scomposizioni

Tabella di riepilogo per le scomposizioni

Prima operazione da svolgere è il raccoglimento a fattor comune, poi si contano i termini.

N. termini e scomposizioni possibili

• 2 termini  Differenza di quadrati: (differenza di potenze pari) a² - b² = (a+b)(a-b).
• 2 termini  Somma di cubi (somma di potenze dispari) x³ + a³ = (x+a)(x² - ax+a²).
• 2 termini  Differenza di cubi (differenza di potenze dispari) x³ - a³ = (x-a)(x² + ax+a²).
• 2 termini  Caso particolare: somma di potenze pari.
• 3 termini  Quadrato del binomio a²+2ab+b² = (a+b)².
• 3 termini  Trinomio notevole x²+5x+6=(x+2)(x+3).
• 3 termini  Ruffini.
• 3 termini  Cubo del binomio a³+3a²b+3ab²+b³ = (a+b)³.
• 4 termini  Raccoglimento a fattor comune parziale ax+ay+bx+by= a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y).
• 4 termini  Raggruppamento.
• 4 termini  Ruffini.
• 4 termini  Raggruppamenti.
• 5 termini  Ruffini.
• 5 termini  Quadrato del trinomio a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)².
• 6 termini  Raccoglimento parziale ax+bx+ay+by+az+bz= x(a+b)+y(a+b)+z(a+b)=(a+b)(x+y+z).
• 6 termini  Raggruppamento.
• 6 termini  Ruffini.

Differenza di quadrati

Prendiamo il prodotto notevole somma di due monomi per la loro differenza: (a+b)(a-b)=a²-b².

Se lo scriviamo a rovescio otteniamo una scomposizione: a²-b² =(a+b)(a-b).

Cioè se ho il segno meno fra i quadrati di due oggetti posso scomporre come il prodotto fra la somma dei due oggetti e la loro differenza.

Come esempio scomponiamo: 9x²-4y².

9x², 3x è il quadrato di 3x.

4y², 2y è il quadrato di 2y.

(3x + in mezzo c'è il segno meno quindi faccio il prodotto fra la somma e la differenza 2y)·(3x - 2y).

In definitiva la scomposizione è 9x²-4y² =(3x+2y)(3x-2y).

La differenza fra i quadrati di due monomi si scompone.

Regola: moltiplicando la somma dei due monomi per la loro differenza.

Somma di potenze dispari

Cercheremo la regola per scomporre tutte quelle potenze del tipo xⁿ + aⁿ per n dispari, cioè ad esempio x³ + a³ =, x⁵ + a⁵ =, x⁷ + a⁷ =.......... a dove al posto di a possiamo pensare un numero; per trovare la regola di scomposizione proviamo a scomporre con Ruffini e vediamo se riusciamo ad individuare delle regolarità come nella schermata precedente.

Iniziamo a scomporre

x³ + a³ = a³ (x-a); (x+a) essendo il termine noto il possibile divisore di Ruffini sarà del tipo (x-a).

Provo a dividere per (x-a) ; P(a)=a³ + a³ ≠0.

(x+a) ; P(-a)=(-a)³ + a³ =-a³ + a³ =0.

(x+a) essendo il resto zero è un divisore; eseguo la divisione.

Ottengo x³ + a³ = (x+a)(x² -ax+a²).

Proviamo ora a scomporre x⁵ + a⁵.

(x-a) ; P(a)=a⁵ + a⁵ ≠0.

(x+a) ; P(-a)=(-a)⁵ + a⁵ = -a⁵ + a⁵ =0.

(x+a) essendo il resto zero è un divisore; eseguo la divisione.

Ottengo x⁵ + a⁵ = (x+a) (x⁴ -ax³ +a²x² -a³x +a⁴).

Ora senza eseguire Ruffini ma tenendo presenti le due scomposizioni x³ + a³ = (x+a) (x² -ax+a²), x⁵ + a⁵ = (x+a) (x⁴ -ax³ +a²x² -a³x +a⁴).

Voglio scomporre x⁷ + a⁷ = (x+a).

Intanto il divisore sarà x⁷ + a⁷ = (x+a) (.....).

Osserviamo che dentro parentesi al posto dei puntini devo mettere il primo termine x abbassato di un grado, cioè x⁶, poi man mano devo fare un polinomio ordinato abbassando la potenza della x ed aumentando la potenza della a ed i segni sono alternati: uno positivo e l'altro negativo.

Quindi x⁷ + a⁷ = (x+a) (x⁶ -ax⁵ +a²x⁴ -a³x³ +a⁴x² -a⁵x +a⁶).

Una somma di potenze dispari è uguale al prodotto di un binomio dato dalla somma delle basi per un polinomio ordinato e completo ottenuto abbassando di un grado il primo termine, poi via via abbassando di un grado il primo ed aumentando di un grado il secondo ed i segni sono alternati.

Regola: per esercizio prova a scomporre: x⁹ + a⁹ = poi controlla il risultato.

Differenza di potenze dispari

Cercheremo la regola per scomporre tutte quelle potenze del tipo xⁿ - aⁿ per n dispari, cioè ad esempio x³ - a³ =, x⁵ - a⁵ =, x⁷ - a⁷ =.......... a dove al posto di a possiamo pensare un numero; per trovare la regola di scomposizione proviamo a scomporre con Ruffini e vediamo se riusciamo ad individuare delle regolarità.

Iniziamo a scomporre

x³ - a³ = a³ (x-a); (x+a) essendo il termine noto il possibile divisore di Ruffini sarà del tipo (x-a).

Provo a dividere per (x-a) ; P(a)=a³ - a³ =0.

(x-a) essendo il resto zero è un divisore; eseguo la divisione.

Ottengo x³ - a³ = (x-a)(x² +ax+a²).

Proviamo ora a scomporre x⁵ - a⁵.

(x-a) ; P(a)=a⁵ - a⁵ =0.

(x-a) essendo il resto zero è un divisore; eseguo la divisione.

Ottengo x⁵ - a⁵ = (x-a) (x⁴ +ax³ +a²x² +a³x +a⁴).

Ora senza eseguire Ruffini ma tenendo presenti le due scomposizioni x³ - a³ = (x-a) (x² +ax+a²), x⁵ - a⁵ = (x-a) (x⁴ +ax³ +a²x² +a³x +a⁴).

Voglio scomporre x⁷ - a⁷ = (x-a).

Intanto il divisore sarà x⁷ - a⁷ = (x-a) (.....).

Osserviamo che dentro parentesi al posto dei puntini devo mettere il primo termine x abbassato di un grado, cioè x⁶, poi man mano devo fare un polinomio ordinato abbassando la potenza della x ed aumentando la potenza della a ed i segni sono tutti positivi.

Quindi x⁷ - a⁷ = (x-a) (x⁶ +ax⁵ +a²x⁴ +a³x³ +a⁴x² +a⁵x +a⁶).

Una differenza di potenze dispari è uguale al prodotto di un binomio dato dalla differenza delle basi per un polinomio ordinato e completo ottenuto abbassando di un grado il primo termine, poi via via abbassando di un grado il primo ed aumentando di un grado il secondo ed i segni sono tutti positivi.

Regola: per esercizio prova a scomporre: x⁹ - a⁹ =.

Differenza di potenze dispari

Cercheremo la regola per scomporre tutte quelle potenze del tipo xⁿ - aⁿ per n dispari, cioè ad esempio x³ - a³ =, x⁵ - a⁵ =, x⁷ - a⁷ =.......... a dove al posto di a possiamo pensare un numero; per trovare la regola di scomposizione proviamo a scomporre con Ruffini e vediamo se riusciamo ad individuare delle regolarità.

Iniziamo a scomporre

x³ - a³ = a³ (x-a); (x+a) essendo il termi