Riassunto parte teorica per orale esame Electric Power Systems

REVIEW ON PHASORS AND AC CIRCUITS

A simpler and elegant way to represent AC circuits exists: the analytical representation To understand the concept, it is

ത

enough to notice that the projection on the ox-axis of a rotating, at constant angular velocity w, vector in a

bidimensional vector-space will give a time-varying cosinusoidal signal:

̅ = ∠ ωt → Projection on oX: y(t) = cos ωt

Mathematically, Euler’s formula indicates that sinusoids can be represented as the sum of two complex value functions:

;

POWERS IN AC CIRUITS

() = ∙ ∙ cos ; () = ∙ ∙ cos( − )

√2 √2

1

= () =

∫

0

= { = ; = { =

} }

= ; = = ; = = ; = −

Resistenza: Induttanza: Capacità:

PRIMA DOMANDA POSSIBILE DELL’ORALE: CARICO A STELLA/TRIANGOLO TRIFASE DIMOSTRAZIONI

To find all the currents in the network is necessary to find only the

current in one of the phases. What about powers?

Therefore, also the complex power can be calculated

based on the results of one phase Da cui:

=

= √3

= 3 ∙ ∙ = ∙ ∙

√3

PER UN CARICO A TRIANGOLO: Da cui:

= √3

=

= 3 ∙ ∙ = ∙ ∙

√3

CIRCUITO 4 FILI CON NEUTRO BILANCIATO E NON BILANCIATO

PER UNIT METHOD

Choose any reference power [MVA] and a reference voltage generally equal to the rated voltage of the system: , It is

now possible to define the following reference quantities:

2

1

2

= ; = = ; = ; = = 3

√3

∙ ∙

√3 √3

√3 ̇ ̇

√3 √3

̇ ̇ ̇

, = ; = = = = =

√3

Nel caso di un trasformatore, le tensioni di riferimento devono essere due Vr1 e Vr2: una per ciascun lato della macchina. La

potenza di riferimento è sempre una. Ciò implica che ci sono diversi valori di riferimento per correnti, impedenze e

ammettenze Ir, Zr, Yr per ciascun lato del trasformatore:

GENERAL BRANCH MODEL

Definiamo:

[̅

- ] il vettore delle tensioni del bus con riferimento, ad esempio, alla terra

[̅ ]

- il vettore delle tensioni tra i rami

[̅]

- la matrice diagonale delle ammettenze dei rami

[̅]

- il vettore delle iniezioni delle correnti dei rami [̅] [̅]

+ = [̅][̅ ]

The relationship among these variables is:

Una rete è costituita da n nodi (bus) e dai rami (linee e trasformatori)

• L'insieme dei nodi e l'insieme dei rami costituiscono il grafo di rete

• Scegliendo un nodo di riferimento, è possibile definire il potenziale Ep di ogni bus e Ip la corrente iniettata nel

nodo

Matrice di incidenza A (nodi x rami)

= 1 , è

= −1, è

= 0 , è

Current Kirchhoff Law (KCL)

Ricordando che le lettere minuscole (i) sono utilizzate per le correnti dei rami, mentre le lettere maiuscole (I) sono

utilizzate per le correnti nodali, possiamo scrivere:

[] []

: ∙ = []

⏟ ⏟ ⏟

( ) ( 1) ( 1)

Particolarità: in ciascuna colonna c’è sempre un 1, un -1, e tutti gli altri elementi sono 0. Un ramo connette sempre

solo due nodi.

Voltage Kirchhoff Law (KVL)

[E] = vettore dei potenziali nodali (rispetto al bus di riferimento)

[v] = vettore della caduta di tensione del ramo []

ò : [] ∙ = []

⏟

⏟ ⏟

( 1)

( ) ( 1)

Matrice diagonale delle ammettenze dei rami y

[] ; =

⏟

( )

Admittance matrix Y

[] [] [] [] [] []

= ∙ = ∙ ∙ ℎ

Ora è possibile moltiplicare tutto per la matrice di incidenza A, ottenendo:

[] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [] []

∙ = = ∙ ∙ = ∙ ∙ ∙ , → = ∙ []

⏟ ⏟ ⏟

⏟ ( 1) ( )

[] ( 1)

METODO DIRETTO

• The element on the diagonal Ypp is given by the sum of the admittance of the branches directly connected to

the bus p

• L'elemento off-diagonal Ypq è uguale a 0 se il bus p non è direttamente collegato al bus q

• L'elemento off-diagonal Ypq è uguale a -ypq se il bus p è direttamente collegato al bus q

:

C ∑

= ∙ + ∙ ( − )

0

= ∙ + ∙ + ⋯ + ∙ + ⋯ + ∙

1 1 2 2

SIGNIFICATO FISICO DEGLI ELEMENTI SULLA DIAGONALE

Colleghiamo un generatore di tensione ideale al bus p con una tensione pari a 1 quindi Ep =1 Inoltre, imponiamo che

la tensione nodale degli altri bus sia uguale a zero. Ciò significa che questi bus sono in cortocircuito con il bus di

riferimento: Eq =0 con qp

= ∙ 1

L'elemento rappresenta la corrente iniettata nel bus p quando il bus p viene alimentato con una tensione pari a

1 e tutti gli altri nodi sono cortocircuitati.

SIGNIFICATO FISICO DEGLI ELEMENTI FUORI DALLA DIAGONALE

Il bus q viene alimentato con un generatore di tensione pari a 1 e tutti gli altri bus sono cortocircuitati Eq =1 Ek =0

con kq

= ∙ 1

rappresenta la corrente iniettata nel bus p quando il bus q viene alimentato con un generatore di tensione pari a

1 e tutti gli altri bus sono in cortocircuito.

POTENZA INIETTATA NEL BUS ∑

= + = ∙ = ∙ ∙

Adottando una rappresentazione polare possiamo ottenere la forma finale per la potenza attiva e reattiva:

= ∙ = ∙

| | | |

∑

= ( = ∙ ∙ ∙ cos( − −

) | | | | | | )

∑

= ( = ∙ ∙ ∙ sin( − −

) | | | | | | )

THE POWER FLOW PROBLEM

Risolvere un problema di PF significa trovare il profilo di tensione (valori di grandezza e di fase) per ogni bus della

rete in modo che la potenza iniettata/prelevata in ogni bus sia uguale al valore assegnato.

Esempio Ipotesi:

• Le perdite su ciascun ramo sono uguali a zero (ogni ramo è caratterizzato da R = 0, X≠0)

• Le potenze reali nodali sono note e anche il profilo di tensione di grandezza è noto

Non è possibile scrivere un'equazione di bilancio per la potenza reattiva a causa delle perdite reattive nei rami che

dipendono dal valore delle correnti.

Se abbiamo n bus, avremo:

• n valori di fase per la tensione del bus

• n potenze reattive (Q , Q , Q )

1 2 3

• 2n incognite

→ + = ∙

2 → = ( ∙ ) ; = ( ∙ ) !

Il numero di incognite è superiore al numero di equazioni (una equazione della potenza reattiva è linearmente

dipendente dalle altre dunque non si considera), quindi non è possibile risolvere il sistema di equazioni ed è

necessario per ridurre il numero di incognite. Per fare ciò, la fase di tensione del bus 1 è messa uguale a ZERO:

questo significa che gli assi reali del piano gauss sono coincidenti con il fasore di tensione del bus 1. Ora abbiamo 2n-

1 incognite. [] []

= ∙ []

Scriveremo le equazioni delle correnti ai nodi utilizzando

| | ) )

= ∙ = cos( + ( = 2 … ( 1 = 0)

| | = 1

= 1 + 0

1

TIPOLOGIE DI BUS

Per ogni bus è possibile definire 4 diverse quantità:

• Potenza attiva P

• Potenza reattiva Q

• L'entità della tensione E

• La fase della tensione

A seconda di quale delle quantità sono note, definiscono i diversi tipi di nodi

Tipo di bus PQ: quantità note Potenza attiva P, Potenza reattiva Q (2 equazioni necessarie)

Tipo di bus PE: quantità note Potenza attiva P, modulo della tensione E. La potenza reattiva Q è una variabile

dipendente poiché se il modulo e le tensioni di fase sono note è possibile calcolare Q (1 equazione necessaria)

Slack bus: Ciò significa che le potenze reali e reattive iniettate in ciascun bus de