Schema riassuntivo orbite e semplici trasferimenti orbitali

Soluzione problema dei 2 corpi:

Parametro di massa μ = G(m₁ + m₂)

Il pianeta intorno al Sole o satellite intorno Terra ≈ μ = Gm₁

Momento angolare h = r ∧ v = costante (per unità di massa)h = r ∧ v = μ ∕ρ

Orbite Ellittiche

• F: fuoco
• C: centro
• P: pericentro
• A: apocentro

(P,A punti abissidali)

Eccentricità: e = c ∕ a = (r_a - r_P) ∕ (r_a + r_P)

R. pericentro: r_P = r(0) = P ∕ (1 + e) = a(1 - e)

R. apocentro: r_a = r(Π) = P ∕ (1 - e) = a(1 + e)

Semi-asse maggiore: a = (r_a + r_P) ∕ 2 = P ∕ 1 - e²

Semi-asse minore: b = a√1-e²

Semi-lato retto: p = (h² ∕ μ) = a(1 - e²)

Vettore e diretto in direzione del pericentro

Velocità lungo l'orbita

• Velocità Trasversa v_o = √μ∕p (1 + ecosθ)

• Velocità radiale v_r = √μ∕p esenθ

• Velocità al pericentro: v_P = √μ∕p (1 + e)

• Velocità all'apocentro: v_a = √μ∕p (1 - e)

Soluzione problema dei 2 corpi

r(θ) = ^p/_1+e.cosθ

Parametro di massa μ = G(m₁+m₂)

h = r ∧ v = costante (per unità di massa)

h = r.v = μ/p

Orbite Ellittiche

• F: fuoco
• C: centro
• P: pericentro
• A: apocentro

(P, A punti apsidali)

eccentricità: e = ^c/_a = ^r_a-r_p/_ra+rp

r_p pericentro: r(0) = ^p/_1+e = a(1-e)

r_a apocentro: r(π) = ^p/_1-e = a(1+e)

semi-asse maggiore: a = ^r_p+r_a/2 = ^p/_1-e²

semi-asse minore: b = a √1-e²

semi-lato retto: p = ^h2/_μ = a(1-e²)

Vettore e diretto in direzione del pericentro

Velocita lungo l'orbita

• Velocita Trasversa v_θ = √^μ/_p (1+e.cosθ)
• Velocita radiale v_r = √^μ/_p e.senθ
• Velocita al pericentro v_P = √^μ/_p (1+e)
• Velocita all'apocentro v_A = √^μ/_p (1-e)

Energia

E = -¹/₂ v² - ^μ/_r = -^μ/_2a

Energia meccanica per unità di massa

• a determina la dimensione dell'orbita
• Moto è ammissibile solo se: ε ≥ V* = ^h2/_2r² - ^μ/_r

1. Circonferenza
2. Ellisse
3. Parabola
4. Iperbole

• ε₁ ≥ V* ⇒ ε₁ = V* r_c = r_c
• ε₂ ≥ V* ⇒ r_p ≤ r ≤ r_a
• ε₃ ≥ V* ⇒ r → ∞, v₀ → 0
• ε₄ ≥ V* ⇒ r → ∞, v_∞ > 0

Velocità cosmiche

• 1ª Velocità cosmica: Velocità lungo una circonf.
• 2ª Velocità cosmica (di fuga): Velocità al pericentro della parab. - min. velocità per raggiungere ∞
• 3ª Velocità cosmica: Velocità su un'iperbole all'infinito.

v_{iper, ∞} = √^µ/_a

aumentando la velocità - l'orbita sarà sempre più "aperta"

Velocità locale di un punto (ricavabile da E) v = √^μ((²/_r) - (¹/_a))

Dalla 3ª legge di Keplero, il periodo di un'orbita T = 2π √^a3/_μ

Sistema di riferimento

CELESTE

z / polo Nord

x / equinozio primavera

PERIFOCALE

ℓ / momento angolare h

x / vettore eccentricità e

PARAMETRI ORBITALI

N nodo ascendente

γ vernal equinox (primavera)

• i ∈ [0,π] INCLINAZIONE piano orbitale
  • 0 ≤ i ≤ 90° orbita PROGRADA h_z ≥ 0
  • 90° < i < 180° orbita RETROGRADA h_z < 0
• Ω ∈ [0,2π] ASCENSIONE RETTA del nodo ascendente
• ω ∈ [0,2π] ANOMALIA del pericentro
  • (misurata sul piano orbitale a partire da N)
• a semiasse maggiore ⟶ dimensione orbita
• e eccentricità ⟶ forma orbita
• θ ANOMALIA VERA ⟶ posizione s/c nel piano orbitale
• ⟶ posizione angolare s/c rispetto vettore e
• (angolo tra r_p e r_satellite)

{a, e, i, Ω, ω, Θ} ⟷ {x, y, z, vx, vy, vz}

costanti per l’orbita Θ(t)

h = r × v

E = 1/2 v² μ/r = -μ/2a

e = (1/μ) [(v² - μ/r) r - (r ⋅ v) v]

a = -μ/2E

N = k̂ × h

i = arccos (hz/|h|)

Ω = {arccos (Nx/N) Ny ≥ 0

2π - arccos (Nx/N) Ny < 0

ω = {arccos (N ⋅ e/Ne) e2 ≥ 0

2π - arccos (N ⋅ e/Ne) e2 < 0

γ = {arccos (e ⋅ r/er) vr ≥ 0

2π - arccos (e ⋅ r/er) vr < 0

vr = r ⋅ v/r vr > 0 allont. peric.

vr < 0 avvicin. peric.

1) Rotazione di Ω intorno a k̂:

R3(Ω) = [cos Ω sin Ω 0

-sin Ω cos Ω 0

0 0 1]

2) Rotazione di i intorno a î’:

R1(i) = [1 0 0

0 cos i sin i

0 -sin i cos i]

3) Rotazione di ω intorno a k̂’’:

R3(ω) = [cos ω sin ω 0

-sin ω cos ω 0

0 0 1]

Rif. Geocentrico Equatoriale ➔ Rif. Perifocale

T_ECI→PF = R3(ω) R1(i) R3(Ω)

Rif. Perifocale ➔ Rif. Geocentrico Equatoriale

T_PF→ECI = [T_ECI→PF]^T

r_ECI = T_PF→ECI r_PF

v_ECI = T_PF→ECI v_PF

Leggi di Keplero

1. Le orbite dei pianeti sono ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi.
2. Il raggio-vettore che congiunge il pianeta al Sole descrive aree uguali in tempi uguali.

   dA/dt = 1/2 |r| |θ'| = 1/2 r² dθ/dt

3. Il quadrato del periodo di rivoluzione è proporzionale al cubo del semiasse maggiore

   T²/a³ = 4π²/μ = cost.

Legge Oraria

Conosciamo r(θ)= p/(1+e cosθ), vogliamo trovare r(t) = r(θ(t))

t.t. = ^h³/_μ² ∫^θ_θ₀ dθ/^{(1+e cosθ)²}

Circonferenza e=0

t = ^h³/_μ² θ

n velocità angolare n = ^μ²/_h³ = √^μ/_a³

Δθ = n Δt

Parabola e=1

^μ²/_h³ (t-t₀)= 1/2 θ + 1/6 θ² + 1/3 θ³

Ellisse 0<e<1

n velocità ang. media sull'ellisse n = √^μ/_a³

M anomalia media

E anomalia eccentrica

t → M(t) → E(M(t)) → θ(E(M(t))) = θ(t)

θ → E(θ) → M(E(θ)) → t(M(E(θ))) = t(θ)

M = n (t-t₀)_{t al pericentro(t₀ riferimento)}

tg E/2 = √^1+e/_1-e tg θ/2

M = E - e senE

Iperbole e>1

H anomalia iperbolica

M = nₕ (t-t₀)

tg θ/2 = √^1+e/_e-1 tg H/2

nₕ = √^μ/_a³

M = e senhH - H

TRASFERIMENTI ORBITALI COMPLANARI

Tramite MANOVRA IMPULSIVA

Variazione istantanea di velocità in Δt → 0 con accelerazione alta.

Δv_⃗ = v_FIN⃗ - v_IN⃗

ΔV = √v_FIN² + v_IN² - 2v_INv_FINcosα

v_FIN = v_FIN (r_max, Δm)

v_FIN = v_FIN (r_max, ΔFIN)

r_max = r_exp - m_exp

In meccanica celeste si considerano ORBITE COFOCALI (con max 2 pti. interesse).

• ∃ 1 orbita iniziale e finale ⟹ MANOVRA SINGOLO IMPULSO
• ∃ n orbite iniziale e finale ⟹ MANOVRA A PIU’ IMPULSI

MANOVRA 1 IMPULSO

TANGENTE

in un punto apsidale:

Δv_r v_r Δv_p v_p v_FIN

Cambio APOCENTRO

• Δv_p > 0 ⟹ Δa > 0 Δe ⩾ 0
• Δv_p < 0 ⟹ Δa < 0 Δe < 0

Cambio PERICENTRO

• Δv_a > 0 ⟹ Δa > 0 Δe < 0
• Δv_a < 0 ⟹ Δa < 0 Δe ⩾ 0

Segno Δe dipende da dove viene effettuata la manovra.

in un punto generico:

Δv_⊥ v_⊥

• Δv > 0 ⟹ Δa > 0
• Δv < 0 ⟹ Δa < 0

SECANTE (cambio orientamento)

orbita 1 e 2 hanno e₁ = e₂ = ea₁ = a₂ = a

Velocità in modulo uguale, solo rotazione vettore v̂_IN = v̂_FIN v̂_B = v̂_A

Δv = 2 v_r = 2 sqrt(μ / ρ_r) ⋅ e ⋅ sen(Δω / 2)

uguale per p.to manovra A o B

• Punti di manovra:
• orb. A: Δω = 2π - Δω / 2
• orb. B: π + Δω / 2

MANOVRA 2 IMPULSI

Trasferimento alla HOHMANN

• ∑ di 2 manovre tangenti
• orbite 1 e 2 complanari, cofocali, circolari, senza p.ti comuni

r_{P_T} = r₁ r_{A_T} = r₂

T_T : 2α_T = r₁ + r₂

Δv₁ = sqrt(μ / r₁) (sqrt(2r₂/r₁ + r₂) - 1)

Δv₂ = sqrt(μ / r₁) (1 - sqrt(2r₁/r₂ + r₁))

TEMPO DI TRASFERIMENTO Δt_HOHMANN = T_T / 2

Se non effettuassi Δv₂ rimarrei nell'orbita di Trasferimento

Trasferimento ELLITTICO BITANGENTE

• orbite 1 e 2 complanari, cofocali, ellittiche con l'asse orbitale nella stessa direzione, senza p.ti comuni

r_{P_T} = r_{P_1} r_{A_T} = r_{A_2}

2α_T = r_{P_1} + r_{A_2}

Δv₁ = sqrt(2μ) (1/r_{P_1} - 1/2α_T)

Δv₂ = sqrt(2μ) (1/r_{A_2} - 1/2α_T)

Δv_TOT = |Δv₁| + |Δv₂|

Anche e₁, e₃ allineati ma in direzione opposta:

Trasferimento BIELITTICO

(orbita iniziale e finale non hanno punti in comune)

Δv₁ = √2μ(1/r_A - 1/(r_A + r_B)) - √2μ(1/r_A)

Δv₂ = √2μ(1/r_B - 1/r_C) - √2μ(1/r_B - 1/(r_C + r_B))

Δv₃ = √2μ(1/r_C - 1/2r_C) - √2μ(1/r_C - 1/(r_C + r_B))

Δv_TOT = Δv₁ + Δv₂ + Δv₃ ↼ in modulo

Trasferimento alternativo rispetto a quello alla Hohmann

Per orbite iniz. e fin. circolari:

• r_C/r_A < 11,94 ↠ Hohmann
• r_C/r_A > 15 ↠ biellittico
• (11,94; 15) ↠ dipende da r_B

Manovre di Rifornamento

Manovra a 2 impulsi per cambiare la posizione (θ) del satellite sulla propria orbita, spostandolo temporaneamente su un'orbita ausiliaria

N = T₂ - T₁/Δθ · T_i (per orbita circolare)

giri da fare prima di tornare sull'orbita

orbita_aux

Δv₄ = -Δv_i

Cambi di Piano

Orbita 1 e 2 si intersecano all'asse dei nodi

manovra che determina cambio di inclinazione Δi.

ΔV = 2V₀ sen _Δi/²

V_σ viene ruotata di ΔiV_r rimane costante

Orbita 1 e 2 non si intersecano all'asse dei nodi

manovra che determina cambio di inclinazione Δi, Ω, ω.

• C, C' punti di manovra
• G più convenientemente quello più distante dal fuoco (ΔV inferiore)

ΔV = 2V₀ sen _α/² nel punto C

la rote velocità tangenzialesubisce una rotazione di un angolo α lasciando invariato il modulo.

4 casi possibili per:ΔΩ ≥ 0 Δi ≥ 0

STRATEGIA BIELLITTICA per cambio di piano

Manovra che utilizza due orbite di Trasferimento T₁ e T₂ per cambiare inclinazione tra orbite 1,2

utile quando ho Δi >> 0

ORBITA GEOSTAZIONARIA :

• e = 0
• i = 0
• Ω = 0

orbita circolare, equatoriale

ad un'altezza r_c.

Periodo: T_TER = 23 h 56 min 4.09 s (giorno siderale)

ORBITA CIRCOLARE e < 0.0001

se eccentricità molto piccola

CARATTERIZZARE L'ORBITA:

r_A, r_p e e, P, Q, T, V_A, V_P

• ☉ Sole
• ⊕ Terra
• ♂ Marte

R_⊕ = 6378 Km

μ_⊕ = 398600 km³/s²

r = h + R_⊕

raggio orbita - altitudine

direz. asse nodale

n̂ = cos Ω î + sen Ω ĵ + Θ k̂(γ_N, Θ_N)nodo A/DΘ_N,A = -ω nodo ascendenteΘ_N,D = -ω + π nodo discendenteγ_N = - / 1 + cosΘ_N

h · k̂ = h cos iî · n̂ = cos Ωn̂ · ê = cos ωr · ê = re cos Θ(M_γ)² ≡ 2π(e₂)² ≡ 2π...(V_r)² ≡ 2π...

{Θ, e, i, Ω, ω, ϑ} ⇔ {, }_{ā, ṗ, ħ} ⇔ {, }_{, , k̂}parametri orbitali.perifocale .geo.Equat.

{r_Θ = r cos ϑr_p = r sen ϑr_i = 0}

{v_Θ = -√(μ/P) sen ϑv_p = √(μ/P) (e + cos ϑ)v_i = 0}

⟨k̂⟩ = _{{êₚȇℎ̂}}⟶⟨k̂⟩(Pcosϑ) / (1 + e cosϑ)Psenϑ / (1 + e cosϑ)0 Km

⟨k̂⟩ = _{{êₚȇℎ̂}}⟶⟨k̂⟩(-√(μ/P) sen ϑ)√(μ/P) (e + cos ϑ)0 Km

nel caso di un lanciopartendo dalla superficieprobabilità che percorre il satelliteentra nella Terra

TEOREMA DEL COSENO percalcolo di velocitàΔ² = ² + ² - 2 cos α

ANGOLO DI TRAIETTORIAangolo tra il vettore velocitàe la direzione transversa Θ̂