Schemi di Statistica

MEDIA CAMPIONARIA

MEDIANA CAMPIONARIA

mettere i valori in ordine crescente ed individuare il valore centrale

se i valori somo pari - 1 valore

se i valori somo dispari - 2 valori

MEDIA TRONCATA

ottenuta togliendo a% dei valori più grandi e a% dei valori più piccoli

RANGE

VARIANZA CAMPIONARIA

scarto quadratico medio

spazio campionario = insieme di tutti possibili esiti di un esperimento statistico

EVENTO: sottoinsieme di uno spazio campionario

COMPLEMENTARE

INTERSEZIONE

DISGIUNTA

NON

UNIONE

Probabilità

^m/_N = casi favorevoli (all’evento in questione) / casi possibili

Proprietà

• Monotonia: A ⊆ B P(A) ≤ P(B) Se si realizza B, si realizza anche A ma non viceversa
• Complementare: P(Aᶜ) = 1 - P(A) Se si realizza un evento, il suo complementare non si può realizzare quello stesso evento
• Regola additiva: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) Vale sia per unione che per intersezione

Eventi Indipendenti

A e B sono indipendenti se P(B) = P(B|A) O P(A) = P(A|B) ⇔ P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

Quindi P(A ∩ Bᶜ) = P(A) · P(Bᶜ) = 1 - P(A ∪ B)

Teorema di Bayes

P(B|A) = ^{P(B) · P(A|B)} / _P(A)

P(A) = P(B)·P(A|B) + (B₁)·P(A|B₁) + P(B₂)·P(A|B₂)

Esempio 2.46

Adulto ≥ 60

Camoro Diagnosticato P(D|C) = 0.78 Non Diagnosticato 0.05

Non Diagnosticato P(C|D) = P(D|C) · P(C)

P che un adulto ≥ 60 anni cerca una diagnosi di essere affetto da camoro

P = (P(D|C) · P(C)) + (P(D|C) · P(C)) = = (0.70 · 0.05) + (0.06 · 0.05) = 0.056

Proprietà Valore Atteso

Sia X una v.a. (d) discreta o continua. Siano a e b costanti

• E(a) = a
• E(bX) = bE(X) ∀b ∈ R
• E(a + bX) = a + bE(X) ∀a, b ∈ R

Teorema: Linearità

Valore Atteso

E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) = Σ Σ (aX + bY)f(x,y)

= a Σ xg(x) + b Σ yh(y)

Teorema:

X e Y sono v.c. indipendenti

E(XY) = E(X) · E(Y)

Proprietà Varianza

Sia X una v.c., E(X) = m e

• Var(X) = E((X − E(X))²) = E(X²) − m²
• Var(a) = 0, ∀a ∈ R
• Var(bX) = b²Var(X) ∀b ∈ R
• Var(a + bX) = b²Var(X) ∀a, b ∈ R

Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2cov(X,Y)

Cov(X,X) = E(XY) − E(X) · E(Y) = E(X)

Teorema:

X e Y sono v.c. indipendenti

Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)

Esponenziale

Modellare tempo di vita di utensili

x > 0   f(x) = λe^-λx   x > 0   (esponenziale negativa)

= (x, y) = = { 0   x≤0        0, altrimenti }

F(x) = ∫_-∞^x f(ξ) dξ = ∫₀^x λe^-λt dt = 1-e^-λx

Valore atteso      1/λ

Varianza      1/λ²

Teoremi di distribuzione esponenziale e Poisson vedi slide

Teorema mancanza di memoria

Stimatore di media campionaria

La media campionaria X_m è uno stimatore corretto e consistente per N se E(X_m)=N e Var(X_m)=n/m.

Stimatore corretto per la varianza

Sia (X₁, X₂, ..., X_m) un campione i.i.d. con E(X_i)=E e Var(X_i)=σ²:

S_m = 1/(m - 1) Σ (X_i - X_m)² è uno stimatore corretto per σ².

Metodo per generare uno stimatore

→ Parametri da stimare: valore atteso E e varianza σ². Si usa la media aritmetica (X_m) dei dati campionari.

- Dei momenti: modelli statistici con 2 parametri. Gli stimatori si ottengono tramite sistema di 2 equazioni. Eguagliando (media campionaria al valore atteso delle v.c. campionarie e equazioni eguagliando varianza campionaria con varianza delle v.c. campionarie).

Massima verosimiglianza

Stimatore definito come quei valori dei parametri per cui la funzione di log-verosimiglianza ha un massimo globale.

Funzione di Verosimiglianza

Sia (X₁, X₂, ..., X_m) un campione casuale di v.c. (discrete o continue):

V(θ, x₁, x₂, ..., x_m) = V(θ) = Π_if(x_i; θ)

È chiamata funzione di verosimiglianza, ovvero, una funzione che descrive al variare di θ quanto sono verosimili i dati sperimentali.

Funzione di log-verosimiglianza

L(θ) = Σ_i=1^m ln f(x_i; θ)

I.C. per la differenza di 2 medie e 2 campioni

X e Y 2 popolazioni

D(X) = μ₁ e σ₁²

E(Y) = μ₂ e σ₂²

fissato il livello di confidenza pari a 1-α, l'intervallo di fiducia 1-α per la differenza delle medie due popolazioni μ₁ - μ₂ è dato da

μ₁ - μ₂ ∊

x̄₁ - x̄₂ ± z_1-α/2 √₁/m₁ + s₂²/m₂

μ₁ - μ₂ ∊ (x̄₁ - x̄₂ + z_1-α/2 √s₁²/m₁ + s₂²/m₂)

I.C. per la differenza di 2 medie con varianza uguale ma non nota

X e Y 2 popolazioni

D(X) = μ₁

E(X) = μ₂

σ₁² = σ₂² = σ²

intervallo di confidenza a livello 1-α è dato

x̄₁ - x̄₂ + t_{m1+m2-2, 1-α/2} sp√1/m₁ + 1/m₂

sp = √1/m₁ + 1/m₂

L_dsp² = (m₁-1)s₁² + (m₂-1)s₂²/m₁ + m₂ - 2

I.C. per la differenza tra due proporzioni

2 popolazioni X e Y con parametro incognito E(X) = p₁ e F(Y) = p₂

intervallo di confidenza a livello 1-α

p̂_A - p̂_B ± z_1-α/2√p̂₁(1 - p̂₁)/m₁ + p̂₂ (1 - p̂₂)/m₂

V.I. nel caso di norma non nota

_{X̄m - μ0} / ^s / _√m

• Unilaterale DX
  • H₀: μ ≥ μ₀
  • H₁: μ < μ₀

Si rifiuta H₀ se t > t_{m-1, α}

• Unilaterale SX
  • H₀: μ ≤ μ₀
  • H₁: μ > μ₀

Si rifiuta H₀ se t < -t_{m-1, α}

• Bilaterale
  • H₀: μ = μ₀
  • H₁: μ ≠ μ₀

Si rifiuta se T è all'esterno

[-t_{α/2, m-1}; t_{α/2, m-1}]

V.I. per σ²

• H₀: σ² = σ²₀
• H₁: σ² ≠ σ²₀

G² = ^{(m-1) ⋅ S_m} / _σ²0 ~ χ²_m-1

• Unilaterale DX
  • Rifiuto se G² > χ²_{1-α, m-1}
• Unilaterale SX
  • Rifiuto se G² < χ²_{α, m-1}
• Bilaterale
  • Rifiuto se G² è all'esterno di [χ²_{α/2, m-1}; χ²_{1-α/2, m-1}]