Riassunto esame di Tecnica delle costruzioni

TECNICA 1

TECNICA DELLE

COSTRUZIONI

DISPENSE

A1_S S

ICUREZZA TRUTTURALE

1 Qualche definizione ............................................................................................................................... 2

2 Criteri di progetto ................................................................................................................................... 2

3 Sicurezza Strutturale ............................................................................................................................. 2

3.1 L’Arte del Costruire ....................................................................................................................... 2

3.2 La Scienza del Costruire .............................................................................................................. 3

3.2.1 Il modello di calcolo .............................................................................................................. 3

3.2.2 Le Variabili.............................................................................................................................. 3

3.3 Dominio di sicurezza e dominio di crisi ...................................................................................... 4

3.4 Caratterizzazione statistica delle variabili aleatorie ................................................................... 4

3.5 Probabilità di crisi .......................................................................................................................... 6

3.6 Modelli di valutazione ................................................................................................................... 8

3.6.1 Metodo di LIVELLO 0 (Metodo delle tensioni ammissibili) ............................................... 8

3.6.2 Metodo di LIVELLO 1 (Metodo semi-probabilistico agli stati limite) ............................... 9

3.6.3 Metodo di LIVELLO 2............................................................................................................ 9

3.7 Stati limite..................................................................................................................................... 10

3.7.1 Stati Limite Ultimi (SLU) ..................................................................................................... 11

3.7.2 Stati Limite di Esercizio (SLE) ............................................................................................ 11

3.7.3 Verifiche ............................................................................................................................... 12

3.8 Vita nominale di una costruzione .............................................................................................. 12

3.9 Classi d’uso .................................................................................................................................. 12

3.10 Periodo di riferimento per l’azione sismica .............................................................................. 13

3.11 Metodo semiprobabilistico agli stati limite ............................................................................... 13

1

A1_SICUREZZA STRUTTURALE

1 Q UALCHE DEFINIZIONE

TECNICA [arte nel senso di perizia, saper fare, saper operare]

Insieme delle norme applicare e seguite in un’attività; tali norme possono essere acquisite

empiricamente, cioè formulate o trasmesse dalla tradizione, oppure possono esser basate

su conoscenze scientifiche specializzate.

COSTRUZIONE

Opera costruita, fabbrica, edificio, manufatto.

STRUTTURA

Parte di una costruzione cha ha lo scopo di sostenere i carichi e di trasferirli al suolo.

TECNOLOGIA [discorso sull’arte, cioè sul saper fare, sulla tecnica]

Indica la catalogazione e lo studio sistematico di tecniche, spesso riferite a un ambito

specifico.

2 C RITERI DI PROGETTO

DEFINIZIONE DELLO SPAZIO ARCHITETTONICO

L’architetto deve stabilire il ruolo della struttura nell’ambito della costruzione, come

eventuale ulteriore elemento di definizione dello spazio.

ECONOMIA

Una struttura deve essere costruita con la minor quantità possibile di materiale e deve poter

essere realizzata con facilità in modo da ridurre i costi di costruzione.

SICUREZZA

Una struttura deve essere in grado di sostenere i carichi esterni in sicurezza e con piccole

deformazioni.

3 S S

ICUREZZA TRUTTURALE

3.1 L’A C

RTE DEL OSTRUIRE

Fino al XIX sec le dimensioni degli elementi strutturali e i particolari costruttivi erano stabiliti

grazie a regole empiriche elaborate nel corso dei secoli attraverso l’esame del

comportamento delle strutture già realizzate. L’Arte del Costruire pur essendo affidabile

però non permetteva di uscire dagli schemi della tradizione costruttiva, che riguarda

principalmente le costruzioni in legno e in muratura. 2

3.2 L S C

A CIENZA DEL OSTRUIRE

La disponibilità di nuovi materiali e la necessità di risolvere problemi costruttivi sempre più

complessi ha portato allo sviluppo di metodi che permettessero di conoscere il

comportamento della struttura prima della sua realizzazione.

Il primo tentativo di tradurre in formulazioni matematiche le regole del costruire è attribuito

convenzionalmente a Galileo Galilei. A partire da lui, attraverso il contributo di numerosi

studiosi e ricercatori, la Matematica e la Meccanica sono entrate gradualmente a far parte

della pratica progettuale, trasformando progressivamente l’Arte del Costruire nella disciplina

scientifica che verrà chiamata Scienza del Costruire.

La Scienza del Costruire consente la formulazione di modelli matematici che supportano il

progettista nelle proprie scelte.

3.2.1 Il modello di calcolo

MODELLO

Rappresentazione concettuale semplificata di un fenomeno fisico, capace di spiegarne il

funzionamento ricorrendo alla formulazione matematica.

I modelli sperimentali, che costituiscono il modello di calcolo, cui fa riferimento il progettista

sono:

- Modello per lo SCHEMA GEOMETRICO della struttura e dei suoi elementi costituenti

- Modello per SCHEMATIZZAZIONE DEI VINCOLI

- Modello del COMPORTAMENTO MECCANICO DEI MATERIALI (Legame Costitutivo)

- Modello per la definizione delle AZIONI AGENTI

- Modello per la valutazione delle SOLLECITAZIONI MASSIME (tipo di analisi)

Si deve però formulare un giudizio sul grado di affidabilità di tale modello, poiché la realtà

risulta esser più complessa del modello di calcolo, esso rappresenta il termine ultimo di

confronto con qualunque modello di calcolo che si voglia adottare rispetto alla sua validità

nell’ambiente circostante.

Viene introdotto quindi il concetto di sicurezza, che tende a compensare le incertezze del

modello di calcolo con adeguati margini.

3.2.2 Le Variabili

La sicurezza strutturale va valutata attraverso la determinazione di quante variabili si

vogliono inserire nel modello di calcolo.

Consideriamo due tipi di variabili:

- Deterministiche, quando il loro valore si conosce con precisione

- Aleatorie, quando possono assumere valori diversi, ciascuno caratterizzato da una

probabilità di accadimento 3

[Fino al 2000 l’approccio al modello di calcolo era di tipo deterministico, ovvero si usavano

forze o carichi esistenti al momento del progetto per il calcolo delle sollecitazioni. Adesso

invece tali variabili sono integrate a quelle aleatorie]

Poiché nei problemi di progettazione strutturale la maggior parte delle variabili sono di tipo

aleatorio (geometria, resistenza, carichi, …) il problema della sicurezza strutturale richiede

un approccio probabilistico.

Due variabili aleatorie considerate nei problemi strutturali sono:

- La CAPACITÀ prestazionale della struttura (R), che rappresenta la resistenza della

struttura

- La DOMANDA di prestazione (S), che rappresenta la sollecitazione esterna

3.3 D OMINIO DI SICUREZZA E DOMINIO DI CRISI

Genericamente una struttura è in sicurezza quando risulta R S.

≥

Infatti, tracciando su un diagramma R, S la semiretta di equazione R = S, inclinata di 45°

rispetto gli assi, si nota che la parte di piano compresa tra questa e l’asse R rappresenta il

dominio di sicurezza della struttura perché per tutti i suoi punti risulta R S.

≥

Il dominio di crisi è rappresentato invece dalla rimanente parte del grafico, mentre la

semiretta che separa i due domini viene detta semiretta critica.

Proiettando il medesimo grafico su un asse cartesiano R,S e introduciamo il fattore tempo è

possibile valutare le oscillazioni dei due valori. In questo caso la certezza di che non si

presenti un collasso si ha finché non si supera la proiezione dei punti della semiretta critica.

3.4 C ARATTERIZZAZIONE STATISTICA DELLE VARIABILI ALEATORIE

Poiché appunto ci troviamo in presenza di due variabili aleatorie ci si pone il problema di

come calcolarne il loro valore in funzione della probabilità di accadimento.

In particolare, vedremo che una variabile aleatoria può essere descritta in termini della sua

x

funzione di densità di probabilità p(x).

La probabilità che la variabile aleatoria assuma un valore compreso tra e è pari a

x x+dx

cioè

p(x)dx, [ ] ( )

≤ ≤ + = 4

Tale quantità corrisponde all’area indicata in grigio nel grafico e quindi all’area sottesa dalla

porzione di curva gaussiana che descrive appunto la probabilità. La probabilità è sempre un

numero minore di 1 e può essere espressa in percentuale.

L’andamento descritto in figura da una parabola rovesciata, detta curva Gaussiana o

campana di Gauss, dipende dalla variabile considerata e rappresenta, appunto, la probabilità

che la variabile assuma un valore piuttosto che un altro. In particolare, possiamo notare che

i valori in prossimità del punto di massimo sono più probabili, quasi certi, rispetto quelli in

prossimità delle code che, invece, possono essere il risultato di valutazioni errate, dovute ad

esempio alle incertezze della strumentazione.

[Si pensi allo scarto della bilancia, il valore più probabile corrisponderà al valore medio dei risultati delle

misurazioni effettuate]

Esistono diverse tecniche di calcolo a variano a seconda della volontà di ridurre il più

possibile l’errore che si può fare in un modello.

Il primo valore che riduce l’errore è il valore medio, ovvero la somma di tutte le misurazioni

fratto il numero di misurazioni eseguite.

Nota la funzione di probabilità si definisce valor medio della variabile aleatoria la

p(x), x

quantità +∞ ( )

̅ = = ∫ ∙

−∞

Che corrisponde al suo valore più probabile e che coincide con l’ascissa del baricentro

dell’area sottesa dalla curva p(x).

È possibile ridurre ulteriormente la possibilità di errore matematico calcolando la varianza di

una variabile, tale scarto matematico riduce in termini di decimi e millesimi la percentuale di

errore.

[Questa è data dalla differenza tra una misura meno la media calcolata, tutto al quadrato, sommata a tutti questi

valori per tutte le misure].

Si definisce varianza la quantità +∞

2 2 ( )

= ∫ ( − ̅ ) ∙

−∞

Per ridurre ulteriormente la possibilità matematica di errore ricorro alla deviazione standard

o scarto quadratico medio, che corrisponde alla radice quadrata della varianza e si indica

5

con δ o con s. Questa misura la dispersione di attorno al suo valore medio, piccoli valori di

x

δ corrispondono a curve appuntite, grandi valori a curve piatte.

p(x)

L’utilizzo del valore medio, della varianza o della deviazione standard dipende dai diversi

metodi di approccio della tecnica delle costruzioni.

Noti il valor medio e la deviazione standard si possono definire i frattili inferiore e superiore

di ordine , in cui è funzione della legge di variazione di e della probabilità

̅ ̅

k p(x)

= ̅ − = ̅ −

Il frattile inferiore è il valore di che la probabilità di non essere superato, mentre il frattile

̅

superiore è quel valore di che la probabilità di essere superato, cioè

̅

̅ ̅

[ ] (0 1)

]

[ ≤ = ≤ = ≤ <

[Il frattile rappresenta un limite di accettabilità di quella variabile]

3.5 P

ROBABILITÀ DI CRISI

I modelli matematici utilizzati mettono insieme tutte le probabilità, di tutte le variabili che si devono

contemplare, tali variabili sono rappresentate da una serie di curve gaussiane di varia forma, che si

sovrappongono.

Dato un sistema strutturale, si supponga di conoscere le funzioni di densità di probabilità

della capacità e della domanda e di confrontarle tra di loro. 6

Per quanto distanti possano essere, le curve presenteranno una zona di sovrapposizione in

corrispondenza delle loro code, in cui risulta Pertanto, esiste sempre per una struttura

> .

una probabilità di crisi maggiore di zero, cioè [ ]

> > 0.

Il problema della sicurezza strutturale consiste nel calcolare la probabilità di crisi e di fare

in modo che essa si mantenga al di sotto di un valore fissato del legislatore, corrispondente

ad una soglia di rischio accettato. Tale valore dipende dalla destinazione d’uso della

costruzione e dal suo affollamento, cioè dal numero di persone che la utilizzano

contemporaneamente. Deve quindi essere

<

Per determinare un valore adeguati di è stata proposta la relazione seguente:

Tipo di struttura

−4 Luogo pubblico 0.005

= ∙ 10

Abitazioni 0.050

Ponti 0.500

è la vita nominale della costruzione espressa in anni

Torri, strutture offshore 5.000

è il numero medio delle persone all’interno o nelle vicinanze della costruzione

è un coefficiente sociale i cui valori sono indicati in tabella

Per la condizione di collasso strutturale, valori tipici di sono compresi tra

−6 −5

1 ∙ 10 ≤ ≤ 1 ∙ 10

A rigore, la probabilità di crisi può essere calcolata mediante la funzione densità di

probabilità congiunta (JPDF = joint probability desity function) delle due variabili aleatorie

S ed R.

In questo diagramma la probabilità di crisi corrisponde al volume di crisi, indicato in grigio

scuro. Risulta quindi: ∞

(, ) (, )

= ∬ = ∫ ∫

, ,

[≥] 0 0 7

3.6 M ODELLI DI VALUTAZIONE

Il calcolo della probabilità di crisi mediante la valutazione dell’integrale è raramente

possibile, principalmente a causa dell’incompletezza e dell’incertezza dei valori della

funzione densità di probabilità congiunta nel campo delle basse probabilità, per cui, nelle

applicazioni tecniche si ricorre a metodi semplificati.

I tre metodi considerati si differenziano per il numero di variabili considerate, per la

profondità di analisi di quella variabile e per l’approccio alla verifica che si sceglie di

effettuare.

3.6.1 Metodo di LIVELLO 0 (Metodo delle tensioni ammissibili)

Considerando i valori medi della capacità R e della domanda S, il metodo delle tensioni

ammissibili consiste nel determinare le tensioni massime ideali prodotte nella struttura

dalle azioni esterne, sotto l’ipotesi di comportamento elastico-lineare omogeneo e isotropo

del materiale.

Le tensioni così valutate devono risultare minori della tensione detta ammissibile ,

ricavata dal valore medio della tensione di rottura del materiale, ridotta mediante un

coefficiente di sicurezza che mette in conto le diverse incertezze (carichi, modello,

materiali…)

≤ =

Le tensioni ideali sono riferita ad uno stato di tensione monoassiale ideale equivalente

allo stato di tensione reale, in genere pluriassiale, e sono calcolate attraverso un opportuno

criterio di sicurezza.

[Si calcola la massima tensione ammissibile per ogni materiale, ogni struttura, ogni parte della costruzione e la

si confronta con quella che le prove in laboratorio ci hanno detto essere quella di una struttura simile. Questa

tensione ammissibile però sarà considerata ridotta di un coefficiente definito il base al tipo d modello scelto]

Tale metodo è stato utilizzato per molti hanno e ha condotto al progetto di strutture che

hanno mostrato nel tempo buon comportamento, tuttavia ad esso si possono muovere le

seguenti critiche:

- L’analisi è puramente deterministica e non tiene conto dei reali legami costitutivi dei

materiali, trascurando la non linearità

- I coefficienti di sicurezza impiegati sono ampi e ciò può dare la sensazione errata che

anche i margini di sicurezza lo siano

- La verifica delle tensioni è limitata alle sole fibre più sollecitate e queto non è il modo

più conveniente per il dimensionamento di una struttura

- Non è possibile eseguire verifiche per fenomeni che non dipendono dallo stato di

tensione (degrado, corrosione, incendio) e ciò può portare a sostenere notevoli costi

di manutenzione

- Non è ragionevole scartare una struttura solamente perché la verifica alle tensioni

locali elastiche non è rispettata, anche se in tal modo si sta operando a favore di

sicurezza 8

Le attuali norme (NTC18) non consentono più l’utilizzo di tale metodo, ma sono orientate

verso l’uso di un metodo di primo livello.

3.6.2 Metod