scomposizioni

Voglio scomporre

x + a = (x+a)

Intanto il divisore sara'

7 7

x + a = (x+a) (.....)

7 7

osserviamo che dentro parentesi al posto dei puntini devo mettere il primo termine

x

abbassato di un grado, cioe' poi man mano devo fare un polinomio ordinato

6

x a

abbassando la potenza della ed aumentando la potenza della ed i segni sono

alternati: uno positivo e l'altro negativo ..

quindi

x + a = (x+a) (x -ax +a x -a x +a x -a x +a )

7 7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6

una somma di potenze dispari e' uguale al prodotto di un

Regola:

binomio dato dalla somma delle basi per un polinomio ordinato e

completo ottenuto abbassando di un grado il primo termine, poi

via via abbassando di un grado il primo ed aumentando di un

grado il secondo ed i segni sono alternati

Per esercizio prova a scomporre:

x + a = poi controlla il risultato

9 9 Differenza di potenze dispari

Cercheremo la regola per scomporre tutte quelle potenze del tipo

x - a n

per dispari, cioe' ad esempio

n n

x - a =

3 3

x - a =

5 5

x - a =

7 7

.......... a

dove al posto di possiamo pensare un numero; per trovare la regola di scomposizione

proviamo a scomporre con Ruffini e vediamo se riusciamo ad individuare delle

regolarita'

Iniziamo a scomporre

x - a =

3 3 a (x-a); (x+a)

essendo il termine noto il possibile divisore di Ruffini sara' del tipo

3

(x-a)

Provo a dividere per

(x-a) ; P(a)=a - a =0

3 3

(x-a)

Essendo il resto zero e' un divisore;

eseguo la divisione

ottengo

x - a = (x-a)(x +ax+a )

3 3 2 2

Proviamo ora a scomporre

x - a =

5 5

(x-a) ; P(a)=a - a =0

5 5

(x-a)

Essendo il resto zero e' un divisore;

eseguo la divisione

ottengo

x - a = (x-a) (x +ax +a x +a x +a )

5 5 4 3 2 2 3 4

Ora senza eseguire Ruffini ma tenendo presenti le due scomposizioni

x - a = (x-a) (x +ax+a )

3 3 2 2

x - a = (x-a) (x +ax +a x +a x +a )

5 5 4 3 2 2 3 4

Voglio scomporre

x - a = (x-a)

Intanto il divisore sara'

7 7

x - a = (x-a) (.....)

7 7

osserviamo che dentro parentesi al posto dei puntini devo mettere il primo termine

x

abbassato di un grado, cioe' poi man mano devo fare un polinomio ordinato

6

x a

abbassando la potenza della ed aumentando la potenza della ed i segni sono tutti

positivi

quindi

x - a = (x-a) (x +ax +a x +a x +a x +a x +a )

7 7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6

una differenza di potenze dispari e' uguale al prodotto di un

Regola:

binomio dato dalla differenza delle basi per un polinomio ordinato

e completo ottenuto abbassando di un grado il primo termine, poi

via via abbassando di un grado il primo ed aumentando di un

grado il secondo ed i segni sono tutti positivi

Per esercizio prova a scomporre:

x - a =

9 9 Differenza di potenze dispari

Cercheremo la regola per scomporre tutte quelle potenze del tipo

x - a n

per dispari, cioe' ad esempio

n n

x - a =

3 3

x - a =

5 5

x - a =

7 7

.......... a

dove al posto di possiamo pensare un numero; per trovare la regola di scomposizione

proviamo a scomporre con Ruffini e vediamo se riusciamo ad individuare delle

regolarita'

Iniziamo a scomporre

x - a =

3 3 a (x-a); (x+a)

essendo il termine noto il possibile divisore di Ruffini sara' del tipo

3

(x-a)

Provo a dividere per

(x-a) ; P(a)=a - a =0

3 3

(x-a)

Essendo il resto zero e' un divisore;

eseguo la divisione

ottengo

x - a = (x-a)(x +ax+a )

3 3 2 2

Proviamo ora a scomporre

x - a =

5 5

(x-a) ; P(a)=a - a =0

5 5

(x-a)

Essendo il resto zero e' un divisore;

eseguo la divisione

ottengo

x - a = (x-a) (x +ax +a x +a x +a )

5 5 4 3 2 2 3 4

Ora senza eseguire Ruffini ma tenendo presenti le due scomposizioni

x - a = (x-a) (x +ax+a )

3 3 2 2

x - a = (x-a) (x +ax +a x +a x +a )

5 5 4 3 2 2 3 4

Voglio scomporre

x - a = (x-a)

Intanto il divisore sara'

7 7

x - a = (x-a) (.....)

7 7

osserviamo che dentro parentesi al posto dei puntini devo mettere il primo termine

x

abbassato di un grado, cioe' poi man mano devo fare un polinomio ordinato

6

x a

abbassando la potenza della ed aumentando la potenza della ed i segni sono tutti

positivi

quindi

x - a = (x-a) (x +ax +a x +a x +a x +a x +a )

7 7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6

una differenza di potenze dispari e' uguale al prodotto di un

Regola:

binomio dato dalla differenza delle basi per un polinomio ordinato

e completo ottenuto abbassando di un grado il primo termine, poi

via via abbassando di un grado il primo ed aumentando di un

grado il secondo ed i segni sono tutti positivi

Per esercizio prova a scomporre:

x - a = poi controlla il risultato

9 9 Scomposizione di una somma di potenze pari

In genere una somma di potenze pari del tipo

x + a

4 4

Non e' scomponibile

Vi e' un caso in cui e' possibile applicare una scomposizione, ma di solito si fa solo al

liceo scientifico:

Per poter fare questa scomposizione occorre che i quadrati dei monomi siano tali che il

doppio prodotto dei monomi stessi sia ancora un quadrato; vediamone un esempio:

x + 4a =

4 4

x + 4a +4a x -4a x =

4 4 2 2 2 2

Ho aggiunto e tolto il doppio prodotto

=(x +4a x + 4a ) -4a x =

4 2 2 4 2 2

Ho messo assieme i termini che formano un quadrato ed ora lo evidenzio

=(x +2a ) -4a x =

2 2 2 2 2

Ora e' come se avessi due termini al quadrato con il meno in mezzo

applico la scomposizione differenza di quadrati

(x +2a ) (x +2a )

e' il quadrato di

2 2 2 2 2

4a x 2ax

e' il quadrato di

2 2

quindi

=[(x +2a )+ 2ax] [(x +2a )- 2ax]=

2 2 2 2

faccio cadere le parentesi

= (x +2a + 2ax) (x +2a - 2ax)=

2 2 2 2

metto i polinomi in forma ordinata

=(x + 2ax+2a ) (x - 2ax+2a )

2 2 2 2

Ho potuto fare la scomposizione solamente perche' il termine che ho aggiunto e

4a x

tolto e' un quadrato, altrimenti non avrei potuto scomporre

2 2 Scomposizione secondo il quadrato del binomio

Scriviamo la formula del quadrato del binomio

(a+b) =a +2ab+b

2 2 2

se la scriviamo a rovescio otterremo una scomposizione

a +2ab+b = (a+b)

2 2 2

Significa che se ho un polinomio di tre termini devo guardare se

due termini sono dei quadrati di monomi e, nel caso lo siano, se

corrisponde il doppio prodotto dei due monomi, in tal caso posso

scomporre come

( primo monomio + secondo monomio) 2

ad esempio scomponiamo

4a +12ab+9b =

2 2

4a 2a

e' il quadrato di

2

9b 3b

e' il quadrato di

2

se faccio il doppio prodotto dei due monomi

2·2a·3b 12ab

ottengo che mi corrisponde al termine che e'

restato

quindi posso scrivere

4a +12ab+9b = ( 2a + 3b )

2 2 2

Fai attenzione al segno da mettere in mezzo: se il termine che

corrisponde al doppio prodotto e' positivo in mezzo devi mettere

+ -

il se invece e' negativo devi mettere il segno

4x -16xy+16y

Esempio 2 2

4x 2x

e' il quadrato di

2

16y 4y

e' il quadrato di

2

il doppio prodotto e'

2·2x·4y = 16xy - -

Il segno in mezzo e' perche' nel polinomio di partenza

16xy ha il segno meno; quindi

4x -16xy+16y = (2x - 4y)

2 2 2

Scomposizione secondo il trinomio notevole

La scomposizione secondo il trinomio notevole e' l'operazione

inversa della moltiplicazione fra binomi: cioe' dato il trinomio

x +sx+p s p

con e numeri dati dobbiamo trovare il prodotto fra

2

binomi

(x+a)(x+b) il cui risultato sia il polinomio di partenza

Se noi proviamo ad eseguire la moltiplicazione vedremo cosa

s p a b

sono e rispetto ad e

(x+a)(x+b)=x +ax+bx+ab= x +(a+b)x+ab

2 2

allora avremo che

x +sx+p= x +(a+b)x+ab

2 2

e per il principio di identita' dei polinomi avremo

s=(a+b)

p=ab p s

Quindi avendo e dovro' trovare due numeri il cui prodotto

p s

e' e la somma e'

Esempio

x +5x+6=

2 6

Devo trovare due numeri il cui prodotto e' e la somma

5

e' (conviene partire dal prodotto):

6

i numeri che danno prodotto possono

1 6 2 3 2 3 5

essere e oppure e e la somma di e mi da'

2 3

i due numeri cercati sono e quindi

x +5x+6=(x+2)(x+3)

2

Quindi quando hai un polinomio ordinato di 3 termini puoi usare

questa regola senza scomodare Ruffini.

Attenzione: guarda che per somma si intende somma algebrica

quindi e' importante guardare il segno del prodotto: se e' positivo

allora i due numeri cercati hanno lo stesso segno e devi farne la

somma, ma se il segno del prodotto e' negativo i due numeri hanno

segni diversi e devi fare la differenza;

esempio

x +3x-10=

2 -10

Devo trovare due numeri il cui prodotto e' e la somma

+3

e' (conviene partire dal prodotto che in questo caso e' negativo

quindi devi fare la differenza):

10

i numeri che danno prodotto possono

1 10 2 5 5 2 3

essere e oppure e e la differenza di e mi da' ed

3 +5-2

essendo positivo dovro' fare

-2 +5

i due numeri cercati sono e quindi

x +3x-10=(x-2)(x+5)

2 SCOMPOSIZIONE DI RUFFINI

E' una scomposizione che si puo' sempre applicare a tutti i polinomi ordinati

scomponibili,su cui non sia possibile operare il raccoglimento a fattor comune totale ha

pero' il difetto di essere lunga e complicata, quindi, quando possibile, cercheremo delle

abbreviazioni.

Pero' questa ti fornisce un metodo generale per operare sempre la scomposizione sui

polinomi ordinati, se cio' non e' possibile diremo che il polinomio non e' scomponibile.

Partiamo da un polinomio molto semplice, ad esempio consideriamo

x +5x+6

2

il problema che ci poniamo e' trovare due polinomi che moltiplicati mi diano come

risultato il polinomio di partenza. (x-a) a

Si pensa che il polinomio abbia come fattore un fattore del tipo in cui e' un

numero

Quindi possibili fattori potranno essere:

(x-1)

(x+1)

(x-2)

(x+2)

(x-3)

(x+3)

......

Si tratta di vedere se questi sono effettivamente fattori oppure no. Ricordando che un

termine e' fattore di un secondo termine se il primo divide esattamente il secondo (cioe'

il resto della divisione vale 0) dovremo fare

(x +5x+6):(x-1) e calcolarne il resto. se viene 0 e' un fattore altrimenti proveremo

2

(x +5x+6):(x+1) poi

2

(x +5x+6):(x-2) finche' non troviamo il resto 0

2

Ricordiamo che per trovare il resto possiamo applicare il teorema di Ruffini quindi

trov