Riassunto appunti matematica per la formazione di base 1

Matematica per la formazione di base

Introduzione alla funzione

Una funzione è biunivoca se tutte le immagini hanno una sola freccia che arriva da un solo dominio (altrimenti non sarebbe una funzione).

Concetti fondamentali

Cardinalità: numero degli elementi di un insieme.

Appartenenza: ⊆.

Inclusione = sottoinsieme: ⊂.

Unione: U (tutti gli elementi di A e B).

Intersezione: ∩ (solo gli elementi comuni tra A e B). Se un insieme è sottoinsieme dell'altro, l'intersezione è sempre l'insieme più piccolo tra i due.

Insieme vuoto: ∅.

Prodotto cartesiano: A x B.

Funzione composta: due funzioni f e g si sommano e ne creano una terza f o g.

Funzione identità: gli elementi sono in relazione con se stessi. Si crea componendo una relazione e la sua inversa.

Insiemi e cardinalità

Insieme delle parti: insieme di tutti i possibili sottoinsiemi (creo le coppie o triplette ecc. di tutti gli abbinamenti possibili). La cardinalità dell’insieme delle parti è 2ⁿ (dove n è il numero di elementi dell’insieme di partenza).

Insieme N: insieme dei numeri naturali; è il più piccolo insieme che contiene lo zero e il successore di ogni suo elemento.

Relazioni e classi di equivalenza

Relazioni binarie: insieme di coppie ordinate (non si può invertire l'ordine con cui compaiono gli elementi della coppia, ad esempio coordinate di un punto) di elementi.

Classe di equivalenza: elementi in relazione tra loro (che condividono una stessa proprietà), scelgo un rappresentante. Sono disgiunte tra loro (nessun elemento in comune, altrimenti non è una funzione) e costituiscono un sottoinsieme dell’insieme di partenza.

Insieme quoziente: insieme che riporta solo i rappresentanti di tutte le classi di equivalenza.

Funzioni e altre notazioni

Funzione inversa: scambia dominio e codominio.

Notazione decimale: i numeri sono tutti compresi da 1 a 9 perché sono i resti della divisione per dieci (e i resti sono sempre minori del divisore). Ogni numero naturale (in base 10) può essere scritto sotto forma di esponenti del 10.

Opposto di z: quel numero che sommato a z (z ∈ Z) dà zero, e si indica con -z.

Isomorfismo e frazioni equivalenti

Isomorfismo: quando due scritture diverse indicano la stessa cosa.

Frazioni equivalenti: se moltiplico il numeratore della prima col denominatore della seconda e viceversa, ottengo lo stesso risultato. Ad esempio, se (1,2) è in relazione con (2,4) allora 1x4=2x2 è una relazione di equivalenza.

Corrispondenza biunivoca

• Iniettiva: elementi di un insieme hanno...