Schemi di Statistica

MEDIA CAMPIONARIA

X̄ = ¹/_m ∑^m_i=1 X_i

MEDIANA CAMPIONARIA

X̄ = mettere i valori in ordine crescente ed individuare il valore centrale

• se i valori sono pari —> 1 valore
• se i valori sono dispari —> si sommano due valori e si divide per due

MEDIA TRONCATA

X_tr = ottenuto togliendo il a% dei valori più grandi e il a% dei valori più piccoli

RANGE

r = X_max - X_min

Varianza campionaria

s² = ^{∑m_i=1 (X_i - X̄)2}/_m-1

Scarto quadratico medio

s = √(^{∑m_i=1 (X_i - X̄)2}/_m-1)

Spazio campionario

S = insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento statistico

EVENTO: sottoinsieme di uno spazio campionario

• Complemente: A^c è l'evento che non contiene opposto di A
• Intersezione: A ∩ B è l'evento che contiene tutti gli elementi comuni ad A e B
• Disgiunto: A ∩ B = ∅ —> non hanno elementi in comune
• Unione: A ∪ B è l'evento che contiene tutti gli elementi che appartengono ad A o B o ad entrambi

Media Campionaria

X̄ = ¹/_m ∑_i=1^m X_i

Mediana Campionaria

X̃ = mettere i valori in ordine crescente ed individuare il valore centrale

se i valori sono pari - 1 valore

se i valori sono dispari - ^sommare 2 e dividere per due

Media Troncata

X_t = ottenuta togliendo a% dei valori più grandi, e a% dei valori più piccoli

Range

r = X_max - X_min

Varianza Campionaria

s² = ∑_i=1^m (X_i - X̄)² / m-1

Scarto Quadratico Medio

s = √(∑_i=1^m (X_i - X̄)² / m-1)

Spazio Campionario

S = insieme di tutti possibili esiti di un esperimento statistico

Evento

sottoinsieme di uno spazio campionario

• Complementare - A' è l'evento che non contiene A
• Intersezione - A∩B è l'evento che contiene tutti gli elementi comuni ad A e B
• Disgiunta - A∩B = Ø non hanno elementi in comune
• Unione - A∪B è l'evento che contiene tutti gli elementi che appartengono ad A o B o ad entrambi

PROBABILITA' = ^m/_n = casi favorevoli (all'evento in questione) / casi possibili

ELEMENTI DI S

PROPRIETA'

• MONOTONIA

A ⊆ B

P(A) ≤ P(B)

COMPLEMENTARE

P(A^c) = 1 - P(A)

REGOLA ADDITIVA

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Vale sia per unione che per intersezione

EVENTI INDIPENDENTI

A e B sono indipendenti sse

P(B) = P(B|A) = P(B | A^c)

P(A ∩ B) = P(A) . P(B)

PROPRIETA' MATEMATICA

P(A ∩ B^c) = P(A) - P(A ∩ B)

P(A^c ∩ B^c) = 1 - P(A ∪ B)

TEOREMA DI BAYES

P(B | A) = ^{P(B) . P(A | B)}/_P(A)

P(A) = P(B) . P(A | B) + P(B^c) . P(A | B^c)

P(B^c | A) = ^{P(Bc) . P(A | Bc)}/_P(A)

ESEMPIO 2.44

Adulto > 60

P che un adulto > 60 anni riceva una diagnosi di essere affetto da cancro =

P = P(D|C) . P(C) + P(D|C^c) . P(C^c)

= 0,70 . 0,05 + 0,06 . 0,95 = 0,096

Variabile Casuale

È una funzione che associa ad ogni elemento S dello spazio campionario S, un numero reale.

X : S → ℝ

L’insieme dei valori assunti da v.c.

è detto range.

V.C. Discrete

Se l’insieme dei possibili valori è al più numerabile.

• Es. dominio, numerabilità

Funzione di Probabilità: f(x) > 0 ∀ x

• ∑ f(x) = 1
• fcn le v. che associamo alla probabilità dell’evento X che assume valore x

V.C. Continue

Se assume valori su scala continua

• V.C. suo range è un intervallo (limitato, illimitato)

Funzione di Densità di Probabilità è definita sull’asse dei numeri reali!

• f(x) > 0 ∀ x ∈ ℝ
• ∫ f(x) dx = 1

Funzione di Distribuzione Cumulativa

• F(X) a una v.c. continua X con funzione f(x)

F(X) = P(X ≤ x) = ∫ f(t) dt