Ricerca operativa

T

Ax=b, x≥ 0} la matrice A è data da

Dato il seguente problema di PL, con riferimento

alla formulazione in forma standard min {c x:

T

Ax=b, x≥ 0}sia data la base B=[A ,A ,A ] e la

1 3 5

corrispondete matrice F=[A ,A ]. Allora Il

2 4

prodotto B F è dato da

-1

Dato il seguente problema di PL, la base

B=[A ,A ,A ] è (utilizzare Excel) non ammissibile

1 4 3

Dato il seguente problema di PL, la base Ottima

B=[A ,A ,A ] è (utilizzare Excel)

2 4 5

Dato il seguente problema di PL, la formulazione

in forma standard è

Dato il seguente problema di PL, la matrice A del

problema in forma standard è data da

Dato il seguente problema di PL, la matrice A è

data da

Dato il seguente problema di PL, la soluzione Ottima

[x ,x ,x ,x ]= [0,4,10,0] è

1 2 3 4

Dato il seguente problema di PL, la soluzione non ammissibile

[x ,x ,x ,x ]= [1,3,4,0] è

1 2 3 4

Dato il seguente problema di PL, la soluzione

[x ,x ,x ,x ]= [2,0,3,0] è ammissibile

1 2 3 4

Dato il seguente problema di PL, la soluzione

[x ,x ,x ,x ]=[12,5,7,0] è

1 2 3 4 Ottima

Dato il seguente problema di PL, la soluzione

[x ,x ,x ,x ]=[5,0,0,3] è ammissibile

1 2 3 4

Dato il seguente problema di PL, la viariabile -1/3

duale u1 associata al primo vincolo all'ottimo

vale

Dato il seguente problema di PL, possiamo dire All'ottimo la F.O. vale 1

che

Dato il seguente problema di PL, possiamo dire All'ottimo la F.O. vale 0

che

Dato il seguente problema di PL, un vertice del [x x ] = [ 2 4]

1 2

politopo definito dai suoi vincoli è

Dato il seguente problema di PL, una base [A ,A ,A ]

1 3 4

ammissibile è quella costituita dalla colonne

Dato il seguente problema di PLI, all’ottimo la

F.O. vale: min-x2 -x1+2x2≤4 2x1+x2≤5 x1,x2≥0 intero

Dato il seguente problema di PLI, all’ottimo la -2

F.O. vale:

Dato il seguente problema di PLI, all'ottimo 0

intero x vale

2

Dato il seguente problema di PLI, all'ottimo la 1

F.O. vale:

Dato il seguente problema di PLI, l'UB dato dal 9

rilassameno lineare al nodo radice vale

Dato il seguente problema di PLI, una x ≤ 3

2

diseguaglianza valida per X ma violata dall'

ottimo rilassato è

Dato il seguente problema di PNL e i punti A,B e Il punto C è un candidato di minimo locale

C, possiamo dire che

Dato il seguente problema di PNL il sistema KKT

è dato da

Dato il seguente problema di PNL non vincolata, 0

all’ottimo la F.O. vale:

Dato il seguente problema di PNL risulta che Nel punto di minimo globale si ha λ =0 e λ =0

1 2

Dato il seguente problema di PNL risulta che Esiste un punto di minimo globale e le KKT sono

condizioni necessarie di ottimalità globale per i punti

regolari

Dato il seguente problema di PNL vincolata e i Il punto A è un candidato di minimo locale e risulta che

punti A,B e C, possiamo dire che λ 1 = 0 e λ 2 = 0

Dato il seguente problema di PNL vincolata e la x è un punto regolare ed è il punto di minimo del

soluzione ammissibile x=(x , x )=(4, 8), risulta che problema

1 2

Dato il seguente problema di PNL vincolata e la nel punto x nessun vincolo è attivo

soluzione ammissibile x=(x , x )=(1, 1), risulta che

1 2

Dato il seguente problema di PNL vincolata e la x è un punto regolare ma non è il punto di minimo del

problema

soluzione ammissibile ,

risulta che:

Dato il seguente problema di PNL vincolata e la la soluzione x è ottima e le componenti del vettore λ

soluzione ammissibile x=(x , x )=(5, 12) risulta sono

1 2

che x è un punto regolare ma non è il punto di minimo del

DATO IL SEGUENTE PROBLEMA DI PNL problema

VINCOLATA E LA SOLUZIONE AMMISSIBILE

x=(x_1, x_2)=(1, 0), RISULTA CHE: La soluzione x è ottima e le componenti del vettore λ

sono

DATO IL SEGUENTE PROBLEMA DI PNL

VINCOLATA E LA SOLUZIONE AMMISSIBILE x=(x1,

x2)=(5, 12) risulta che:

Dato il seguente problema di PNL vincolata, la

lagrangiana è data da

Dato il seguente problema di PNL, effettuando 2/3

una line search esatta partendo dal punto x il

0

passo α alla seconda iterazione vale

Dato il seguente problema di PNL, si effettui -7/2

un'iterazione di discesa verso il punto di minimo

a partire da x utilizzando il metodo del gradiente

0

con line search di Armijo. Il valore che assume la

funzione obiettivo al nuovo valore è

Dato il seguente problema di PNL, si effettui 1

un'iterazione di discesa verso il punto di minimo

a partire da x utilizzando il metodo del gradiente

0

con line search di Armijo. Il valore di α che

soddisfa la sufficiente riduzione è

Dato il seguente problema di programmazione All' ottimo tutte le variabili saranno pari a 1

binaria, possiamo dire che

Dato il seguente problema di programmazione All' ottimo tutte le variabili saranno pari a 0

binaria, possiamo dire che

Dato il seguente problema di programmazione 42

della produzione (assumere s = s =0), all'ottimo

0 3

la F.O. vale

Dato il seguente problema di programmazione 10

della produzione (assumere s = s =0), all'ottimo

0 3

la variabile x vale

1

Dato il seguente problema di programmazione 50

della produzione (assumere s = s =0), all'ottimo

0 3

la F.O. vale

Dato il seguente problema di programmazione

della produzione (assumere s = s =0), all'ottimo 2

0 3

la variabile x vale

1

Dato il seguente problema di programmazione 65

della produzione (assumere s = s =0), all'ottimo

0 3

la F.O. vale

Dato il seguente problema di programmazione 0

della produzione (assumere s = s =0), all'ottimo

0 3

la variabile x vale

2

Dato il seguente problema di programmazione

della produzione (assumere s = s =0), all'ottimo 84

0 4

la F.O. vale

Dato il seguente problema di programmazione 15

della produzione (assumere s = s =0), all'ottimo

0 4

la variabile x vale

2

Dato il seguente problema di programmazione

della produzione (assumere s0= s4=0), all'ottimo

la F.O. vale: 65

Dato il seguente problema di programmazione 0

della produzione (assumere s0=0 e s4=0)

all’ottimo la variabile x2 vale:

Dato il seguente problema di programmazione 24

della produzione con backlogging, all'ottimo la

F.O. vale

Dato il seguente problema di programmazione

della produzione con backlogging, la soluzione s = 0, s = 0

+1 -1

ottima è del tipo

Dato il seguente problema di programmazione

della produzione con backlogging, all'ottimo la

F.O. vale 65

Dato il seguente problema di programmazione 6

della produzione con backlogging, all'ottimo

s vale

1+

Dato il seguente problema di programmazione 6

della produzione con backlogging, all'ottimo

s vale

3-

Dato il seguente problema di programmazione 79

della produzione con backlogging, la soluzione

ottima è del tipo

Dato il seguente problema di programmazione

della produzione con backlogging, la soluzione

ottima è del tipo x >0 x >0 x =0 s >0

3-

1 2 3

Dato il seguente problema di programmazione 13

della produzione con backlogging, all'ottimo la

variabile x vale

2

Dato il seguente problema di programmazione 109

della produzione con backlogging, all'ottimo la

F.O. vale

Dato il seguente problema di programmazione

della produzione con backlogging, all'ottimo la 76

F.O. vale

Dato il seguente problema di programmazione

della produzione con backlogging, all'ottimo la

variabile x vale

3 0

Dato il seguente problema di programmazione 57

della produzione, all'ottimo la F.O. vale

Dato il seguente problema di programmazione s > 0 x > 0 s = 0

-1 +2

2

della produzione, all'ottimo la F.O. vale

Dato il seguente problema di programmazione 62

della produzione, all'ottimo la F.O. vale

Dato il seguente problema di programmazione s > 0 x > 0 s > 0

-1 +2

2

della produzione, all'ottimo la F.O. vale

Dato il seguente tableau ottimo, con riferimento [Δc Δc ] = [1 -3]

3 4

alla variazione dei costi delle variabili fuori base

non comporta un cambio della base ottima il

vettore

Dato il seguente tableau ottimo, con riferimento [Δc Δc ] = [-1/2 -1/2]

1 2

alla variazione dei costi delle variabili in base

non comporta un cambio della base ottima il

vettore

Dato il seguente un problema di PL. Il duale del

suo duale è

Dato la seguente rete di trasporto, l'albero dei

cammini minimi a partire dal nodo 1 è

Dato un digrafo D=(V,E), la formulazione del

problema del cammino orientato di costo

minimo con origine nel nodo s e destinazione nel

nodo t è:

Dato un digrafo D=(V,E), la formulazione del

problema del cammino orientato di costo

minimo on origine nel nodo S e destinazione nel ꓯ(i,j)

nodo Tè: min ∑x ∑x-∑x=1 ∑x-∑x=0 iϵV,i≠s,t ∑x-∑x=-1 x≥0 ϵ E

Dato un grafo euleriano G=(V,E), possiamo dire ogni nodo di G ha grado pari

che:

Dato un grafo G, un generico elemento d della l'arco i ha un estremo nel nodo j

ij

matrice di incidenza nodi-archi è pari a 1 se:

Dato un insieme finito di semispazi chiusi e tale insieme individua sicuramente un insieme

iperpiani, possiamo dire che: convesso

Dato un knapsack 0-1 insieme di oggetti C è detto non è ammissibile una soluzione che selezioni tutti gli

cover se: oggetti di C

Dato un matching M su un grafo G=(V,E), la Necessaria e sufficiente per affermare che M ha

condizione per cui non esistano cammini cardinalità massima

aumentanti è:

Dato un orizzonte temporale T suddiviso in un

insieme finito di periodi di controllo {1,2,…,T} in

presenza di backlogging il costo complessivo di

inventario in T è dato da:

Dato un poliedro P e un punto generico x , la una direzione verso la quale non si hanno variazioni

0

retta perpendicolare al gradiente della funzione della F.O.

obiettivo in quel punto rappresenta:

Dato un problema di ottimizzazione multi- Se y è strettamente migliore di x per almeno un

obiettivo, una soluzione ammissibile x è obiettivo e se y non è peggiore di x per nessun obiettivo

dominata da un'altra soluzione ammissibile y se:

Dato un problema di PL del tipo min{c x: Ax ≥ b, x un problema di massimo con n vincoli e m variabili

T

≥ 0} con n variabili e m vincoli. Il suo duale sarà:

Dato un problema di PL del tipo min{c x: Ax ≥ b, x ottima