Scienza delle costruzioni c

LEZIONE 1: 30/09/20

SCIENZA DELLE COSTRUZIONI C

• ELEMENTI FINITI: metodo ELEMENTI (Alessandro Reali)
• INSTABILITà STRUTTURE (Auricchio)

Facciamo dei richiami su SDC:

TRAVE: corpo tridimensionale, che ha 2 dimensioni trascurabili, rispetto alla terza, potendo considerare così problema monodimensionale (le deformazioni, devono però essere corrette).

EULERO-BERNOULLI: è 20-25 più lungo, in cui le deformazioni da taglio sono trascurabili (quando la trave è particolarmente sottile).

TIMOSHENKO: è 5-10 volte più lungo.

Una trave viene schematizzata nel seguente modo tramite due curve, descritte tramite ASSE e SEZIONE TRASVERSALE (la sezione è nel piano yz)

Nel nostro corso consideriamo solo problemi piani, simmetrici rispetto all'asse xy.

L'asse x e y sono ASSI PRINCIPALI DI INERZIA, con x asse barycentrico.

La deformata è data, da come ruotano le sezioni rispetto all’asse.

IPOTESI FONDAMENTALE DEL CORSO: 1) SEZIONI PIANE: (per EULERO-BERNU, le sezioni saranno anche perpendicolari all'asse.)

2) ELASTICITà LINEARE: piccoli spostamenti, piccole deform., legame elastico-lineare.

Studiamo la CINEMATICA della trave, partendo da quella di Timoshenko.

CINEMATICA (Timoshenko):

In una schematizzazione 2D la trave si rappresentano tramite il vettore . In

Una trave costituita da spostamenti e rotazione dell’asse, gli spostam. che governano la cinematica sono:

Non trave non deformata

• rotazioni positive seg.

Vogliamo ora esprimere il mio campo di spostamento bidimensionale in funzione dei miei spostamenti generalizzati.

Ho 2 componenti:

• SPOSTAMENTO ORIZZONTALE
• SPOSTAMENTO VERTICALE

μ(x,y)= [u₀(x) - yθ(x)]

[u'(x) ingegn punto (assumendo piccoli spostam. + pecche determ.]

In z=0 le deformazioni sono ε_xx, ε_yy, ε_xy. Qui ne ho solo 2 significative (perché ε_yy=0).

Chiamiamo

ε = ε_xx ϑ (deformazione tangente) = zε_xy. Calcoliamole:ε = ε_xx = w_,x + w_0,x - yw_0,x(x) - yθ(x)

ϑ = zε_xy = w_{,yx + u,xy - v - u'(x) - θ(x)}

Avvi quindi:

• ε = w' - yθ'
• ϑ = ny - θ

Per voglio riscrivere queste formule in un altro modo, ovvero:

ε = w' - yθ' = ε_o - yθ'^(curvastura)

Questa sapendo che:

• ε_o = w' (assiale)
• Ψ = θ' (flessione angolare)
• ϑ = t_o - θ (taglio)

EQUAZIONI DI CONGRUENZA

- Per la trave alla EULER - BERNOULLI ora le sezioni sono piane e perpendicolari all'asse, quindi la deformazione a taglio = 0.

Passiamo all'equilibrio sempre Timoshenko.

EQUILIBRIO:

Con l'equilibrio si introduce automaticamente il concetto di TENSORE SFORZO.Abbiamo 2 componenti di SFORZO:

• SFORZO NORMALE (T = σ_xx)
• SFORZO IN TAGLIO (τ = σ_xy) (dovute della deformazione di taglio)

Sulla trave abbiamo:

• AZIONE ASSIALE (N)
• AZIONE TANGENTE (T)
• MOMENTO FLETTENTE (M)

EQUAZIONI DI SFORZO

Ogni equazione si ottiene spostando un GiD di 1 e tutti gli altri rimangono invariati (si parla di 1 e per spostamento di un elemento).

VEDIAMO LA TRASLAZIONE

A queste punte va prendere le condizioni e a risolvere l’equazione della linea elastica, trovando a_i.

Una volta fatto ciò si determinano le forze (azioni interne) V_i, M_i, V₂, M₂.

PER CALCOLARE:

• M come M_i = EI^I
• T come T_i = EI^II

(si trova che T₄ = 12 EI / l³, T₂ = 12EI / l³; M₄ = -6 EI / l²; M₂ = 6 EI / l²)

Questi valori mi danno la prima riga della matrice di rigidezza, '

Quelle che voglio è trovare K^e_b in modo tale che: K_b^e · ξ^T = ξ_b^e

Per le travi poi uso le forze normali al posto delle azioni interne, perché voglio studiare le travi per un sistema di riferimento locale (ort.). Le forze volute hanno versi positivi che seguono gli assi

Avremo che: F_b^e = [ F_y4 M_y4 M_y2 F_y2 ]^T

Essendo:

K^e_b = EI / l³

Andremo a riempire ora la matrice:

[ 12/l² 6/l 6/l² -6/l ][ 6/l 2 6/l -2 ][-12/l² -6/l 12/l² 6/l ][ 6/l 2 -6/l 4 ]

La matrice deve essere simmetrica

M₄: Abbiamo trovato per la traslazione (a_i2≠0): M₄ = -6EI con la convenzione della figura A. Ma nella matrice usiamo la convenzione del disegno C e quindi M₄ nella figura C ha verso ritornato dalla figura D quindi cambio segno

Inserendo i valori ottenuti nella matrice di cinematico facendo riferimento sulla convenzione di segno delle velocità relative:

Otteniamo:

K_e = EI / l³ [ 12 -6l -12 -6l -6l 4l² 6l 2l² -12 6l 12 6l -6l 2l² 6l 4l² ]

Lezione 08/10/20: Tutorato

Oggi vedremo come costruire la matrice di proiezione tramite le linee elastiche.

Se prendiamo un ceno infinitesimo di trave:

possiamo definire degli stati

Sappiamo inoltre che:

σ = E ε

τ = G γ

con

ε = ε_xx = ∂u/∂x

γ = 2 ε_xy = ∂v/∂x + ∂u/∂y

Inoltre

u₀, v₀, w₀(x) - y g(x)

m_y = nr(x)

Deformazione assiale: ε₀ = u'₀

Curvatura: χ = g'

Deformazione taglio: ν' = g

Possiamo ricavare le equazioni indefinite di equilibrio:

N' = -p

V' = q

M' = V

Se mettiamo insieme il legame costitutivo otteniamo che:

N = EAε₀

M = EIχ

V = k_zGAv₀

(coefficienti correttivo che corregge l'inerzia al taglio)

Analizziamo la trave ad E-B (sezioni piane e perpend. all'asse)

-E-B ci dice che g = x₀ allineamo quindi g = u'

quindi X = g' = u''. Se posso che:

M' = V quindi M'' = V' quindi M''' = q massa ecced.

M = EIχ = EI u''

Allo stesso modo si ottiene:

EAu'₀ = -p

LEZIONE 14/10/20

Oggi parliamo del vettore dei carichi (come costruttori), e come applicare le condizioni al contorno prima di risolvere il sistema. Anche il calcolo delle reazioni vincolari

• VINCOLO: ripartizione di vincolo applicato in un singolo punto (es. in corrispondenza di un vincolo).
• VINCOLO PERFETTO: l'esperienza di un vincolo è equilibrato (es. spostamento in una direzione = 0).
• VINCOLO NON PERFETTO: ha movimenti consentiti (es. spostamento non nullo).

REAZIONI VINCOLARI: Forze che servono per far sì che il vincolo sia rispettato.

A punto non posso assegnare sia spostamenti sia forze allo stesso tempo!

Intanto un vettore di vettore dei carichi può essere ELEMENTARE (carichi distribuiti) o GLOBALE (forze concentrate)

Vediamo il vettore elementare:

• Supponiamo di avere la trave in figura
• Vediamo i carichi concentrati/non rapp. Tangono ad un determinato elemento maad un sist. globale

• I carichi elementari invece agiscono sull’elemento quindiquando assemblo la matrice, devo riprodurre il dovuto assembl.

• Anche il calcolo del vettore dei costrutt. di quell'elementopoi tuttato nel sistema di riferimento globale

• Un carico distribuito lo decomponiamo in una componente assolta e una verticale, su noguna spole vettore dei carichi delogniri, dopo le ruote nel sistema globale e facciamo l’assemblaggio complete per elemento.

Postriamo un elemento, trattando elemento per elemento:

• ∫ p + q s + f , f int. locale
• P carico assiahe distribuito q carico locale distributi

Ovno bisnogra mesreem che le incendite del problema eroqu al spostamento dei nodi/ perciò voglio risolvere in sistem e del tipo:

K Λ = F (Σ)

• F dovrà avere i carichi nodali. Per i carichi distribuiti bisognerà trasferire i carichi distribuitisui nodi tramite una linea elastica.

Profedierre qunid bloccando quei elementi che trovano, imprimendoil carico, e calcolando le reazioni sui nodi. Reazioni:che poi convoldo a ssere valutato di segno.