Ricerca operativa

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RICERCA OPERATIVA

RICERCA OPERATIVA

ricerca sulle operazioni. Management Science. Decision Analysis.

Decisioni tecnico si studiano metodi per la ricerca di una soluzione a

problemi di decisione. È uno strumento utile per lo studio di tutti,

modelli e teorie.

Esempio: STRATEGIA DI PRODUZIONE

Pianificazione ottima della produzione.

Un’azienda produce 2 tipi di coloranti C₁ e C₂, utilizzando 3 processi P₁ -

P₂, P₃ - ottimo di base

• P₁ | 1 | 1 | 750
• P₂ | 1 | 2 | 1000
• P₃ | 1 | 1 | 400

PREZZO 7 10 e 6€

Determinare la strategia ottima di produzione normale

x₁ = 9 l/t di b.m. da C₁, x₂ ≥ 0

x₂ = 9 l/t di b.m. da C₂, x₂ ≥ 0

Chiamando f((x₁, x₂)) = 7x₁ + 10x₂ la FUNZIONE DI PROFITTO/FUNZIONE OBIETTIVO

9x₁ + 9x₂ = 9 l/t di b.m. di P₁ ≥ 750

x₁ + x₂ = 750

9x₁ + 18x₂ = 9 l/t di b.m. di P₂ ≥ 1000

F∈ℝ²

x₁ + 2x₂ = 1000

x₁ = 9 l/t di b.m. di P₃ ≥ 400

x₁ = 400

Individuiamo la regione F in ℝ² (sol. ammissibili), dove sono x₁ e x₂ la

rappresentazione soluzioni ammissibili.

Ora cerchiamo massimizzare la funzione di profitto f(x₁, x₂), spostando

fasci di rette f((x₁, x₂)) = K parallelle.

Esempio:

Se x₁ = 0

Se x₁ = 333

Se x₂ = 250

Si x₁ = 1000

Si x₁ = 100

Si x₂ = 850

Si x₂ = 550

Se x₁ = 400

Si x₁ = 400

Si x₂ = 150

Si x₂ = 100

Si x₁ = 100

Ma si può fare ancora

molto con l'interpretazione della teoria x₁ e x₂.

Nelle rette:

il punto (1200, 650), che fa cadere da 4000 a 900 C₁ 250 C₂ +

C₃ e att. x₁ + x₂ = 250

Se a questo punto si preferisce

ricordare si preferisce punto 2500 di C₂ e 500 di C₁ si produce esatto

Costo = Q(x) = 100 X₁ + 50 X₂ + 45 X₃ + 20,4 X₄ + 10 X₅ + 5 X₆

Q(x) ≤ ∑ W_k X_k ≤ C = 100

Dato che le quantità possono assumere valori 0 e 1, quindi si parla di programmazione lineare.

Esempio INDUSTRIA

Un’industria chimica ha due fertilizzanti affidati a due reparti. Ognuno ha un tot di A a disposizione per un massimo di 100 e 50 rispettivamente.

Chiamiamo X₁ = X₁, T₂ = X₂, T₃ = X₃, T₅ = X₄

K₁ = quantità in tonnellate di fertilizzanti di tipo 1 prodotti in 1 settimana

• K₂ = 2
• K₃ = 5
• K₄ = 4

Si ha: ∑ (X_i = 250 X₁ + 230 X₂ + 110 X₃ + 350 X₄) = profitto

Si ha: 100 Z ≥ 1 X₁, 0,5 X₂, 0,25 X₃, 0,25 X₄, X₅

Si aggiunge (per k) X = 20 con k = 1, 2, 3, 4

Vediamo la massimizzazione f(x) con questo problema di ottimizzazione lineare

Esempio CILINDRO

Costruire un silo cilindrico per contenere un liquido. Questo è posto in un magazzino su uno spazio che massima può essere rettangolare (10 x 2 m) e ha un tetto spiovente lungo 10 m. Con altezza massima h e minima 3 m.

r = raggio

h = altezza

h = 1 + 2πl

max S= 1/2πr² + lπr (Volume)

2r + 2πr + 2πrl (Superficie)

2(10) = 10r

Vertici

Ogni politico è delimitato, ma non contiene rette perché è un politoco.

Esempio

Non ha vertici, ma contiene rette.

Esempio

È un politico delimitato, ma non contiene rette oppure contiene un vertice.

Esempio

Rⁿ è un politopo illimitato senza vertici.

X = {0} è un politopo (singletone).

Se ho un disgiuntore in Rⁿ, con molt. classe, sicuramente è illimitato tra vertici ed ha rette.

Esempio

min: 2x₁ + 3x₂

• 3x₁ + x₂ = 2
• 2x₁ + x₂ = 4
• x = 3x₁ + 2x
• x₁ + 3x₂ = 2
• x < 0
• 2x + x₂ < 0
• x < 20

Soluzione – 2x₁ + 3x₂ → caso TT di un politico

Troviamo il punto GPP, ∈ R♮, ∈ CX ≠ < 0

Limite esterno OC

senza

a₃ x (λ) + b₃ = a₃ x + b₃ + (λ a₃ d - a₃ x + 1) ∑ p_i . d = 0, ∑ p_i = 1 (i∈I(x)) .

Quindi non può essere che x₁ ∑ b_i . a₁ e il rango aumentato matrimoniali (t.q.)

Nel esempio del palladico si ha∑(2/3) x I(Γ) = { z | z = y_i + 3x₂ .

d₁(1 3) (a_i:y_i):(0) = d x i 3s = 0 = d =(t^-1)

v^z = long(-3 3) (1 2 3)

Scrivo infine generando un vettore dove la funzione definito min_imax, poi arrivo

Esercizio

Calcola vertici del seguente solido

• x₂ - y₁ + x₃ ≤ 5
• x₁ - y₂ = -0 . . . ogni residuo devi essere omesso
• x₁ ≥ 0
• x₂ ≥ 0
• x₃ > 0

1. I₁(x_i) = {1,2,3}
   • (2-1) (2 1) (2 1) (2 -1) rng = 3

x₁ = 0

1. Imparati I(x)

• (0 5 1) ∈ P

di 2 I₁(x) = {1,2,5}

• (2 -1) (2 1) (2 1)
• y₂ = 0 0 0
• x₃ = 0 0 0
• (0: 1 1) out of P
• (2 y₂ -1) salto secco.

(0 ; 5)e un veicolo piccolo

• v_y - 1₂ = 1

x₃ = 0 seguite tutti i salti.

• 3 vid x₁ Oreo e un altro dei panchine

30/10/2020

Siano combinazioni un poliedro di PL

_{min H} ^t X

_s.t. A X ≥ b

TEOREMA:

Se P ≠ Ø allora P ammette almeno un vertice se è solo se non contiene rette.

LEMMA:

Se P ≠ Ø supponiamo che

0 ∉ P ma volume di

allora questa X è limitato inferiormente

allora comunque si scelga un punto del P non cerchio è sempre possibile

generare un punto X ∈ P tale che

_me _L primo([X] _=x.q) ≤ _{[c] (L)} - _{[n] X ≥ ([c] - 1) x ²L(s)}

TEOREMA FONDAMENTALE DELLA PL

_{min H} X

_s.t. A X ≥ b

Supponiamo che il poliedro P = { X ∈ ^R.n A x ≤ b } non contenga rette, allora

uno e solo delle seguenti affermazioni è vera

1. Il problema è inammissibile (P = Ø)
2. Il problema è illimitato inferiormente
3. Il problema ammette soluzioni ottime e almeno uno di essi è vertice di P

DIMOSTRAZIONE:

Supponiamo che il PL poliedro non sia inammissibile e ma sia illimitato inferiormente e

che non contenga rette, quindi:

1. P ≠ Ø
2. Non contiene rette
3. P X non è illimitato inferiormente

Quindi:

1) P ≠ Ø ∃ X soluzione ottima del poliedro a X è unico vertice di P e non illimitato inferiormente

Un poliedro non può avere certamente due punti ammissibili poiché il soprametto ed è raggiunge max e internamente costante in P

non ammissibile

2) P ha infiniti punti con {X_n X_c} complicandosi pore accenno di

A XU ∉ un vertici di P

3) Se non è un cerchio che parta un altro punto ma X ∉ X

Allora costruirni un altro punto X' X compie _n.fi.cel.l retro(aftδ°C/CST FEF C.