Scienza delle Costruzioni - Temi d'esame svolti

Tema 1

testo

∑M_E=0 → VB⋅l + HA⋅2l + p⋅l⋅³/₂l - p⋅l⋅^l/₂=0

HA⋅l - VB⋅2l=0 → VB=2⋅HA

2⋅HA⋅2l⋅l + HA⋅l

+ p⋅l²/₂ - p⋅l

+ p⋅l = 0 → RC=7/8p⋅l

∑F_x=0 → HA=0

∑F_y=0 → RC - ²/₈ ⋅ V

l

RD + 3⋅2

MC= + 3/

MC=+7/8

reazioni

azione assiale

• (+1/3)qL
• (-1/2)qL
• (-2/3)qL
• (+1/2)qL
• 5/8)qL
• (-7/8)qL
• 1L

taglio

• (+2/3)qL
• (-3/4)qL
• (-1/5)qL
• (+1/4)qL
• (-1/8)qL
• (-1/3)qL
• (+5/8)qL
• (-1/2)qL
• (-7/8)qL
• (-2/3)qL
• 1L

Condiz. equilibrio globale: intera struttura

Equil. intera struttura alle traslaz. orizzontale

1. H_A + _RL/_√2 - p_L = 0

   Equil. intera struttura alle traslaz. verticale

2. V_D + V_G + _RL/_√2 - 2p_L

   Equil. intera struttura alle rotaz. attorno al punto K

3. R_L√2_L + p_L l/2 + 2p_L l - V_g 3_L = 0

Abbiamo 3 equazioni nelle 4 incognite H_A, R_L, V₃, V_G

Condiz. equilibrio parziale: aste AB → C → E → F /

consideriamo la parte di struttura a sinistra delle cerniera E ed F

Equil. alla rotazione attorno al punto Q

4. H_A + V_D - V_F = 0

Equil. alla trazione orizzontale:

H_F = + H_A

Abbiamo 2 nuove equazioni ma anche 2 nuove incognite H_F e V_F

REAZIONI VINCOLARI

SEPARO E RISOLVO L'APPENDICE ISOSTATICA

È UN ARCO A 3 CERNIERE

HO 4 REAZIONI ALLA BASE

SERVONO LE 3 EQUAZIONI CARDINA + UNA QUARTA CONDIZIONE

POSSO RISOLVERE IN 2 MODI

1. RICONOSCO CHE EG È UNA BIELLA SCARICA HO LA CONDIZIONE -H_E = V_E (PER COME SONO DISEGNATE)
2. USO IL PROCEDIMENTO GENERALE PER L'ARCO A 3 CERNIERE

LA CERNIERA DI MEZZERIA È A ROTAZIONE, SERVE UN EQUILIBRIO LOCALE A ROTAZIONE ED UNO GLOBALE A ROTAZIONE CURANDO BENE DI NON INTRODURRE NUOVE INCOGNITE

EB

∑F_N = 0

N(x) + ¹/₂ PL = 0

N(x) = -¹/₂ PL

∑F_T = 0

T(x) - ¹/₂ PL = 0

T(x) = ¹/₂ PL

∑M_p = 0

M(x) - ¹/₂ PL x = 0

M(x) = ¹/₂ PL x

M(x=0) = 0

M(x=2L) = PL²

CD

∑F_N = 0

N(x) - ³/₂ PL ¹/_√2 - 2PL ¹/_√2 = 0

N(x) = ⁷/₂ ¹/_√2 PL

∑F_T = 0

T(x) + ³/₂ PL ¹/_√2 - 2PL ¹/_√2 = 0

T(x) = ¹/₂ ¹/_√2 PL

∑M(x) = 0

M(x) + ³/₂ PL x ¹/_√2 - 2PL x ¹/_√2 = 0

M(x) = ¹/₂ ¹/_√2 PL x

M(x=0) = 0

M(x = √2L) = ¹/₂ PL²

NOTARE CHE SE T(x) VIENE POSTA SEMPRE IN MODO CHE L'ELEMENTO RUOTI IN MODO ORARIO E M(x) POSTO IN MODO CHE L'ELEMENTO RUOTI IN MODO ANTIORARIO, T(x) È SEMPRE LA DERIVATA MATEMATICA DI M(x).

azione assiale

VERIFICA DEL NODO

• 7/4
• 12/4
• 12/4
• 3/2
• ⁷ ⁄ ₄ + ¹ ⁄ ₄ + 1/4 - 3/2 = 0
• 0 = 0

taglio

∑F_H=0

• 7/4 + 1/4 - 1/4 - 3/2 = 0
• 0 = 0

∑_tuttaF_v=0   -V_G-PL=0   V_G=PL

∑_tuttaF_h=0   H_A+PL+H_G=0

H_G=-H_A-PL=2PL-PL=PL

ORA ROMPO L’ANELLO CHIUSO ISOSTATICO SEPARANDO UN ARCO A 3 CERNIERE (A SCELTA) DALL’ASTA RESTANTE

COME FATTO PER IL PRECEDENTE ARCO A 3 CERNIERI ESEGUO UN EQUILIBRIO A ROTAZIONE (CERNIERA IN Β E ROTATORIA) PARZIALE (STRUTTURA E) E GLOBALE

∑_parzialeM_Β=0   (-W_E+R_Ε ^L/_√2=0

∑ M_p=0   -W_Ε +R_Ε ^2L/_√2-V_GL+ ^PL²/₂ =0

DALLA PRIMA   W_Ε=R_Ε ^L/_√2   INSERITA NELLA SECONDA:

-R_Ε ^L/_√2 +R_Ε ^2L/_√2-PL²+ ^PL²/₂ =0

EM

\(\frac{\sqrt{2}}{2}pL\) \(+\sum\overrightarrow{F}_{N}=0\)

N(x) + \(\frac{\sqrt{2}}{2}pL\frac{1}{\sqrt{2}}=0\)

N(x)=\(-\frac{pL}{2}\)

\(\leftrightarrow\sum\overrightarrow{F}_{T}=0\)

T(x) - \(\frac{\sqrt{2}}{2}pL\frac{1}{\sqrt{2}}=0\)

T(x)=\(\frac{pL}{2}\)

\(\circlearrowright\sum M_{p}=0\)

M(x) - \(\frac{1}{2}pL^{2}\) - \(\frac{\sqrt{2}}{2}pL\frac{x}{\sqrt{2}}=0\)

M(x)=\(\frac{pL}{2}x+\frac{1}{2}pL^{2}\)

M(x=0)=\(\frac{1}{2}pL^{2}\)

M(x=L)=pL^{2}

P\overline{L}

\(\frac{3}{2}pL\) \(+\sum F_{n}=0\)

N(x) - \(\frac{3}{2}pL=0\)

N(x)=\(\frac{3}{2}pL\)

\(\leftrightarrow\sum\overrightarrow{F}_{T}=0\)

T(x) - \(\frac{3}{2}pL=0\)

T(x)=\(\frac{3}{2}pL\)

\(\circlearrowright\sum M_{p}=0\)

M(x) - \(\frac{3}{2}pLx=0\)

M(x)=\(\frac{3}{2}pLx\)

M(x=0)=0

M(x=l)=\(\frac{3}{2}pL^{2}\)

Tema d'esame del 17-07-2007 – Soluzione Ing. Luca Sgambi

Conteggio dei vincoli

• 6 corpi rigidi per un totale di 18 gdl
• 3 vincoli doppi a terra     3x2=6 gdv    (E-M-I)
• 2 vincoli doppi interni     2x2=4 gdv    (A-G)
• 2 vincoli quadrupli interni     2x4=8 gdv    (D-F)

0 Isostatica

Analisi Cinematica

• Ci sono 6 reazioni di vincolo, non può essere ricondotta ad una struttura elementare unica (arco a 3 cerniere – quadrilatero, hanno 4 reazioni a terra).
• È una struttura costruita per assemblaggio