Schemi e mappe concettuali di Fisica Generale I

RISPOSTE ALLE DOMANDE DI TEORIA

Proprietà dell'atto di moto di un corpo rigido

1 Proprietà

La quantità _{(rp - rq)} · ω è indipendente dal punto P usato per calcolarla, e viene detta invarianti scalare cinematico.

La proiezione delle velocità di tutti i punti lungo ω è la stessa.

Dim:

Fisso la formula della distribuzione delle velocità e moltiplico scalarmente per ω

• v_p = v_q + ω × (r_p - r_q)
• v_p · ω = v_q · ω + ω · (ω × (r_p - r_q))

Dopo aver osservato che il prodotto misto contenuto nell’ultimo termine è nullo, deduciamo che:

• (r_p - r_q) · ω = v_p · ω - v_q · ω

è effettivamente invariante.

2 Proprietà

Le componenti delle velocità di due punti secondo la retta che li congiunge sono uguali.

Dim:

Fisso la formula della distribuzione delle velocità e moltiplico scalarmente per (P - Q)

• v_p · (P - Q) = (v_q + ω × (r_p - r_q)) · (P - Q)
• v_p · (P - Q) = v_q · (P - Q)

quindi le proiezioni sono uguali

3^a PROPRIETÀ

Punti appartenenti a una retta parallela a ℓ

hanno pari velocità. Tale componente comune

prende il nome di VELOCITÀ DI SCORRIMENTO di tale

retta.

Supponiamo che P e Q appartengano

ad una retta parallela ad ℓ,

la legge della distribuzione delle

velocità:

= + ∧ (P - Q) -> (P-Q) // ω

a dice che

=

2 Dare la definizione di vincolo. Vincolo di posizione, di

mobilità, fisso, mobile, unilatero, bilatero. Fenomeno

olonomo. Atto di moto di un sistema olonomo.

Def Un sistema di punti materiali è VINCOLATO o

sottoposto a vincoli, se le posizioni e/o le

velocità di questi punti sono legate da

relazioni che ne limitano la variabilità;

queste equazioni sono appunto le equazioni

che esprimono i vincoli.

Restrizione a priori sulle possibilità di

moto del sistema.

VINCOLI DI POSIZIONE O OLONOMI

Restrizione a priori sull'insieme delle configurazioni

possibili.

MOBILE vincolo in cui l'insieme delle configurazioni

a PRIORI possibili dipende esplicitamente

dal tempo.

FISSO vincolo privo della dipendenza di cui sopra.

L.C. Velocità Angolari

La velocità angolare ω di un corpo rigido rispetto all'osservatore fisso è pari alla somma delle sue velocità angolari, una rispetto agli osservatori mobili e della velocità angolare di quest'osservatore rispetto a quello fisso:

ω₀ = ω'₀ + ω'

Momento di una Forza

Si definisce momento di una forza F, applicato a un punto P, rispetto a un punto O detto polo, il vettore:

M_o = (P - O) ∧ F

Risultante e Momento di un Sistema di Forze

Il risultante di un sistema di forze R è definito come somma vettoriale di tutte le forze interne ed esterne agenti sui punti del sistema:

R = Σ F

Si definisce momento di un sistema di forze, applicato ai punti di un sistema di punti materiali, rispetto ad un polo "O", il vettore:

R_o = Σ (P_i - O) ∧ F

Sistemi di Forze Equivalenti

Due sistemi di forze si dicono equivalenti, equipollenti se hanno stessa risultante R e stesso momento M rispetto a qualsiasi polo. Un sistema di N forze è equivalente ad uno di 2 forze applicate a 2 punti distinti.

dL = ∑_i F_i dρ_i = ∑_j=1ⁿ ∑_i=1ⁿ F_i ∂ρ_i/_∂qj dq_j =

= ∑_j dq_j ∑_i F_i ∂ρ_i/_∂qj

dove Q_j si chiama "componente generalizzata delle forze attive

dL = ∑_j Q_j dq_j

Q_j = ∂U/_∂qj

q_j j = 1,..., N

Q = (Q₁,…, Q_n)

dq = (dq₁,…, dq_n)

dL = F_i dρ_i

Per il principio dei lavori virtuali:

δL^(a) < 0 ∀ δq

ma, dato che consideriamo vincoli bilateri, abbiamo:

δL^(a) = 0 (corpo in quiete con vincoli)

δL = -Q̅ δq̅ (vale anche nei lavori virtuali)

Quindi:

Q̅ · δq̅ = 0 ∀ δq̅ ⟹ Q̅ = 0

Q = (Q₁, …, Q_n)

Q_j = ∂U/_∂qj = 0 ∀ δq_j

LEGGE DI MOTO DEL BARICENTRO

La quantità di moto di un qualunque sistema soddisfa la condizione:

Q = mV_G

dove M è la massa totale del sistema e G il suo baricentro.

dim. Segue dalla definizione stessa di baricentro. Infatti, essendo

m OG = ∑_i=1ⁿ m_i OP_i

(per la propf. m x_i = ∑_i m_i x_i)

per derivazione rispetto al tempo si ottiene,

m V_G = ∑_i=1ⁿ m_i v_i = Q

(per la propf. m ẋ_i = ∑_i m_i ẋ_i = Q)

La quantità di moto di un sistema coincide

quindi con la quantità di moto del suo

baricentro pensato come un punto materiale

dotato della massa dell'intero sistema.

TEOREMA DELLA QUANTITÀ DI MOTO

La quantità di moto di un sistema isolato è costante nel tempo.

dim. Partendo dalla legge newtoniana:

1. F = ma

m_k x ̈_k = F^e + Fⁱ

(1)

dove N è il n.° dei punti materiali del sistema,

m_k la massa del k-esimo punto.

Si può scrivere:

∑_k=1^N ∑ F^ij

ENERGIA CINETICA

Chiamiamo energia cinetica di un sistema materiale lo scalare:

T = ₁/² ∑ m_iv_i² (1)

ovvero:

t = ₁/² ∫_β ρv²dr

a seconda se il corpo risulta discreto oppure continuo.

TEOREMA DI KÖNIG

L'em. cinetico di un sistema materiale qualunque può essere espresso come:

T = ₁/² mV_c² + T_(G)

ovvero come la somma dell’energia cinetica che compirebbe al baricentro se in esso fosse concentrata tutta la massa del sistema più l’energia cinetica del sistema materiale nel moto relativo al baricentro.

^dim Nel caso discreto, il terzo asse di Galileo implica che:

v_i' = v_i + v_G = v₂^(v)_G = V_c

poiché il tutto di moto si trascinamento in una terna baricentrica risulta traslatorio e in particolare la velocità di trascinamento è pari alla velocità del baricentro. Sostituendo la (2) nella (1) si ottiene:

14) Dinamica del corpo rigido libero e vincolato

(15)

Enunciare e dimostrare il teorema dell'energia cinetica. Dedurre la conserva-zione dell'energia

Teorema dell'energia cinetica

dT / dt = Π

Τ = en. cineticaΠ = potenza

dim

Consideriamo m = massa di un p.to materiale = la sua velocità

Per la 2^ legge della dinamica:

m d / dt =

moltiplichiamo scalarmente per

m d / dt · = · = Π

1/2 d / dt [ · ] = 1/2 [d / dt ^2]= d / dt

Π = m / 2 d / dt [ · ]

d / dt [1/2 m v^2] - Π

T

Quindi:

dT / dt = Π

c.v.d. (valida per tutti i sistemi!)

Scrivendo tutto per un sistema di p.timateriali:

T = Σ _i=1ⁿ 1/2 m_i ^2

Sistema di punti in cui agiscono soloforze interne (sistema isolato)

F_ik = Ψ [(x_i - x_k)(x_i - x_k)]= ∇ Ψ ∇U - ∂U / ∂x

(forza posizionale, forza elastica)