Risposte alla Lista non esaustiva - Domande prova teoria

Meccanica Aerospaziale

Prova scritta di teoria - Lista non esaustiva di possibili domande

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Tempo a disposizione: 90

Modalità della prova

• Rispondere in modo chiaro ed esauriente a tre domande, scelte fra le quattro proposte.

• Il punteggio massimo assegnato a ciascuna domanda è di 10/30

1 Cinematica del corpo rigido nel piano

1. Ricavare l’espressione dell’atto di moto per un corpo rigido i cui punti appartengono ad un piano.

2. Dimostrare che uno stesso atto di moto può essere espresso in infiniti modi come sovrapposizione

di un atto di moto traslatorio ed un atto di moto rotatorio.

2 Cinematica del corpo rigido nel piano

1. Enunciare e dimostrare il Teorema di Chasles.

2. Ricavare la formula analitica che consente, nel caso di atto di moto rigido piano, di determinare la

posizione del centro di istantanea rotazione noto il vettore velocità di un punto del corpo rigido e

la velocità angolare di quest’ultimo.

3 Cinematica del corpo rigido

A partire dal moto relativo di due terne nello spazio, di cui una fissa e la seconda mobile e solidale con

un corpo rigido:

1. Introdurre la matrice di rotazione R̂ che lega le coordinate di uno stesso punto P , appartenente al

corpo rigido, nei due sistemi di riferimento.

2. Ricavare l’espressione dell’atto di moto del corpo rigido, definendo il vettore velocità angolare !

attraverso R̂ e la sua derivata prima rispetto al tempo.

4 Cinematica del corpo rigido

Si consideri un generico sistema di N punti (P , i = 1, . . . , N ), mobili nello spazio e soggetti al vincolo

i

di rigidità che ne fissa le distanze reciproche.

1. Determinare il numero n di gradi di libertà del sistema, mostrando che non dipende da N .

2. Determinare il numero n di gradi di libertà del sistema nel caso particolare che i punti giacciano su

una medesima retta.

5 Cinematica del corpo rigido

1. Ricavare l’espressione dell’atto di moto per un corpo rigido i cui punti appartengono ad un piano.

2. Dati due punti qualsiasi A e B appartenenti ad un corpo rigido, dimostrare che le proiezioni delle

loro velocità nella direzione della retta che congiunge i due punti devono essere uguali.

6 Geometria delle masse

Si consideri un corpo rigido continuo di massa M e volume V.

1. Definire il centro di massa G del corpo

2. Dimostrare che, nel caso in cui il corpo sia dotato di un piano di simmetria materiale, il centro di

massa G giace su tale piano

3. Ricavare la formula della proprietà distributiva del centro di massa

7 Geometria delle masse

Si consideri un corpo rigido ed una terna solidale ad esso avente origine in un suo punto O.

1. Definire la matrice d’inerzia rispetto a tale terna

2. Ricavare le formule di trasformazione della matrice d’inerzia nel caso di traslazione della terna

3. Ricavare le formule di trasformazione della matrice d’inerzia nel caso di rotazione della terna

8 Le Equazioni Cardinali per un sistema di punti

A partire dalle proprietà fondamentali delle forze Newtoniane, ricavare:

1. La I Equazione Cardinale, definendo la quantità di moto e mostrando che il risultante delle forze

interne è nullo.

2. La II Equazione Cardinale, definendo il momento della quantità di moto e mostrando che il momento

risultante delle forze interne è nullo.

3. Scrivere la forma particolare assunta dalla II Equazione Cardinale quando si prenda il centro di

massa come polo, giustificando il risultato.

9 Dinamica dei sistemi di punti e del corpo rigido

Dato un sistema di forze di risultante R e momento risultante M rispetto ad un polo O entrambi non

O

nulli

1. Enunciare la condizione necessaria affinchè tale sistema ammetta retta di applicazione del risultante

2. Nel caso in cui tale condizione sia soddisfatta, ricavare la formula che esprime la retta di applicazione

del risultante

3. Utilizzare tale formula per trovare l’espressione della retta di applicazione del risultante per un

sistema di forze parallele

10 Dinamica dei sistemi di punti e del corpo rigido

A partire dalle proprietà fondamentali delle forze Newtoniane, per un sistema di punti materiali:

1. Ricavare il teorema dell’energia cinetica.

2. Nel caso di corpo rigido soggetto ad atto di moto piano, mostrare che il teorema dell’energia cinetica

fornisce un’equazione dipendente dalle Equazioni Cardinali.

11 Dinamica del corpo rigido

1. Definire il momento della quantità di moto di un corpo rigido rispetto ad un generico polo O.

2. Nel caso generico di atto di moto rigido non planare, dimostrare che tale momento può essere

ricavato mediante la formula: ˆ ^

= I ! + (G O) Q, (1)

O G

ˆ

dove I è la matrice d’inerzia del corpo rigido calcolata rispetto ad una terna solidale ad esso e con

G

origine coincidente con il suo centro di massa G; Q è la quantità di moto del corpo rigido.

12 Dinamica del corpo rigido

1. Definire l’energia cinetica T di un corpo rigido

2. Nel caso generico di atto di moto rigido non planare, dimostrare che T può essere ricavata mediante

la formula: 1 1 ˆ

2 T

T = M v + ! I !, (2)

G

G

2 2

ˆ

dove M è la massa del corpo rigido; I è la sua matrice d’inerzia calcolata rispetto ad una terna

G

solidale ad esso e con origine coincidente con il suo centro di massa G; v è il modulo della velocità

G

del centro di massa G.

13 Dinamica dei sistemi di punti e del corpo rigido

A partire dalle proprietà fondamentali delle forze Newtoniane, per un sistema di punti materiali:

1. Ricavare il teorema dell’energia cinetica.

2. Dimostrare che, nel caso di applicazione di tale teorema ad un corpo rigido, la potenza delle forze

interne è nulla.

14 Dinamica tridimensionale del corpo rigido

1. Ricavare le equazioni di Eulero nel caso di corpo rigido con un punto fisso.

2. Risolvere tali equazioni (cioè trovare la legge oraria !(t) = (p(t), q(t), r(t)) nel caso di moto per

inerzia di un corpo rigido giroscopico.

15 Moto per inerzia di un corpo rigido con punto fisso

Si consideri un corpo rigido vincolato a terra in un suo punto O tramite una cerniera sferica ed ideale. Il

corpo è soggetto a forze attive di momento nullo rispetto ad O.

Giustificare la veridicità/falsità delle seguenti a↵ermazioni:

1. La quantità di moto Q del corpo è costante.

2. Il momento della quantità di moto del corpo è costante.

(O)

3. L’energia cinetica T del corpo è costante.

4. La velocità angolare ! del corpo è costante.

16 Stabilità delle rotazioni permanenti

1. Definizione di rotazione permanente.

2. Studiare la stabilità delle rotazioni permanenti col metodo di linearizzazione, richiamando, quando

possibile, i teoremi che garantiscono il risultato di stabilità/instabilità trovato con la linearizzazione.

17 I Moti Centrali

1. Definire un moto centrale

2. Ricavare le due proprietà fondamentali dei moti centrali

3. Ricavare la formula di Binet

18 Dinamica dei due corpi

Per un sistema di due punti materiali in uno spazio tridimensionale, utilizzando il formalismo lagrangiano:

1. Scegliere le coordinate libere per descrivere il moto del sistema e ricavarne la funzione di Lagrange,

assumendo che i due punti siano soggetti a sollecitazione attiva con energia potenziale V (r), dove

r rappresenta la distanza fra essi

2. Ricavare le equazioni del moto per tale sistema

3. Dimostrare la conservazione della quantità di moto del sistema e della velocità areolare identificando

le coordinate libere ignorabili

19 Equilibrio dei sistemi

Si consideri un sistema meccanico con un solo grado di libertà e soggetto a vincoli olonomi e fissi e a

sollecitazione attiva indipendente dal tempo.

1. Nelle ipotesi enunciate sopra, scrivere l’espressione generale dell’energia cinetica T del sistema.

2. Scrivere l’equazione di Lagrange del sistema.

3. Determinare le condizioni pure di equilibrio per il sistema nel caso di sollecitazione attiva conser-

vativa e non conservativa.

20 Stabilità delle soluzioni di equilibrio

Si consideri un sistema olonomo ad un grado di libertà, soggetto a vincoli fissi, la cui energia cinetica

assume la forma generica: 1 2

T = a(q) q̇ (3)

2

dove q è la coordinata libera del sistema. Il sistema è soggetto a forze posizionali non dipendenti

esplicitamente dal tempo di componente generalizzata Q(q).

1. Mostrare che l’equazione del moto del sistema assume la forma:

1 da 2

a(q)q̈ + q̇ = Q(q). (4)

2 dq

2. Supponendo di aver trovato una configurazione q di equilibrio del sistema, determinare la condi-

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zione che Q deve soddisfare affinchè l’equilibrio in q sia linearmente instabile.

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