ed alternato (area sottesa positiva uguale a quella negativa). Cambiando il valore della fase iniziale α il grafico della sinusoide si sposta (trasla orizzontalmente) verso sinistra per valori di fase positivi (in anticipo) o verso destra per valori di fase negativi (in ritardo).

Per una sinusoide alternata possiamo quindi dire che il valore medio è nullo mentre il valore efficace si può calcolare dividendo il suo valore massimo per radice di 2: S = S_max / √2.

Più sinusoidi uguali per forma, ampiezza e periodo possono ancora essere tra loro "diverse" se messe a confronto nel dominio del tempo per vedere se la loro evoluzione è contemporanea oppure no. Se l'evoluzione è contemporanea e quindi entrambi i segnali raggiungono i massimi dello stesso segno negli stessi istanti allora i due segnali saranno identici. Se ciò non avviene si dice che i segnali non sono in fase (sono tra di loro sfasati). Il confronto tra le fasi ha senso solo se i segnali sono hanno la stessa frequenza (isofrequenziali), mentre l'ampiezza non ha nessun ruolo nella relazione di fase tra i segnali.

Se le sinusoidi sono sfasate di 180° (mezzo periodo) si dice che sono in opposizione, mentre si dice che le sinusoidi sono in quadratura se sono sfasate di 90° (un quarto di periodo).

Somma di sinusoidi

La somma di due o più segnali viene ottenuta sommando istante per istante le rispettive ampiezze istantanee. Un caso particolare è rappresentato dalla somma di segnali sinusoidali. Si può dimostrare che sommando sinusoidi aventi la stessa frequenza si ottiene come risultato ancora una sinusoide avente la stessa frequenza anche se le sinusoidi sommate sono sfasate. Mentre se le sinusoidi sommate hanno frequenze diverse il risultato non è più una sinusoide.

Spettro e banda dei segnali

Se come detto sommando segnali sinusoidali a frequenze diverse otteniamo un segnale non sinusoidale è vero anche che un segnale non sinusoidale può essere considerato come la somma di più segnali sinusoidali ciascuno dei quali caratterizzato da una propria frequenza, ampiezza e fase. L'insieme delle sinusoidi che compongono il segnale va a definire il suo spettro. La teoria relativa fu sviluppata dal matematico francese Fourier. Ma quali sono i segnali sinusoidali che vanno sommati per ottenere il segnale desiderato? Bisogna distinguere tra segnali periodici e non periodici.

Nel caso di segnali periodici possiamo così riassumere: Dato un segnale periodico (non sinusoidale) di periodo T' e frequenza f' (frequenza fondamentale o prima armonica) è possibile scomporlo nella somma di una componente continua (se il segnale non è alternato) e di infinite sinusoidi aventi frequenze multiple della frequenza fondamentale (f', 2f', 3f', 4f', 5f' ....... prima, seconda, terza, quarta, quinta armonica) ed ampiezza e fase iniziale da calcolare con opportune formule.

Quindi ciascuna componente sinusoidale dello spettro è individuata da tre parametri (frequenza, ampiezza e fase iniziale). Risulta comodo rappresentare graficamente le componenti nel dominio della frequenza, invece che nel dominio del tempo, attraverso due diagrammi: il diagramma delle ampiezze e quello delle fasi. Per entrambi l'asse delle ascisse rappresenta la frequenza. Quindi lo spettro delle ampiezze rappresenta quali ampiezze hanno le sinusoidi alle diverse frequenze, mentre quello delle fasi rappresenta la fase iniziale alle diverse frequenze.

Gli spettri che si ottengono per i segnali periodici si dicono discreti nel senso che tra una frequenza e quelle adiacenti non c'è niente (infatti sono presenti solo le sinusoidi alle frequenze multiple della fondamentale). Ad esempio se prendiamo un'onda quadra alternata con periodo 1 ms avremo come frequenza fondamentale 1 KHz e quindi nello spettro saranno presenti solo le sinusoidi alle frequenze multiple di 1 KHz (2 KHz, 3 KHz, 4KHz, 5 KHz) con opportune ampiezze e fasi. In realtà le armoniche pari non esistono perché dai calcoli risultano avere ampiezza nulla. Si vede inoltre che le ampiezze delle armoniche presenti (cioè quelle dispari) hanno ampiezze che decrescono al crescere dell'ordine dell'armonica.

Quindi teoricamente bisogna sommare infinite sinusoidi per ottenere l'onda quadra desiderata, ma in realtà anche se ne consideriamo solo una parte si può ottenere una forma d'onda accettabile. Lo si può vedere dalle seguenti figure in cui si sommano prima solo due armoniche (prima e terza). Poi si sommano 4 armoniche (fondamentale, terza, quinta e settima) e si vede come la somma assomigli di più all'onda quadra desiderata. Infine possiamo vedere come si modifica il segnale, ed il suo spettro delle ampiezze, se aumentiamo il numero di armoniche arrivando fino a cento.

Il numero di sinusoidi che si devono considerare dipende dalla precisione con cui vogliamo riprodurre il segnale in esame e permette di definire la banda del segnale ovvero l'intervallo di frequenze in cui sono contenute le sinusoidi aventi ampiezza significativa. Teoricamente infatti le sinusoidi che compongono un segnale periodico sono infinite e quindi anche l'intervallo di frequenza in cui sono presenti è teoricamente infinito. Ma siccome all'aumentare della frequenza la loro ampiezza man mano diminuisce non tutte le componenti spettrali sono veramente importanti per definire la forma del segnale: quelle con ampiezza molto piccola si possono trascurare, potendo così determinare la banda (di larghezza finita) del segnale.

Nella realtà i segnali più frequenti non sono quelli periodici. Infatti quando si trasmette un'informazione il segnale elettrico corrispondente non è certamente periodico; ne sono un esempio il segnale trasmesso da un telefono portatile (come anche da quello fisso) oppure il segnale che viene poi diffuso dagli altoparlanti di un impianto Hi-Fi. Gli spettri dei segnali non periodici sono composti da bande continue di sinusoidi che contengono tutte le infinite sinusoidi presenti senza spazi vuoti. Per questo motivo gli spettri di tali segnali si definiscono continui. Per poterli definire e disegnare si fa sempre riferimento alla teoria sviluppata da Fourier che non rientra però nei nostri obiettivi.

Se volessimo rappresentare graficamente uno spettro continuo associando ad ogni sinusoide una riga spettrale dovremmo colorare senza spazi vuoti tutto l'intervallo di frequenze interessato dallo spettro del segnale. In pratica si rappresenta unicamente la riga continua (chiamata inviluppo) che si ottiene unendo tutti gli estremi delle singole righe (infinite in un qualsiasi intervallo) appartenenti allo spettro. La banda occupata dal segnale può essere calcolata come differenza tra la massima e la minima frequenza utile: B = f_max - f_min.

Se consideriamo lo spettro di ampiezza di un segnale radio AM (modulato in ampiezza) la banda totale occupata risulta pari al doppio della massima frequenza dell'informazione (f_max). Nello spettro di alcuni segnali possiamo anche individuare più bande corrispondenti a componenti diverse del segnale trasmesso. Ne è un esempio il segnale trasmesso sulla linea telefonica (doppino telefonico) di un utente con collegamento ADSL in cui si possono individuare la banda fonica (o vocale, che contiene il segnale corrispondente alla voce della comunicazione telefonica) e le due bande Upload (o Upstream) e Download (o Downstream) della trasmissione digitale (collegamento internet).

Curva di risposta di un sistema

Ogni dispositivo e apparato elettronico è in grado di manipolare i segnali che gli vengono applicati in ingresso svolgendo la funzione per cui è progettato ma con dei limiti in frequenza. Cioè non è in grado di manipolare segnali con spettri che tendono all'infinito. Questi limiti sono chiamati frequenze di taglio, inferiore e superiore, che delimitano l'intervallo di frequenze che il sistema è in grado di elaborare. La differenza tra queste due frequenze rappresenta la larghezza della banda passante del sistema.

Quindi se dobbiamo manipolare un segnale la sua banda dovrà essere completamente contenuta nella banda del sistema in modo tale che tutte le frequenze appartenenti al suo spettro vengano manipolate allo stesso modo. In caso contrario se lo spettro del segnale in ingresso va oltre la banda del sistema il segnale che si otterrà in uscita risulterà distorto, cioè con una forma diversa rispetto al segnale applicato.

Ad esempio un amplificatore audio dovrà essere progettato per lavorare correttamente (quindi introdurre un'amplificazione tale da fornire in uscita un segnale più grande di quello applicato al suo in ingresso) alle frequenze che caratterizzano un segnale acustico (da circa 20 Hz a circa 20 kHz), mentre non ci interessa che amplifichi sinusoidali a frequenze inferiori (infrasuoni) o superiori (ultrasuoni) alla banda audio indicata.

Il concetto di banda passante ben si adatta ai sistemi filtranti cioè quei sistemi che hanno il compito di selezionare quali frequenze "lasciare passare". Mediante l'uso dei filtri si riesce ad esempio a delimitare la banda dei segnali eliminando quelle sinusoidali non significative, che non interessano, per definire la forma del segnale, facendo così diventare finita (limitata) la banda.