Schema riassuntivo orbite e semplici trasferimenti orbitali

Soluzione problema dei 2 corpi:

Parametro di Massa

μ = G(m₁ + m₂)

L per pianeta intorno al sole o satellite intorno Terra ≃ μ = Gm₁

Momento Angolare

h = r ∧ v = costante (per unità di massa)h = r·v = √μ·p

Orbite Ellittiche

• F: fuoco
• C: centro
• P: pericentro
• A: apocentro

(P, A punti apsidali)

eccentricità: e = c / a = (r_a - r_p) / (r_a + r_p)

r_p: pericentror_p = r(0) = p / (1 + e) = a(1 - e)

r_a: apocentror_a = r(π) = p / (1 - e) = a(1 + e)

semi-asse maggiore: a = (r_p + r_a) / 2 = p / (1 - e²)semi-asse minore: b = a√(1 - e²)semi-lato retto: p = b² / μ = a(1 - e²)

Vettore e diretto in direzione del pericentro

Velocità lungo l'orbita

Velocità Trasversa v_θ = √μ / p (1 + e·cosθ)

Velocità radiale v_r = √μ / p e·senθ

Velocità al pericentro v_P = √μ / p (1 + e)

Velocità all'apocentro v_A = √μ / p (1 - e)

Energia

E = ¹/₂ v² - ^μ/_r - ^μ/_2a

Energia meccanica per unità di massa

• 1. Circonferenza
• 2. Ellisse
• 3. Parabola
• 4. Iperbole

Velocità cosmiche (trasverse)

1. 1^a Velocità Cosmica: Velocità lungo una circonf. v_circ = ^√μ/_r
2. 2^a Velocità Cosmica (di fuga): v_fuga = √^2·μ/_r
3. 3^a Velocità Cosmica: v_iper,∞ = √^μ/_a

Dalla 3^a legge di Keplero, il periodo di un'orbita T = 2π√^a³/_μ

TRASFERIMENTI ORBITALI COMPLANARI

tramite MANOVRA IMPULSIVA → Variazione istantanea di velocità in Δt=0 con accelerazione alta

Δv² = v_FIN² − v_IN²

Δv = √v_FIN² + v_IN² − 2v_INv_FINcos α

l_man = raggio manovra

v_IN = v_IN(r_man, A_IN)

v_FIN = v_FIN(r_man, A_FIN)

In meccanica celeste si considerano ORBITE COFOCALI (con max 2 pt. interesse.)

• ⇒ 1 orbita iniziale e finale ⇒ MANOVRA SINGOLO IMPULSO
• ⇒ 1 orbita iniziale e finale ⇒ MANOVRA A PIÙ IMPULSI

MANOVRA 1 IMPULSO

TANGENTE

in un punto apsidale:

in un punto generico:

• Δv_P > 0 ⇒ Δa > 0 Δe > 0
• Δv_p < 0 ⇒ Δa < 0 Δe < 0

• Δv_A > 0 ⇒ Δa > 0 Δe < 0
• Δv_A < 0 ⇒ Δa < 0 Δe > 0

Segno Δe dipende da dove viene effettuata la manovra

direz. asse nodale ⁿ_^ = cos Ω ^î + sen Ω ^ĵ + Θ ^k̂

(Ω_N, Ω_D)

Nodo A / D

Ω_n.a. = ω nodo ascendente

Ω_n.d. = ω+π nodo discendente

Γ_n = ^P/_1+cosθ

h.^k̂ = h cos ⁱ

^ĥ._^n̂ = cos Ω

^n̂._{^{r̂ e}} = e cos Ω

^{r e} = re cosθ

(M_γ)/2π . . .

(e_z)/2π . . .

(V_r)/2π . . .

{Θ, e, i, Ω, ω, θ} ↔ {r, V}_{e, p, h} ↔ {r, V}_{i, j, k}

parametri orbitali s. perifocale n. geo. Equat.

{

r_e = r cosθ

r_p = r senθ

r_u = 0

}

{

V_e = -^√μ/ρ senθ

V_p = ^√μ/ρ (e + cosθ)

V_h = 0

}

R{^îĵk̂} = B {^êp̂ĥ}→{^îĵk̂}

(Pcosaθ Psenθ t+e cosθ)

km

R{^îĵk̂} = B {^êp̂ĥ}→{^îĵk̂}

(-^√μ/ρ senθ ^√μ/ρ (e+cosθ) 0)

km

nel caso di un lancio partendo dalla superficie

Orbita che percorre il satellite entra nella Terra

TEOREMA del COSENO per calcolo di velocità

ΔV = V₁² + V₂² - 2V₁V₂cosα

ANGOLO DI TRAIETTORIA

angolo tra il vettore velocità e la direzione trasversa ^θ̂