scomposizioni

Tabella di riepilogo per le scomposizioni

Prima operazione da svolgere e' il raccoglimento a fattor comune poi si contano i termini

N. Scomposizioni possibili

termini  Differenza di quadrati: (differenza di potenze pari)

a -b =(a+b)(a-b)

2 2

 Somma di cubi (somma di potenze dispari)

2 x + a = (x+a)(x -ax+a )

3 3 2 2

termini  Differenza di cubi (differenza di potenze dispari)

x - a = (x-a)(x +ax+a )

3 3 2 2

 Caso particolare: somma di potenze pari

 Quadrato del binomio

a +2ab+b = (a+b)

2 2 2

3  Trinomio notevole

termini x +5x+6=(x+2)(x+3)

2

 Ruffini

 Cubo del binomio

a +3a b+3ab +b = (a+b)

3 2 2 3 3

 Raccoglimento a fattor comune parziale

4 ax+ay +bx+by= a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)

termini  Raggruppamento

 Ruffini

 Raggruppamenti

5 

termini Ruffini

 Quadrato del trinomio

a +b +c +2ab+2ac+2bc=(a+b+c)

2 2 2 2

 Raccoglimento parziale

6 ax+bx+ay+by+az+bz= x(a+b)+y(a+b)

termini +z(a+b)=(a+b)(x+y+z)

 Raggruppamento

 Ruffini

Differenza di quadrati

Prendiamo il prodotto notevole somma di due monomi per la loro differenza:

(a+b)(a-b)=a -b

2 2

Se lo scriviamo a rovescio otteniamo una scomposizione:

a -b =(a+b)(a-b)

2 2

Cioe' se ho il segno meno fra i quadrati di due oggetti posso scomporre come il prodotto

fra la somma dei due oggetti e la loro differenza

Come esempio scomponiamo:

9x -4y =

2 2

9x 3x

e' il quadrato di

2

4y 2y

e' il quadrato di

2 (3x +

in mezzo c'e' il segno meno quindi faccio il prodotto fra la somma e la differenza

2y)·(3x - 2y)

In definitiva la scomposizione e'

9x -4y =(3x+2y)(3x-2y)

2 2

La differenza fra i quadrati di due monomi si scompone

Regola:

moltiplicando la somma dei due monomi per la loro differenza

Somma di potenze dispari

Cercheremo la regola per scomporre tutte quelle potenze del tipo

x + a n

per dispari, cioe' ad esempio

n n

x + a =

3 3

x + a =

5 5

x + a =

7 7

.......... a

dove al posto di possiamo pensare un numero; per trovare la regola di scomposizione

proviamo a scomporre con Ruffini e vediamo se riusciamo ad individuare delle

regolarita' come nella schermata precedente

Iniziamo a scomporre

x + a =

3 3 a (x-a); (x+a)

essendo il termine noto il possibile divisore di Ruffini sara' del tipo

3

(x-a)

Provo a dividere per

(x-a) ; P(a)=a + a ≠0

3 3

(x+a) ; P(-a)=(-a) + a =-a + a =0

3 3 3 3

(x+a)

Essendo il resto zero e' un divisore;

eseguo la divisione

ottengo

x + a = (x+a)(x -ax+a )

3 3 2 2

Proviamo ora a scomporre

x + a =

5 5

(x-a) ; P(a)=a + a ≠0

5 5

(x+a) ; P(-a)=(-a) + a = -a + a =0

5 5 5 5

(x+a)

Essendo il resto zero e' un divisore;

eseguo la divisione

ottengo

x + a = (x+a) (x -ax +a x -a x +a )

5 5 4 3 2 2 3 4

Ora senza eseguire Ruffini ma tenendo presenti le due scomposizioni

x + a = (x+a) (x -ax+a )

3 3 2 2

x + a = (x+a) (x -ax +a x -a x +a )

5 5 4 3 2 2 3 4

Voglio scomporre

x + a = (x+a)

Intanto il divisore sara'

7 7

x + a = (x+a) (.....)

7 7

osserviamo che dentro parentesi al posto dei puntini devo mettere il primo termine

x

abbassato di un grado, cioe' poi man mano devo fare un polinomio ordinato

6

x a

abbassando la potenza della ed aumentando la potenza della ed i segni sono

alternati: uno positivo e l'altro negativo ..

quindi

x + a = (x+a) (x -ax +a x -a x +a x -a x +a )

7 7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6

una somma di potenze dispari e' uguale al prodotto di un

Regola:

binomio dato dalla somma delle basi per un polinomio ordinato e

completo ottenuto abbassando di un grado il primo termine, poi

via via abbassando di un grado il primo ed aumentando di un

grado il secondo ed i segni sono alternati

Per esercizio prova a scomporre:

x + a = poi controlla il risultato

9 9 Differenza di potenze dispari

Cercheremo la regola per scomporre tutte quelle potenze del tipo

x - a n

per dispari, cioe' ad esempio

n n

x - a =

3 3

x - a =

5 5

x - a =

7 7

.......... a

dove al posto di possiamo pensare un numero; per trovare la regola di scomposizione

proviamo a scomporre con Ruffini e vediamo se riusciamo ad individuare delle

regolarita'

Iniziamo a scomporre

x - a =

3 3 a (x-a); (x+a)

essendo il termine noto il possibile divisore di Ruffini sara' del tipo

3

(x-a)

Provo a dividere per

(x-a) ; P(a)=a - a =0

3 3

(x-a)

Essendo il resto zero e' un divisore;

eseguo la divisione

ottengo

x - a = (x-a)(x +ax+a )

3 3 2 2

Proviamo ora a scomporre

x - a =

5 5

(x-a) ; P(a)=a - a =0

5 5

(x-a)

Essendo il resto zero e' un divisore;

eseguo la divisione

ottengo

x - a = (x-a) (x +ax +a x +a x +a )

5 5 4 3 2 2 3 4

Ora senza eseguire Ruffini ma tenendo presenti le due scomposizioni

x - a = (x-a) (x +ax+a )

3 3 2 2

x - a = (x-a) (x +ax +a x +a x +a )

5 5 4 3 2 2 3 4

Voglio scomporre

x - a = (x-a)

Intanto il divisore sara'

7 7

x - a = (x-a) (.....)

7 7

osserviamo che dentro parentesi al posto dei puntini devo mettere il primo termine

x

abbassato di un grado, cioe' poi man mano devo fare un polinomio ordinato

6

x a

abbassando la potenza della ed aumentando la potenza della ed i segni sono tutti

positivi

quindi

x - a = (x-a) (x +ax +a x +a x +a x +a x +a )

7 7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6

una differenza di potenze dispari e' uguale al prodotto di un

Regola:

binomio dato dalla differenza delle basi per un polinomio ordinato

e completo ottenuto abbassando di un grado il primo termine, poi

via via abbassando di un grado il primo ed aumentando di un

grado il secondo ed i segni sono tutti positivi

Per esercizio prova a scomporre:

x - a =

9 9 Differenza di potenze dispari

Cercheremo la regola per scomporre tutte quelle potenze del tipo

x - a n

per dispari, cioe' ad esempio

n n

x - a =

3 3

x - a =

5 5

x - a =

7 7

.......... a

dove al posto di possiamo pensare un numero; per trovare la regola di scomposizione

proviamo a scomporre con Ruffini e vediamo se riusciamo ad individuare delle

regolarita'

Iniziamo a scomporre

x - a =

3 3 a (x-a); (x+a)

essendo il termi